Energia Potentiala. Potentialul electrostatic

1. Energia potentiala

Se considera un ansamblu de sarcini electrice imobile de valori , reperate prin vectorii de pozitie . Forta pe care aceste sarcini o exercita asupra unei sarcini de proba q, plasata in punctul M reperat prin vectorul de pozitie (Fig. 1) este:

unde sunt vectorii ce unesc sarcinile sistemului cu sarcina de proba.

Figura 1

Pentru o deplasare elementara a sarcinii de proba, lucrul mecanic efectuat de forta are expresia:

(1)

deoarece sarcinile sunt fixe si deci . Cum , prin diferentiere se obtine si atunci

lucrul mecanic elementar se poate pune sub forma:

(2)

Lucrul mecanic elementar apare ca diferentiala unei functii numita energie potentiala de interactiune electrostatica a sarcinii de proba q cu sarcinile sistemului, luata cu semnul minus:

(3)

Lucrul mecanic al fortei electrostatice este egal cu variatia unei functii de pozitie, deci nu depinde de drum ci numai de pozitiile initiala si finala. Se spune ca forta este conservativa sau ca deriva din energia potentiala.

Energia potentiala este definita prin relatia (3) pana la o constanta aditiva ce poate fi determinata daca se alege o stare de referinta. Natural aceasta corespunde cazului cand sarcina de proba este la distanta infinita fata de sistemul de sarcini considerat. Cu aceasta conventie constanta din relatia (3) este nula.

In lungul unei curbe inchise oarecare se poate scrie:

(4)

Impartind relatia (4) prin q, se obtine

(5)

Circulatia vectorului intensitate a campului electrostatic pe un contur inchis este nula.

Aplicand teorema Stokes relatiei (5) se obtine

(6)

deci campul electrostatic este fara vartejuri.

Potentialul electrostatic

Energia potentiala este proportionala cu sarcina de proba. Pentru caracterizarea campului electrostatic este mai potrivita o marime care sa nu depinda de sarcina de proba. Aceasta marime este potentialul electrostatic.

Prin definitie, potentialul creat de distributia de sarcini considerata intr-un punct M este egal cu energia potentiala pe unitatea de sarcina plasata in M:

(7)

Unitatea de masura pentru potential este voltul (V).

Pentru o distributie volumica de sarcina de densitate  putem scrie:

(8)

Relatii asemanatoare pot fi scrise si pentru distributii in superficiale sau liniare:

(9)

(10)

Relatia dintre camp si potential

Pornind de la relatia (3) si integrand intre intre doua puncte A si B obtinem:

sau introducand campul si potentialul

(11)

unde prin U se noteaza diferenta de potential dintre punctele A si B.

Daca punctele A si B coincid, integrala precedenta este nula, deci circulatia vectorului camp electrostatic in lungul unui contur inchis este nula.

Pornind de la relatia (3) si impartind prin q (sarcina de proba) se obtine:

Relatia

(12)

reprezinta forma locala a legaturii dintre potential si camp.

Din relatia (12) se constata ca daca campul electrostatic are valori finite, functia potential este continua.

4. Suprafete echipotentiale asociate unei distributii de sarcina

Suprafetele echipotentiale sunt ansambluri de puncte din spatiu pentru care V() are o valoare data. O suprafata echipotentiala, de potential V₀, este deci definita prin ecuatia V(M)=V₀. Doua suprafete echipotentiale corespunzatoare unor potentiale diferite nu se pot intersecta.

Se considera doua puncte vecine, M si N pe aceeasi suprafata echipotentiala. Puncul N este obtinut pornind de la M printr-o deplasare elementara , de orientare arbitrara, intr-un plan tangent in M la suprafata echipotentiala. Tinand seama de definitia potentialului se poate scrie

Din definitia suprafetei echipotentiale

N(N)=V(M)

Rezulta

Deci vectorul camp electric este normal pe suprafetele echipotentiale.

Se considera o linie de camp ce intersecteaza doua suprafete echipotentiale, de potentiale V₁ si V₂, in punctele M si N. Considerand orientarea liniei de camp de la M spre N, se poate scrie

Deci liniile decamp sunt orientate in sensul potentialului descrescator.

5. Consideratii de simetrie

In general potentialul are aceleasi proprietati de simetrie ca si distributia de sarcina ce-l creazam astfel:

in cazul unei distributii ce admite un plan de antisimetrie, se poate considera V=0 pe acest plan. In aceste conditii, doua puncte simetrice fata de planul de antisimetrie au potentiale de semne opuse;

in cazul unei distributii ce admite un plan de simetrie, doua puncte simetrice fata de planul de simetrie au potentiale egale;

pentru o distributie invarianta la translatie paralela cu axa Oz, potentialul depinde numai de x si y, deci ;

pentru o distributie cu simetrie de revolutie in jurul axei Oz, potentialul depinde numai de variabilele r si z ();

pentru o distributie cu simetrie cilindrica de axa Oz, potentialul depinde numai de variabila r, deci ;

pentru o distributie cu simetrie sferica, potentialul depinde numai de variabila r, deci .

6. Ecuatia Poisson. Ecuatia Laplace

Ecuatia Poisson este o ecuatie locala satisfacuta de potential. Pentru a obtine ecuatia pornim de la relatiile:

Inlocuind a doua din relatiile anterioare in prima, se obtine:

(13)

Pornind de la ecuatia Poisson se poate deduce faptul ca functia potential V() nu poate avea maxime sau minime in afara sarcinilor electrice.

Intr-adevar, fie M₀ un punct in care V prezinta un maxim (minim). Considerand o gaussiana in jurul punctului M₀ in orice punct al acesteia campul electric este indreptat spre exterior (interior), deoarece potentialul este inferior (superior) celui al punctului M₀. Fluxul campului electric prin aceasta gaussiana va fi:

Rezultatul anterior implica faptul ca, in conformitate cu teorema Gauss, in interiorul gaussienei considerate exista o sarcina electrica pozitiva (negativa).

In cazul in care distributia de sarcina este nula ecuatia Poisson devine:

(14)

Ecuatia anterioara poarta numele de ecuatia Laplace. Atat ecuatia Poisson cat si ecuatia Laplace pot fi rezolvate simplu in cazul in care sistemele considerate au o simetrie ridicata.

7. Energia electrostatica propire unei distributii de sarcina

7.1. Sistem format din doua sarcini punctuale

In expresia (4) am definit energia potentiala a sarcinii q₀ aflata in camp electric al carui potential este V, prin:

(15)

Aceasta expresie reprezinta si energia de interactiune electrostatica intre cele doua sarcini aflate la distanta r una de alta. Intr-adevar, expresia poate fi interpretata si in modul urmator. Daca o sarcina q₁ se afla intr-un punct P₁ atunci potentialul campului electric creat de ea in punctul P₂ situat la distanta r₁₂ de P₁ este . Lucrul mecanic reversibil ce trebuie efectuat impotriva fortei conservative de respingere electrostatica, de catre o forta externa, pentru a plasa sarcina q₂ in punctul P₂, este:

(16)

Acest lucru se inmagazineaza sub forma de energie potentiala electrostatica a sistemului celor doua sarcini.

7. Sistem format din trei sarcini punctuale

Pentru a calcula energia potentiala a sistemului format din trei sarcini punctiforme, se va presupune realizat sistemul format din sarcinile q₁ si q₂, pentru care energia este data de relatia (12). La aducerea sarcinii q₃ in punctul P₃, forta rezultanta exercitata de celelalte doua sarcini este:

Lucrul mecanic efectuat impotriva acestei forte, pentru a aduce sarcina q₃ in punctul P₃ este:

(17)

Adunand la aceasta expresia (15) se obtine energia totala cheltuita pentru a foema sistemul:

(18)

In suma din (15), s-au limitat termenii sumei la cei pentru care i<j pentru a nu considera de doua ori energia interactiunii sarcinii q_i cu sarcina q_j si bine inteles pentru a excude energia interactiunii unei sarcini cu ea insasi.

Daca sistemul este format din N sarcini punctiforme, expresia (15) poate fi generalizata sub forma:

(19)

Expresia anterioara poate fi pusa si sub forma:

(20)

unde este potentialul campului electric creat de toate sarcinile sistemului, exceptand sarcina q_j la locul unde se afla sarcina q_j.

7.3. Distributii continue de sarcina

Daca sarcina electrica este distribuita continuu, suma din expresia (20) poate fi inlocuita cu integrala, obtinandu-se expresiile:

si (21)

Integralele din (21) pot fi extinse de la regiunile in care sunt localizate sarcinile, la tot spatiul, contributia regiunilor in care sarcina este absenta fiind nula.

In aceste conditii, tinand seama de legatura dintre camp si potential, se poate scrie:

(22)

Extinzand integrala precedenta la tot spatiul, contributia primului termen devine nula si se poate scrie:

(23)

Din (23) se vede ca lucrurile se produc ca si cum energia electrostatica a distributiei continue de sarcina ar fi repartizata in tot spatiul cu densitatea volumica .

Aplicatie

Se va calcula energia unei distributii volumice de sarcina pozitiva. Relatiile (1.11) si (1.12) dau intensitatea campului electric in exteriorul si respectiv interiorul unei sfere incarcate electric iar prima din relatiile (18) da energia electrostatica. Pentru calculul potentialului intr-un punct in interiorul sferei se aplica definitia potentialului:

Energia electrostatica se scrie deci:

(24)

In cazul unui nucleu care contine sarcina q=Ze, relatia anterioara devine:

si reprezinta energia respingerii electrostatice ce se manifesta in nucleul respectiv.