EXPRESII ALE CUPLULUI ELECTROMAGNETIC DEZVOLTAT DE MOTORUL ASINCRON

Obtinerea unor performante dinamice bune, presupune controlul si comanda precisa a cuplului electromagnetic dezvoltat de motor. Aceasta se realizeaza, in cazul motorului de c.c. cu excitatie separata, prin controlul si comanda curentului din indus. Din punct de vedere fizic, in cazul tuturor motoarelor electrice, cuplul electromagnetic dezvoltat, fiind rezultatul interactiunii dintre un curent si un flux magnetic (de excitatie), va fi dat de produsul vectorial dintre cele doua marimi:

. )

In cazul motorului de c.c., cele doua marimi sunt ortogonale constructiv si deci produsul vectorial devine produs scalar si mai mult, el are valoare maxima:

. (3. )

Astfel, daca fluxul de excitatie este mentinut constant (prin mentinerea constanta a curentului de excitatie), cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul de c.c. poate fi controlat prin intermediul curentului din indus.

In cazul motorului asincron, se va exprima cuplul electromagnetic dezvoltat, sub forma unui produs vectorial dintre un flux si un curent, urmarindu-se apoi exprimarea sa in functie de doi curenti, acestia fiind masurabili si controlabili. In continuare, prin exprimarea cuplului electromagnetic in functie de curentii raportati in diferite sisteme de coordonate, se vor obtine forme ce vor permite implementarea schemelor de reglare vectoriala. In plus, urmarindu-se simplificarea expresiilor, exprimarea se va face in functie de marimi reciproc ortogonale, ceea ce va determina transformarea produsului vectorial in produs scalar. Din punct de vedere fizic, in functionare, pastrarea prin comanda a ortogonalitatii dintre marimile ce intervin, va asigura valori maxime ale cuplului dezvoltat, pentru aceleasi valori ale curentului.

Pentru obtinerea expresiei cuplului electromagnetic dezvoltat de motorul asincron, se considera ecuatiile de tensiuni, sub forma fazoriala, scrise in sistemul de referinta fix, solidar cu statorul Error! Reference source not found..a, Error! Reference source not found..b:

,

.

Componenta (-jw_rY'_r) din ecuatia de tensiuni rotorice, este o tensiune electromotoare de rotatie si corespunde puterii mecanice aferenta cuplului electromagnetic dezvoltat, m_e:

. (3. )

Ca exprimare fazoriala insa, puterea transmisa printr-un circuit este:

, )

in care i^* este complex-conjugatul curentului din circuit. Tinand cont de (3.4), puterea transmisa prin tensiunea electromotoare de rotatie se poate scrie

,

rezultand

,

iar cuplul electromagnetic:

. (3. )

Expresia obtinuta reprezinta dezvoltarea expresiei vectoriale:

. (3. )

Intr-adevar, considerand, in sistemul de coordonate fix, solidar cu statorul, fazorii Y'_r si i'_r oarecare (fig. 3.1), produsul lor vectorial este:

. (3. )

Pentru o masina cu P perechi de poli, expresia cuplului electromagnetic dezvoltat este

. )

Inlocuind expresia fazorului fluxului rotoric in functie de fazorii curentilor statorici si rotorici Error! Reference source not found..c, cuplul electromagnetic se exprima:

. )

Obs. S-a tinut cont ca (i'_r x i'_r = 0), deoarece a

Considerand acum expresia fazorului fluxului statoric Error! Reference source not found..c, cu observatia de la , cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul asincron se poate scrie:

. )

Neglijand saturatia magnetica, relatia este similara expresiei cuplului electromagnetic dezvoltat de masina de c.c. , iar daca, prin comanda, fazorii Y_s si i'_r sunt mentinuti ortogonali, produsul vectorial devine produs scalar si in plus, are valoare maxima.

In continuare, se vor prezenta expresiile cuplului electromagnetic in sistemele de referinta particulare (solidare cu fazorii fluxurilor rotoric, statoric, de magnetizare), in care dealtfel se va realiza comanda. Pentru aceasta, in mod similar obtinerii ecuatiilor de tensiuni, se va deduce expresia cuplului electromagnetic in sistemul general de coordonate (x, y), ce se roteste cu viteza oarecare w_g, urmand ca expresia obtinuta sa fie particularizata pentru fiecare sistem de coordonate.

Expresia cuplului electromagnetic in sistemul general de coordonate

Se urmareste transcrierea expresiei , in functie de aceiasi fazori, dar exprimati in sistemul general de coordonate. Astfel, tinand cont de Error! Reference source not found..c si Error! Reference source not found..c, se obtine:

. )

Similar pentru fazorul curentului rotoric:

. )

Expresiile (3.11), evidentiaza faptul ca ambii fazori ce intervin in , fiind exprimati in sistemul general de coordonate, sunt rotiti cu acelasi unghi q_g si deci produsul vectorial ramane acelasi, invariant fata de sistemul de coordonate ales:

. (3. )

Similar pot fi transcrise expresiile si , respectiv:

, )

. (3. )

Prin inversarea ordinii produsului vectorial, (3.14) se poate scrie

, )

Exprimand fazorul fluxului statoric Y_sg

si tinand cont ca i_sg x i_sg = 0, se obtine:

. )

O alta expresie se poate obtine daca se exprima fazorul fluxului rotoric Y_rg

,

din care se expliciteaza i_rg si se inlocuieste in (3.16), cu observatia ca i_sg x i_sg = 0, rezultand:

. )

Au fost obtinute diferite expresii pentru cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul asincron, toate insa fiind deocamdata sub forma unui produs vectorial. Se urmareste insa, scrierea sub forma unui produs scalar, ce se poate face daca termenii ce intervin sunt ortogonali. Aceasta va permite separarea efectelor componentelor curentului, respectiv, identificarea componentei reactive (generatoare de flux) si a componentei active (prin intermediul careia se va controla cuplul dezvoltat de motor). Din punct de vedere formal, se poate obtine separarea componentelor, daca se considera sisteme de referinta particulare, respectiv solidare cu fluxul rotoric, statoric sau rezultant (de magnetizare). Fiecare dintre acestea este echivalent cu considerarea unui sistem de referinta solidar cu curentul de magnetizare corespunzator.

Expresia cuplului electromagnetic in sistemul solidar cu fazorul fluxului rotoric

Se considera expresia vectoriala a cuplului electromagnetic (3.18) scrisa in sistemul general de coordonate, a carei proiectie pe axele (x, y) ale sistemului general de coordonate conduce la

. )

Se va considera acum un sistem rotitor de coordonate, solidar cu fluxul rotoric (fig. 3.2) si orientat in permanenta astfel incat componenta dupa axa y a fluxului rotoric sa fie nula (Y_ry Y_rx Y_r|). In acest caz, cuplul electromagnetic dezvoltat (3.19) va fi determinat de interactiunea intre doua componente ortogonale: fluxul rotoric dupa axa x (Y_rx) si curentul statoric dupa axa y (i_sy):

. (3. )

De observat ca ambele componente sunt exprimate fata de acelasi sistem de coordonate.

Particularizarea transformarilor pentru sistemul de coordonate considerat se poate face presupunand ca acesta, fiind caracterizat de unghiul de pozitie r_r fata de sistemul fix (sD, sQ), se roteste cu

. )

Prin particularizarea Error! Reference source not found..b si Error! Reference source not found..c pentru q_g = r_r se obtin:

,

.

Cuplul electromagnetic (3.20) se poate scrie atunci

. )

S-a obtinut astfel o expresie de produs scalar intre doua marimi (flux si curent) ortogonale, absolut similar motorului de c.c.

Pentru completare, se expliciteaza transformarea componentelor curentului statoric in sistemul solidar cu fluxul rotoric, transformare valabila pentru toate marimile statorice:

,

sau matriceal,

, (3. )

Evident ca transformarea inversa, din sistemul rotitor in sistemul fix va fi:

,

respectiv matriceal,

, )

Deoarece marimile masurabile si controlabile sunt curentii, se va urmari ca sa se exprime in functie de curenti.

Pentru aceasta, expresiile curentului rotoric si ale fluxului rotoric in sistemul general de coordonate, Error! Reference source not found..b, respectiv Error! Reference source not found..b se particularizeaza pentru sistemul solidar cu fluxul rotoric:

, )

In sistemul de referinta solidar cu fluxul rotoric, ambele componente ale curentului rotoric (i_rx, i_ry) sunt nenule. Aceasta deoarece, in sistemul special, solidar cu fluxul rotoric, orientat cu axa x dupa acesta, fluxul rotoric dupa axa y este nul. In cazul in care i_ry ar fi nul, ar rezulta, conform proiectiei expresiei (3.25) pe cele doua axe, ca si i_sy sa fie zero. Cum insa i_sy este componenta generatoare de cuplu a curentului statoric, aceasta este in general nenula (chiar la mersul in gol), ceea ce inseamna ca pentru anularea componentei mutuale a fluxului rotoric datorata curentului i_sy, trebuie ca i_ry sa fie nenul.

In continuare se defineste curentul de magnetizare rotoric:

. )

Inductivitatea rotorica totala, L_r se poate exprima in functie de inductivitatile de dispersie rotorica si cea de magnetizare L_r = L_rs + L_m, sau definind factorul de dispersie al rotorului

,

curentul de magnetizare rotoric, se poate scrie

.

Datorita alegerii particulare a sistemului de coordonate (solidar cu fluxul rotoric si orientat cu axa x dupa acesta), rezulta ca in acest sistem de coordonate, componenta fluxului rotoric dupa axa y va fi nula, ceea ce va determina, conform (3.26), ca si curentul de magnetizare rotoric sa nu aibe componenta decat dupa axa x:

. )

Explicitand modulul fluxului rotoric din (3.27) si inlocuind in expresia cuplului electromagnetic , se obtine:

. )

Aceasta ultima expresie obtinuta, permite evidentierea urmatoarelor aspecte:

cuplul electromagnetic este determinat de produsul scalar a doi curenti ortogonali;

in conditii de liniaritate (masina nesaturata magnetic), inductivitatile sunt constante, expresia cuplului dezvoltat de motorul asincron, este similara celei a cuplului dezvoltat de masina de c.c.

;

cuplul poate fi controlat prin comanda independenta a celor doua componente, - generatoare de flux, respectiv i_sy - generatoare de cuplu;

daca , atunci , expresia cuplului electromagnetic devenind:

. )

Aceasta se poate obtine daca se considera ecuatia de tensiuni rotorice, dupa axa x, pentru masina cu rotor in scurtcircuit

.

In aceasta ecuatie nu apare componenta de rotatie datorata lui Y_ry deoarece aceasta componenta a fluxului rotoric este nula, prin alegerea sistemului de coordonate. Dar

.

Daca , rezulta si in consecinta i_rx = 0 si deci

Schemele de reglare vectoriala bazate pe relatia (3.29) controleaza cele doua componente ortogonale ale curentului statoric astfel incat sa asigure mentinerea constanta a componentei reactive (i_sx), controlul cuplului realizandu-se prin intermediul componentei active, i_sy.

Expresia cuplului electromagnetic in sistemul solidar cu fazorul fluxului statoric

Se va particulariza expresia vectoriala a cuplului electromagnetic scrisa in sistemul general de coordonate. Tinand cont de expresiile fazorilor curentului statoric si ale fluxului statoric in sistemul general de coordonate, Error! Reference source not found..b, Error! Reference source not found..c, proiectia expresiei pe axele (x,y) ale sistemului general conduce la

. (3. )

Daca s-ar considera un sistem de coordonate care sa fie solidar cu fluxul statoric, cu axa x orientata dupa acesta, va rezulta ca Y_sy=0 si deci

,

ceea ce ar conduce la

, )

respectiv cuplul electromagnetic ar fi exprimat ca produs scalar a doua marimi ortogonale.

Pentru aceasta, se va particulariza sistemul general de coordonate pentru cazul cand acesta se roteste cu

, (3. )

respectiv q_g = r_s, axa x fiind orientata dupa fazorul fluxului statoric (fig. 3.3).

Particularizand Error! Reference source not found..b si Error! Reference source not found..c pentru q_g = r_s se obtin:

,

.

Cuplul electromagnetic (3.17), respectiv se poate scrie atunci

. )

S-a obtinut din nou o expresie de produs scalar intre doua marimi (flux statoric si curent) ortogonale, absolut similar motorului de c.c.

Pentru completare, se expliciteaza transformarea componentelor curentului statoric in sistemul solidar cu fluxul statoric, transformare valabila pentru toate marimile statorice:

,

sau matriceal,

, (3. )

Evident ca transformarea inversa, din sistemul rotitor in sistemul fix va fi:

,

respectiv matriceal,

, (3. )

Deoarece marimile masurabile si controlabile sunt curentii, se va urmari, ca si in § 3.2, sa se exprime in functie de curenti.

Pentru aceasta, expresia fluxului statoric in sistemul general de coordonate Error! Reference source not found..a se particularizeaza pentru sistemul solidar cu fluxul statoric:

, (3. )

in care fazorul curentului rotoric in sistemul solidar cu fluxul statoric se obtine prin particularizarea Error! Reference source not found..b pentru q_g = r_s

.

Datorita alegerii particulare a sistemului de coordonate, se poate defini in continuare curentul de magnetizare statoric:

. )

Inductivitatea statorica totala, L_s se poate exprima in functie de inductivitatile de dispersie statorica si cea de magnetizare L_s = L_ss + L_m, sau definind factorul de dispersie al statorului

,

curentul de magnetizare statoric, se poate scrie

.

Datorita alegerii particulare a sistemului de coordonate (solidar cu fluxul statoric si orientat cu axa x dupa acesta), rezulta ca in acest sistem de coordonate, componenta fluxului statoric dupa axa y va fi nula, ceea ce va determina, conform (3.37), ca si curentul de magnetizare statoric sa nu aibe componenta decat dupa axa x:

. )

Explicitand modulul fluxului statoric din (3.38) si inlocuind in expresia cuplului electromagnetic , se obtine:

. )

S-a obtinut din nou o expresie de produsul scalar a doi curenti ortogonali, cuplul putand fi controlat prin comanda independenta a celor doua componente, - generatoare de flux, respectiv i_sy - generatoare de cuplu. Se observa din nou similaritatea cu expresia cuplului electromagnetic dezvoltat de motorul de c.c.

Schemele de reglare vectoriala bazate pe relatia (3.39) controleaza cele doua componente ortogonale ale curentului statoric astfel incat sa asigure mentinerea constanta a componentei reactive , controlul cuplului realizandu-se prin intermediul componentei active, i_sy.

Expresia cuplului electromagnetic in sistemul solidar cu fazorul fluxului rezultant (de magnetizare)

Daca in expresia cuplului electromagnetic , se exprima fluxul statoric total, ca suma a fluxurilor de dispersie si de magnetizare

, )

in care fazorul fluxului de dispersie statoric este

,

iar fluxul util

, )

cu si tinand cont ca i_sg x i_sg = 0, rezulta

, )

respectiv dupa dezvoltarea produsului vectorial:

. (3. )

Expresia vectoriala a cuplului electromagnetic (3.42), scrisa in sistemul general de coordonate, se va particulariza pentru un sistem de coordonate solidar cu fazorul fluxului de magnetizare, ce are axa x orientata dupa fazorul fluxului si deci care se roteste cu

, (3. )

in care m_m reprezinta pozitia fazorului fluxului de magnetizare fata de sistemul fix de coordonate, solidar cu statorul (sD, sQ), fig. 3.4.

In acest sistem de coordonate va rezulta ca Y_my=0 si deci

,

ceea ce conduce la

, )

respectiv cuplul electromagnetic este exprimat ca produs scalar a doua marimi ortogonale.

Pentru sistemul de coordonate considerat este valabila particularizarea q_g = m_m, ceea ce permite, pe baza expresiei Error! Reference source not found..b, obtinerea expresiei fazorului curentului statoric

,

iar prin particularizarea expresiei (3.40)

.

Cuplul electromagnetic (3.42), devine atunci

,

respectiv

. )

S-a obtinut din nou o expresie de produs scalar intre doua marimi (flux statoric si curent) ortogonale, absolut similar motorului de c.c.

Pentru completare, se expliciteaza transformarea componentelor curentului statoric in sistemul solidar cu fluxul de magnetizare, transformare valabila pentru toate marimile statorice:

,

sau matriceal,

, )

Evident ca transformarea inversa, din sistemul rotitor in sistemul fix va fi:

,

respectiv matriceal,

, )

Ca si in cazurile anterioare (§ 3.2, § ), se va urmari sa se exprime in functie de curenti.

Pentru aceasta, expresia fluxului de magnetizare in sistemul general de coordonate (3.41) se particularizeaza pentru sistemul solidar cu fluxul statoric:

, (3. )

in care fazorul curentului rotoric in sistemul solidar cu fluxul de magnetizare se obtine prin particularizarea Error! Reference source not found..b pentru q_g = m_m

.

Inlocuind (3.48) in , se obtine:

. )

S-a obtinut din nou o expresie de produsul scalar a doi curenti ortogonali, cuplul putand fi controlat prin comanda independenta a celor doua componente, , respectiv i_mx - generatoare de flux si i_sy - generatoare de cuplu. Se observa din nou similaritatea cu expresia cuplului electromagnetic dezvoltat de motorul de c.c.

Schemele de reglare vectoriala bazate pe relatia (3.50) controleaza cele doua componente ortogonale ale curentului statoric astfel incat sa asigure mentinerea constanta a componentei reactive , controlul cuplului realizandu-se prin intermediul componentei active, i_sy.