Ecuatiile convertorului electromecanic de energie

Ecuatiile convertorului electromecanic de energie

A. Introducere.

Masina electrica este un convertor electromecanic de energie: converteste energia mecanica in cea electromagnetica si invers.

Anterior a fost prezentata masina electrica generalizata, care este o masina bifazica si s-a ajuns la concluzia ca toate tipurile clasice de masini electrice trifazice se pot "reduce" la masina electrica bifazica, dar toate aspectele reducerii s-au prezentat mai mult fenomenologic, fara o baza matematica; in continuare se va prezenta baza matematica corespunzatoare.

Se ia in considerare un sistem trifazat simetric de curenti (o tripleta de curenti): (i_a, i_b, i_c) si se pune problema cum s-ar putea determina in orice moment valorile instantanee ale acestor curenti.

Pentru a rezolva problema pusa, o varianta este aceea care presupune un sistem de coordonate (a,b,c) a caror axe sunt decalate intre ele cu 120°. Apoi se defineste un fazor rotitor al carui modul este egal cu valoarea efectiva a curentilor din tripleta si care se roteste cu viteza unghiulara w (in sensul invers acelor unui ceasornic); originea fazorului este amplasata in originea sistemului de coordonate ales, asa cum apare in figura 2.61.

Proiectiile fazorului pe axele (a,b,c), in orice moment, dau valorile instantanee ale curentilor tripletei. Se poate proceda si invers: se mentine fazorul fix si se roteste tripleta axelor (a,b,c). Fazorul este denumit fazorul reprezentativ al tripletei de curenti (,). Similar se pot determina fazorii reprezentativi pentru tensiuni, fluxuri magnetice etc.

Se demonstreaza ca fazorul reprezentativ poate stabili valorile instantanee pentru o tripleta de curenti, in sistemul de axe (a,b,c), daca curentii variaza oricum in timp, cu conditia ca in orice moment . Ori, aceasta conditie este indeplinita pentru multe cazuri de sisteme trifazate.

Pe de alta parte, daca se doreste trecerea de la sistemul de axe (a,b,c), la un alt sistem de axe (x,y,z): de exemplu

(111)

atunci aceasta se poate realiza printr-o transformare liniara corespunzatoare:

(112)

in care coeficientii φ_ij se numesc coeficientii transformarii liniare. Daca se doreste transformarea inversa celei din (111), atunci aceasta este posibila daca determinantul coeficientilor are valoarea diferita de cea nula:

(113)

Insa urmarind transformarea liniara , se poate face aceasta operatiune particularizand valoarea lui , de exemplu, astfel:

(114)

ceea ce este posibil daca coeficientii de transformare corespunzatori vor avea valori particulare

(115)

Curentul in acest caz capata notatia specifica () si se numeste componenta de secventa homopolara (in cazul curentilor se numeste si curent de nul).

Daca se respecta conditia stabilita anterior pentru orice moment

atunci desigur ca si transformarea anterioara devine

(116)

iar pentru tripleta de tipul nu sunt necesare decat doua axe de coordonate : si pentru comoditatea operatiunilor in cadrul acestor axe, ele pot fi alese ca doua axe rectangulare.

Dar ceea ce a fost prezentat pentru o tripleta de curenti poate fi reluat pentru o tripleta de tensiuni, fluxuri magnetice etc.

In acest fel deci, prin intermediul unor transformari liniare convenabil alese, se poate "trece" de la o masina electrica trifazata (ale carei marimi sunt reprezentate intr-un sistem de axe (a,b,c)), la o masina bifazica echivalenta (ale carei marimi pot fi reprezentate intr-un sistem de axe (x,y) rectangulare). Modelul bifazic de masina necesita insa un numar mai mic de ecuatii, in raport cu modelul trifazic si acesta repezinta beneficiul principal al acestui model.

Pentru a continua prezentarea modelului matematic al masinii bifazice, se admite:

- o armatura statorica cu sistemul de axe ;

- o armatura rotorica cu sistemul de axe .

Masina bifazica luata in considerare este bipolara (2p=2,p=1) si are doua sisteme de infasurari dispuse dupa axe ortogonale (decalate spatial la 90°): unul statoric cu numarul de spire , respectiv unul rotoric cu numarul de spire .

In timpul functionarii masinii, infasurarile acesteia (dispuse dupa axele sistemelor de coordonate respective), se deplaseaza unele in raport cu altele, iar unghiul q ce se formeaza intre axele infasurarilor determina viteza unghiulara relativa dintre cele doua armaturi (statorica si rotorica)

(117)

daca statorul masinii este fix, atunci este de fapt viteza unghiulara a rotorului.

Elementele prezentate pana acum se evidentiaza si in figura 61a.

Se admite ca dupa aceleasi axe sunt dirijate fluxurile magnetice () si curentii (). Deci la rotirea armaturilor, infasurarile masinii isi schimba pozitiile relative una fata de alta, ceea ce duce la modificarea unor inductivitati, respectiv a curentilor din infasurari si a fluxurilor magnetice.

Intr-adevar, fluxurile magnetice ce se inlantuie cu infasurarile statorice/rotorice, depind de unghiul q format intre axele statorului si cele ale rotorului. Din figura 61a rezulta ca pentru infasurarile statorice se poate nota (admitand, pentru simplificare, ca infasurarile dispuse pe cele doua axe sunt identice etc.):

(118)

in care este inductivitatea proprie a celor doua infasurari statorice, iar M este inductivitatea mutuala dintre o infasurare statorica si una rotorica in conditiile in care axele lor magnetice se suprapun.

Daca si infasurarile rotorice, dispuse dupa cele doua axe, sunt identice, atunci pentru rotor se pot stabili relatii similare pentru fluxurile magnetice :

(119)

in care este inductivitatea proprie a unei infasurari rotorice.

Cuplajele magnetice, dintre infasurarile ce sunt dispuse ortogonal una fata de alta , nu apar pentru ca sunt nule. De asemenea, se poate stabili usor ca relatiile dintre inductivitatile masinii bifazice si cele ale masinii trifazice reale sunt:

,

in care este inductivitatea mutuala dintre o infasurare statorica si una rotorica a masinii trifazice reale cand axele magnetice ale infasurarilor se suprapun; sunt inductivitatile de dispersie ale unei infasurari statorice/rotorice de la masina trifazica reala, iar sunt inductivitatile proprii ale infasurarilor statorice/rotorice la masina trifazata reala.

B. Stabilirea ecuatiilor generale

La masinile electrice care sunt simetrice din punct de vedere magnetic si electric, este mai comod sa se opereze direct cu vectorul reprezentativ al parametrului respectiv, iar daca peste planul sistemelor de coordonate alese pentru stator si rotor , se suprapune cate un plan complex, atunci se vor putea defini fazorii corespunzatori.

Astfel, daca se inmulteste cu (+j) a doua ecuatie din (118) si se aduna cu prima relatie, rezulta expresia:

sau

respectiv

(120)

in care s-a tinut seama ca

si (relatia lui Euler).

Similar, expresiile din (119) pentru fluxurile magnetice din rotor conduc la relatia

(121)

Insa nu trebuie sa se piarda din vedere, ca la fazorii se adauga componentele de nul ale fluxurilor magnetice respective:, pentru care, de exemplu, avem:

din care apoi rezulta , cunoscand ca . In relatiile anterioare marimile sunt fluxurile magnetice, care inlantuie fazele statorice a,b,c ale masinii trifazice reale. In anumite conditii insa, este posibil ca, componentele de secventa homopolara (de nul) ale parametrilor sa fie nule.

Pentru stabilirea ecuatiilor de functionare ale convertorului electromecanic de energie, se aplica teorema a doua a lui Kirchhoff pe conturele inchise ale fazelor statorice si rotorice ale masinii trifazate. De exemplu, pentru stator avem:

(122)

in care s-a admis ca infasurarea trifazata statorica este o infasurare trifazata echilibrata si deci ,iar celelalte notatii sunt cele obisnuite.

Trecerea marimilor electrice si magnetice, din cadrul sistemului de ecuatii (122), din sistemul de coordonate (a,b,c), la un sistem oarecare de coordonate (x,y) se va face printr-o transformare corespunzatoare de coordonate pentru fiecare marime in parte. In acest fel, de la expresiile din (122) se ajunge la sistemul de ecuatii:

(122a)

iar daca a doua ecuatie din (122a) se inmulteste cu (+j) si se aduna cu prima ecuatie; atunci se poate nota:

(122b)

Prin aceeasi metodologie se obtine o ecuatie si pentru rotorul masinii, doar ca marimile rotorice apar defazate cu unghiul q in raport cu cele statorice avand in vedere faptul ca axele rotorice apar decalate, la un moment dat, cu unghiul q in raport cu cele statorice (vezi figura 61a).

Daca se admite insa ca in intrefierul masinii exista un sistem ortogonal de axe de coordonate, independent de celelalte si care se roteste cu viteza unghiulara , atunci in statorul fix al masinii, pulsatia marimilor electrice in raport cu sistemul de coordonate mentionat va fi: (pentru ca ).

Pe de alta parte, daca se tine seama de relatia lui Euler, atunci ecuatiile statorului si rotorului, in sistemul de coordonate ce se roteste cu viteza unghiulara , trebuie notate sub forma

iar daca se are in vedere ca, de exemplu

atunci ecuatiile precedente devin

; (si eventual )

; (si eventual ),  (122c)

in care s-a tinut seama si de relatia din (117).

Ecuatiile din (122c) reprezinta forma cea mai generala si in acelasi timp cea mai simpla (scrisa in forma fazoriala) a ecuatiilor de functionare a unei masini electrice generalizate.

C. Ecuatiile generale in unele sisteme de coordonate.

Pentru cazul se ajunge la sistemul de coordonate denumit . Ecuatiile din (122c) devin

(123)

care notate intr-un mod detaliat apar sub forma:

; ,

; , (123a)

la care se adauga eventual relatiile pentru si .

Insa in legatura cu scrierea ecuatiilor generale in sistemul de coordonate se poate face o observatie interesanta.

Astfel, in sistemul de coordonate rotorul si statorul apar fixe unul in raport cu altul pentru ca , dar pentru ca statorul masinii este imobil, rezulta ca si rotorul masinii, in acest caz, apare imobil. In acest fel se ajunge la modelul pseudostatic al masinii electrice rotative. Si totusi, pentru ca puterile, pierderile si curentii din acest model de masina, sa ramana identice cu cele ale masinii reale (adica rotative), apar termenii: , care depind de viteza unghiulara a rotorului si deci sunt niste t.e.m. de miscare. Prin acest "artificiu" (care de fapt rezulta din transformare de coordonate), procesele conversiei energiei dintr-o masina electrica rotativa pot fi analizate cu ajutorul ecuatiilor unei masini electrice pseudostatice.

Intr-o alta ordine de idei, in sistemul de coordonate , statorul si rotorul fiind considerate imobile, se poate admite ca axele statorice , si cele rotorice se suprapun si atunci q=0. In acest caz relatiile din (118) si (119) devin:

;

;

Daca in ecuatiile din (123) se folosesc relatiile din (124) stabilite pentru fluxurile magnetice, atunci se obtin ecuatiile complete ale conversiei electromecanice a energiei in sistemul de coordonate , care pentru compactarea scrierii se pot nota sub forma matriciala astfel:

(125)

in care toate marimile au fost deja prezentate. Din (125) se poate nota, de exemplu, urmatoarea ecuatie completa pentru infasurarea rotorica dispusa pe axa a

in care s-a tinut seama ca sunt parametri constanti si ca deci, de exemplu, avem .

Observatie. Ideea "transformarilor" prezentate anterior poate fi sintetizata astfel : fiecare infasurare trifazata (statorica/rotorica) se transforma intr-o infasurare bifazica, care transpusa fiecare, la randul sau, intr-un plan complex, simplifica modelul masinii (dar totusi mai sunt necesare doua axe de reprezentare : una pentru fazorii rotorici si una pentru cei rotorici); daca insa cele doua axe se suprapun (asa cum apare in sistemul de coordonate mentionat anterior), atunci modelul se simplifica si mai mult pentru ca toate inductivitatile mutuale devin constante

Pentru ca procesul conversiei electromecanice a energiei sa fie descris complet este necesar ca la sistemul de ecuatii din (125) sa fie adaugate eventual ecuatiile pentru tensiunile de nul (daca este cazul), respectiv ecuatia fundamentala a miscarii

in care este momentul cuplului electromagnetic al masinii electrice; este momentul static rezistent, iar J este momentul axial total de inertie al sistemului de actionare dat (s-a admis ca J = const.).

Daca se admite ca , atunci se ajunge la sistemul de coordonate denumit (d,q,0), iar daca isi pastreaza o valoare oarecare, atunci se ajunge la sistemul de coordonate (u,v,0) (de fapt sistemul de ecuatii din (122) poate fi considerat ca fiind scris, in forma compact-fazoriala, pentru sistemul de coordonate (u,v,0)). Acest sistem de coordonate din urma se poate folosi cu mare eficacitate, de exemplu, in cazul in care la o masina electrica data se roteste atat rotorul cat si statorul.

Uneori se foloseste chiar sistemul natural de coordonate, asa cum este denumit sistemul (a,b,c), la care ecuatiile apar desigur cu coeficienti variabili. Acest sistem de coordonate ar fi benefic (daca nu chiar singurul posibil de folosit) in cazul in care, de exemplu, o masina asincrona are statorul si/sau rotorul alimentat de la o instalatie cu tiristoare. In acest caz literatura de specialitate recomanda in mod special ca masina electrica sa nu fie "redusa" la una bifazica, ci sa fie pastrata sub "forma sa trifazica", ceea ce inseamna ca se vor scrie sase ecuatii de tensiuni, la care insa tensiunile (cu expresiile lor analitice specifice) sunt preluate de la reteaua de alimentare si/sau de la convertoarele cu tiristoare.

D. -Unele concluzii privind folosirea ecuatiilor generale.

Luand in considerare sistemul de ecuatii din (125) si (125a), (in cazul folosirii sistemului de axe de coordonate (a b,0)), rezulta ca pentru studiul conversiei electromecanice a energiei sunt necesare cinci ecuatii (acest lucru este valabil daca se admite ca componentele de nul ale curentilor sunt nule, adica , ceea ce presupune ca si ; in care sunt considerate ca marimi independente, iar necunoscutele sunt curentii si viteza unghiulara .

Coeficientii ecuatiilor considerate sunt reprezentate prin rezistentele, inductivitatile proprii si mutuale statorice/rotorice si momentul axial de inertie J. In principiu acesti coeficienti pot avea valori constante sau pot avea niste variatii fiind dependente de alti parametri.

Pentru sistemul de ecuatii mentionat nu se cunosc solutii analitice (adica solutii exacte); dar cu actualele sisteme automate de calcul se obtin solutii numerice a caror precizie este suficient de buna pentru calculele ingineresti.

Insa aceste solutii pot fi afectate in urmatoarele cazuri :

a) daca una dintre marimile date (tensiunile sau ) este infinita, atunci nu se pot obtine solutiile sistemului;

b) daca rezistentele active sau reactive sunt infinite atunci curentii respectivi sunt nuli si cuplul electromagnetic al masinii este, de asemenea, nul, adica conversia energiei nu se produce;

c) daca J = , atunci pornirea masinii va dura un timp infinit de lung;

d) daca J = 0, atunci masina nu va atinge un regim stationar (corespunzator unei valori stationare a vitezei unghiulare), pentru ca rotorul va reactiona practic instantaneu la toate perturbatiile ce se produc in sistemul de actionare ;

e) daca inductivitatile mutuale sunt nule, atunci nu se va produce un cuplaj magnetic intre stator si rotor, respectiv va fi nul;

f) daca , atunci sistemul dat se comporta ca un acumulator de energie si nu ca un convertor de energie.

La incheierea acestui punct trebuie mentionat faptul ca in cazul in care trebuie luate in considerare interactiunea mai multor armonici superioare ale campului magnetic din masina, atunci trebuie admis un model de convertor electromecanic generalizat, care apare sub forma unei masini bifazate formate din m (m este numarul de armonici luate in evidenta, inclusiv armonica fundamentala) infasurari statorice si rotorice dispuse dupa cele doua axe de coordonate (x, y).

E. - Unele expresii uzuale ale momentului cuplului electromagnetic.

In relatia (125) a fost necesara folosirea unei expresii pentru momentul cuplului electromagnetic. O expresie a acestuia a fost stabilita deja in paragraful 10, dar aceasta nu este folosita nefiind posibila totdeauna obtinerea datelor necesare pentru aplicarea formulei.

Pe de alta parte, in relatia (125a) este necesara valoarea instantanee a momentului cuplului electromagnetic pentru ca anume aceasta valoare este necesara in ecuatia diferentiala mentionata.

Valoare instantanee a momentului cuplului electromagnetic se poate obtine insa folosind prima teorema a fortelor generalizate, in care energia totala inmagazinata in campul magnetic al sistemului din masina poate fi notata sub forma

(126)

in care curentii si fluxurile magnetice sunt date in sistemul ortogonal de axe (x, y). Daca se tine seama de relatiile (118) , (119), atunci expresia din (126) devine:

(127)

iar daca se aplica acum expresia pentru determinarea fortei generalizate, atunci rezulta

(128)

Daca se iau in considerare, de exemplu, sistemul de coordonate , atunci trebuie avut in vedere ca coordonatele , din stator si rotor se suprapun si deci .

In aceasta situatie relatia precedenta devine

(129)

expresia valabila pentru o masina bifazica cu p=1. Pentru o masina m fazica si p=1 vom avea

(130)

iar daca 2p > 2, atunci relatia din (130) devine

(131)

Folosind o metodologie similara cu cea prezentata anterior, dar tinand seama si de relatiile dintre curenti si fluxurile magnetice se pot obtine si alte expresii pentru :

- in functie numai de marimile statorice

(132)

- in functie numai de marimile rotorice

(133)

Se mai pot stabili si alte expresii pentru valoarea instantanee a momentului cuplului electromagnetic, dar in principiu, in practica, se va utiliza, acea relatie de calcul pentru , ale carei marimi se pot determina (intr-un context dat) cel mai usor.