Ecuatiile de tensiune ale masinii asincrone

Ecuatiile de tensiune ale masinii asincrone

Schema masinii asincrone trifazate cu rotor bobinat (cu inele) este reprezentata in fig. 2.1. Sunt indicate sensurile de referinta pentru tensiunile si curentii din stator si din rotor. Pozitia relativa dintre stator si rotor este caracterizata de unghiul . Se considera repartitia sinusoidala a infasurarilor la periferia intrefierului si se neglijeaza pierderile in fier. Marimile din rotor sunt raportate la stator. Tensiunea aplicata unei faze este echilibrata de caderea de tensiune pe rezistenta fazei respective si de t.e.m. indusa datorita variatiei fluxului inlantuit din faza respectiva.

Pentru fazele statorice rezulta ecuatiile:

; (2.1)

in care: R_s este rezistenta unei faze a statorului.

Sub forma matriceala a modelului trifazat, conform relatiei (1.19), rezulta:

. (2.2)

Pornind de la rel. (1.13) de definitie a unui fazor spatial, ecuatiile de tensiune (2.1) se pot scrie intr-o singura ecuatie sub forma fazoriala astfel:

. (2.3)

In aceasta forma fazoriala un fazor poate fi scris in planul complex, dupa axele d, q, prin modului sau inmultit cu e^j..

Fazorii u_s, i_s, _s corespund relatiilor (1.6), (1.8) si (1.9). La relatia (2.3) trebuie adaugata, evident, ecuatia componentelor homopolare, (1.15):

. (2.4)

Proiectand ecuatia (2.3) pe axele planului complex (d - q) fix, atasat statorului, se obtin cele doua componente corespunzatoare modelului bifazat:

. (2.5)

Ecuatiile (2.4) si (2.5) conform relatiei (1.20) pot fi scrise intr-o singura ecuatie matriceala corespunzatoare modelului bifazat:

. (2.6)

Trecerea de la ecuatia (2.2) a modelului trifazat la ecuatia (2.6) a modelului bifazat rezulta matematic prin inmultirea relatiei (2.2) la stanga cu matricea [A].

In mod analog, pentru fazele rotorice rezulta ecuatiile de tensiune:

, (2.7)

in care R_r este rezistenta unei faze rotorice.

Ca si la stator, ecuatiile (2.7) pot fi scrise intr-o singura ecuatie matriciala dar trebuie luat in considerare faptul ca rotorul este rotit fata de stator cu unghiul , (fig. 2.1).

Prin urmare, matricea marimilor rotorice va purta indicele . Pentru modelul trifazat al rotorului, ecuatia matriceala va fi (analog relatiei 2.2).

. (2.8)

Considerand acum vectorii unitate 1, a, a²   ai fazelor rotorice intr-un plan complex (d - q) legat de rotor si procedand asemanator ca in stator, conform relatiilor (1.10), (1.11), (1.12) si (1.13) obtinem ecuatia fazoriala:

. (2.9)

Se adauga relatia componentelor homopolare:

. (2.10)

Modelul bifazat al rotorului in sistemul de axe proprii rotorului se obtine din relatia (2.9) proiectand ecuatia fazoriala pe axele (d - q):

. (2.11)

Prin urmare ecuatia matriceala corespunzatoare modelului bifazat (d- q) va fi:

. (2.12)

Trebuie observat ca, conform fig. 2.1, cuplajul magnetic dintre infasurarea statorica si rotorica depinde de pozitia relativa a acestor infasurari (unghiul ). Aceasta dificultate (a cuplajelor magnetice variabile) poate fi inlaturata daca procesele din stator si rotor se considera raportate la un sistem de referinta comun, oarecare (d- q) [6]. La acest sistem comun vom raporta toate ecuatiile de tensiune: cele ale statorului (2.3) si (2.6), respectiv rotorului (2.9) si (2.12).

In acest scop, in fig. 2.2, s-au reprezentat pentru simplificare numai axele reale ale planurilor complexe, astfel:

axa reala d a planului complex (d - q) legat de stator;

axa reala d a sistemului (d - q) atasat rotorului;

axa reala d a sistemului (d - q) oarecare comun, la care vom face raportarile.

a) Pentru a obtine ecuatiile fazoriale de tensiune intr-un sistem bifazat comun, oarecare, d - q, va trebui sa efectuam schimbarea de axe ale fazorilor spatiali: u_s, i_s, _s scrisi in sistemul fix (d - q), utilizand relatia (1.36). Daca acesti fazori se raporteaza la sistemul (d - q) pentru un fazor oarecare x, rezulta, conform relatiei (1.37) pentru , deoarece ,

.

Exprimand x_s pentru cei trei fazori statorici, va rezulta:

. (2.14)

Inlocuim aceasta expresie in relatia (2.3):

.

Obtinem:

,

; (2.15)

unde este viteza unghiulara a sistemului de axe oarecare (d - q ). Ecuatia de tensiune a rotorului (2.9) se obtine printr-un procedeu similar. Deoarece in acest caz marimile de faza ale rotorului se rotesc impreuna cu rotorul, fazorii spatiali: u_r, i_r, _r sunt raportati la sistemul de axe (d - q) solidar cu rotorul. In vederea raportarii acestor fazori la sistemul comun oarecare (d - q ), se aplica aceeasi relatie (1.36) in care:

.

Pentru un fazor oarecare raportat la axele (d - q ), rezulta:

. (2.16)

Exprimand x_r pentru cele trei marimi rotorice, obtinem:

. (2.17)

Inlocuind aceasta expresie in relatia (2.9):

,

obtinem:

.

Efectuand calcule in acelasi mod, rezulta in final:

, (2.18)

in care: este viteza unghiulara a rotorului.

Proiectand ecuatiile (2.15) si (2.18) pe axele planului complex (d - q ), se obtin relatiile corespunzatoare modelului bifazat.

Pentru stator, considerand:

se obtin:

. (2.19)

Analog, pentru rotor va rezulta:

. (2.20)

Componentele homopolare (2.4) respectiv (2.10) sunt invariante fata de schimbarea de sisteme de axe.

b) Pentru a obtine ecuatiile de tensiune scrise sub forma matriceala in sistem bifazat (d - q ), pornind de la ecuatiile de tensiune scrise sub forma matriceala in sistem trifazat, efectuam schimbarea de variabile de la marimile de faza la componentele fazorului spatial in planul complex determinat de unghiul

Relatia de recurenta (1.28) devine:

. (2.21)

Utilizand aceasta relatie pentru tensiunea statorica, va rezulta:

.

Relatia (2.2) scrisa pentru un sistem trifazat atasat statorului era:

.

Pentru a obtine intr-un sistem trifazat oarecare, determinat de unghiul , folosim relatia (1.55), in care: . Rezulta:

. (2.22)

In ecuatia (2.22), in expresia termenului al doilea, trebuie sa apara derivata fluxului in sistemul de coordonate , care dezvoltata, va fi:

Din aceasta rezulta:

deoarece

.

In final:

. (2.23)

Pentru tensiunea rotorica, in loc de apare ( - ) si in loc de , apare

. (2.24)

Utilizand relatia (2.21) aplicata expresiilor (2.23) si (2.24), determinam ecuatiile de tensiune scrise sub forma matriceala in sistemul bifazat (d - q

.

Matricea [A] contine elemente constante si este deci comutativa in raport cu operatorul de derivare.

.

In termenul al treilea:

.

Termenul , in care caz matricea:

.

In final, ecuatia matriceala a tensiunii statorice intr-un sistem bifazat comun, oarecare, d - q devine:

. (2.25)

Analog, pentru rotor, din rel. (2.24) rezulta:

. (2.26)

Analizand ecuatiile de echilibru ale tensiunilor la modelul bifazat corespunzator axelor (d - q) (rel. (2.19) si (2.20)), se observa ca acestea sunt legate intre ele prin al treilea termen.

Termenul de legatura este proportional cu viteza unghiulara relativa dintre sistemele marimilor care intervin (stator respectiv rotor) si sistemul de axe la care se face raportarea acestor marimi si cu componenta fluxului dupa axa perpendiculara.

Daca sistemul de axe la care se raporteaza marimile se confunda cu sistemul de axe statoric sau rotoric, aceasta legatura 'ortogonala' dispare la stator sau la rotor, dar niciodata nu poate sa dispara in ambele perechi de ecuatii (2.19) si (2.20). Deci, intre ecuatiile de tensiune ramane mereu o legatura ortogonala.