Harti Karnaugh de 5 si 6 variabile

Harti Karnaugh de 5 si 6 variabile

Pentru reducerea circuitelor logice mai mari se folosesc, evident, harti Karnaugh mai mari. Dar care este marimea maxima (practica) a unei harti Karnaugh? Acest lucru depinde de numarul de intrari a circuitului logic considerat. Practic, se poate constata ca aceasta limita este de 6 intrari. Prezentam mai jos asadar hartile Karnaugh de 5 si 6 variabile.

Harta Karnaugh de 5 variabile

Prima varianta a hartii Karnaugh de 5 variabile este modelul in oglinda. Desigur, numerotarea se realizeaza in cod Gray (partea de sus). Acesta se reflecta la mijlocul hartii. Acest stil este folosit de textele mai vechi:

Varianta preferata, cea cu suprapunere, este prezentata mai jos:

Aceasta varianta consta pur si simplu din doua (patru pentru o harta Karnaugh de 6 variabile) harti identice, cu exceptia bitului cel mai semnificativ din adresa de 3 biti din partea superioara. Daca ne uitam in partea de sus a hartii, observam ca numerotatia este diferita fata de harta precedenta (in cod Gray). Daca ignoram bitul cel mai semnificativ, precum am spus mai sus, secventa 00, 01, 11, 10 se regaseste in partea superioara a ambelor sub-harti. Secventa formata din cele opt numere de 3 biti nu este cod Gray.

Harta Karnaugh cu 5 variabile - exemplu

Sa proiectam un circuit cu 5 intrari binare (A, B, C, D, E), A fiind bit-ul cel mai semnificativ. Circuitul va trebui sa produca o iesire "inalta" pentru orice numar prim detectat la intrare:

Prezentam mai jos o solutie sub forma hartii Karnaugh de 5 variabile in oglinda, folosind cod Gray:

Numerele prime sunt (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31). Introducem o valoare de 1 in fiecare regiune corespunzatoare. Trecem apoi la gruparea regiunilor si scrierea rezultatului simplificat. Observati ca grupul de patru regiuni A'B'E contine doua perechi de cate doua regiuni aflate de fiecare parte a liniei de reflexie. Acelasi lucru este valabil si pentru grupul format din doua regiuni AB'DE. Aceste grupuri se formeaza prin reflexie. Atunci cand folosim acest stil de harta Karnaugh, va trebui sa cautam astfel de grupuri reflectate. Expresia booleana simplificata mai sus este urmatoarea:

iesire = A'B'E + B'C'E + A'C'DE + A'CD'E + ABCE + AB'DE + A'B'C'D

Sa consideram si varianta hartii Karnaugh cu 5 variabile, cu suprapunere:

Daca facem o comparatie intre cele doua variante de sus, anumite regiuni din partea dreapta a hartii isi modifica locatia, din moment ce adresele din partea de sus a hartii s-au modificat. Trebuie de asemenea sa gasim o alta modalitate de grupare a termenilor din cele doua jumatatii ale hartii. Solutia consta in suprapunerea (imaginara) a celor doua jumatati. Orice suprapunere a hartii de deasupra cu harta de dedesubt prezinta o posibila grupare. Figura de mai jos indica faptul ca grupul AB'DE este compus din doua regiuni suprapuse. Grupul A'B'E este format din doua perechi de regiuni suprapuse:

Pentru grupul A'B'E de patru regiuni, ABCDE = 00xx1. Cu alte cuvinte, variabilele A, B si E sunt aceleasi (001) pentru grup. Pe de alta parte, CD = xx (aceste variabile nu sunt identice pentru grup). Din moment ce ABCDE = 00xx1, grupul de patru regiuni este acoperit de A'B'XXE = A'B'E.

Harta Karnaugh de 6 variabile

Luam acum un exemplu de utilizare a unei harti Karnaugh de 6 variabile. Am suprapus (imaginar) cele patru sub-harti pentru a putea vizualiza gruparea de patru regiuni corespunzatoare iesirii C'F':

Un comparator de amplitudine (utilizat pentru ilustrarea utilizarii hartii Karnaugh de 6 variabile) compara doua numere binare. Acesta indica daca cele doua numere sunt egale, mai mici sau mai mari unul fata de celalalt. Un astfel de comparator are trei iesiri:

Un comparator de amplitudine pe trei biti are doua intrari: A₂A₁A₀ si B₂B₁B₀. Un comparator de amplitudine sub forma unui circuit integrat (7485) are practic patru intrari. Totusi, harta Karnaugh de mai jos trebuie mentinuta la o marime rezonabila. Vom rezolva problema doar pentru iesirea A>B.

Pentru simplificarea logicii comparatorului de amplitudine pe 3 biti, folosim harta Karnaugh cu 6 variabile de mai jos. Aceasta varianta este cea cu suprapunere. Codul binar folosit nu este cod Gray. Gasim expresiile redundante prin suprapunerea celor patru sub-harti, precum am aratat mai sus. Am putea gasi regiuni comune tuturor celor patru harti, desi, in exemplul de mai jos nu este cazul. Putem observa totusi ca exista regiuni comune sub-hartilor:

Iesirea A>B este reprezentata de ABC>XYZ pe harta de mai sus. Ori de cate ori ABC este mai mare decat XYZ, avem o valoare de 1 pe harta. Pe prima linie, ABC = 000 nu poate fi mai mare decat nicio valoare a lui XYZ. Nu avem nici o valoare de 1 pe aceasta linie. Pe linia a doua, ABC = 001, si doar in prima regiune, ABCXYZ = 001000, ABC este mai mare decat XYZ. Avem un un singur 1 in prima regiune a celei de a doua linii. Pe linia a treia, ABC = 011 si avem trei valori de 1. Pe linia a patra, ABC = 010, exista o pereche de 1. Prin urmare, harta este completata cu valori de unu ori de cate ori ABC este mai mare decat XYZ.

Pentru gruparea regiunilor, acolo unde este posibil, incercam sa formam grupuri cu sub-hartile adiacente. Toate grupurile in afara de un grup de 16 regiuni sunt formate din regiuni apartinand sub-hartilor adiacente. Rezultatul este: 1 grup de 16 regiuni; 2 grupuri de 8 regiuni; 4 grupuri de 4 regiuni. Grupul de 16 regiuni, AX', ocupa toata sub-harta din partea de jos-stanga a hartii Karnaugh, desi, in figura de mai sus, aceasta nu este incercuita.

Numarand valorile de 1 de pe harta, ajungem la un total de 16 + 6 + 6 = 28. Inainte de reducerea logica folosind harta Karnaugh de mai sus, solutia logica sub forma de suma de produse ar fi avut 28 de termeni, fiecare cu 6 intrari. Simplificarea logica cu ajutorul hartii Karnaugh de mai sus, a redus numarul termenilor la sapte, fiecare cu un numar de patru sau mai putin de patru intrari. Acesta este de fapt scopul hartilor Karnaugh!