STATICA FIRELOR

1. NOTIUNI GENERALE DESPRE FIRE

In mecanica prin fir se intelege un corp care prezinta urmatoarele proprietati:

are o singura dimensiune, lungimea care este sensibil mai mare  decat cele ale sectiunii transversale;

este perfect flexibil, adica poate lua orice forma, fara sa opuna rezistenta, si poate fi solicitat numai la intindere, neputand prelua solicitari de compresiune sau de incovoiere;

este inextensibil;

este torsionabil, adica nu se opune cand i se opune un moment de rasucire.

In general, aceste proprietati trebuiesc privite ca ipoteze simplificatoare deoarece, in realitate, corpurile care sunt tratate ca fire nu indeplinesc integral aceste proprietati fiind intr-o oarecare masura extensibile si manifestand o anumita rigiditate la incovoiere si torsiune, etc.

Ca exemple de fire se pot da: lanturile, curelele, firele electrice, etc.

Ipotezele conform careia firele sunt considerate perfect flexibile si torsionabile au ca efect ca in orice sectiune se introduce o singura forta, adica torsorul de reducere este format dintr-o singura forta, normala pe planul sectiunii transversale.

2. FRECAREA FIRELOR, BENZILOR, CABLURILOR

In practica curenta se intalnesc deseori situatii cand se utilizeaza fire, benzi sau cabluri trecute peste o piesa de forma cilindrica aspra (scripete, tambur etc.) fixa si sa fie solicitate astfel incat sa apara o tendinta de deplasare relativa intre cilindru si cablu sau banda de catre fortele si aplicate la cele doua capete. (fig. 1.a)

Pentru a stabili conditiile de echilibru ale unui astfel de fir, se va considera un element infinit de mic (fig. 1.b) asupra caruia actioneaza fortele si la cele doua capete, reactiunea normala , precum si forta de frecare . Aceste forte se presupun a fi concurente in punctul A₀ situat la mijlocul elementului de fir, avand in vedere dimensiunile foarte mici ale elementului.

Ecuatiile de echilibru devin:

(1)

Deoarece unghiul dq este foarte mic, se poate face aproximatie , iar produsul , deoarece este infinit mic de ordinul doi.

In felul acesta ecuatiile 1 devin: 

(2)

la care se mai adauga si conditia dT md N pentru existenta echilibrului

dS=dT mdN  sau dS mSdq

ce reprezinta o ecuatie diferentiala de ordinul I cu variabile separabile.

Separand variabilele se obtine:

mdq

care prin integrare devine:

Tprin integrare:

ln P - ln Q ma

sau:

ma T P=Qe^ma (3)

Relatia (3) este formula lui Euler pentru frecarea firelor.

Pentru cealalta tendinta de dplasare rezulta:

Q=Pe^ma

Daca se reunesc cele doua relatii, se obtine limita de variatie pentru raportul P/Q, pentru ca miscarea sa nu se poata produce in nici unul din sensuri:

e^-ma P/Q e^ma

Aplicatia 1

In jurul a doi cilindri fixi este infasurat un fir ca in schita. La capetele firului sunt suspendate greutatile P si Q, ca in figura 2. Sa se determine coeficientul de frecare la alunecare m dintre fir si cilindri astfel ca cele doua greutati sa se gaseasca in echilibru. Se va considera P=100N si Q=800N.

R. Pentru echilibrul la limita este necesar ca Q=S e^ma; S=P e^ma unde S este tensiunea din fir pe portiunea orizontala, iar a este unghiul de infasurare a firului pe fiecare cilindru.

T

Deci pentru echilibru este necesar ca m

TESTUL  5

Ca miscarea firului trecut peste un tambur sa nu se produca in nici unul din sensuri, trebuie ca:

a)     e^-m P/Q e^m

b)     e^-a P/Q e^a

c)     e^-ma P/Q e^ma

d)     e^pma P/Q eQ^ma

e)     e^-ma PQ e^-ma

2) In formula lui Euler P Qe^ma a reprezinta:

a)     unghiul dintre P si Q;

b)     unghiul dintre P si orizontala;

c)     unghiul dintre P si verticala;

d)     unghiul de contact dintre fir si suprafata de asezare;

e)     unghiul de frecare.

3) In formula lui Euler P Qe^ma m reprezinta:

a)     coeficientul de rostogolire dintre fir si suprafata de asezare;

b)     coeficientul de frecare la alunecare dintre fir si suprafata de asezare;

c)     coeficientul de frecare la pivotare dintre fir si suprafata de asezare;

d)     un coeficient oarecare;

e)     un coeficient egal cu 0,3

In mecanica, firul este considerat ca fiind:

a)     perfect flexibil, inextensibil si torsionabil, putand prelua solicitari doar de intindere;

b)     perfect flexibil, extensibil si torsionabil, putand prelua solicitari doar de intindere;

c)     perfect flexibil, extensibil si torsionabil, putand prelua solicitari de retindere si compresiune;

d)     perfect flexibil, inextensibil si torsionabil putand prelua solicitari doar de compresiune;

e)     perfect flexibil, inextensibil si netorsionabil putand prelua solicitari de intindere.

P si Q in formula lui Euler reprezinta:

a)     greutatea firului;

b)     tensiunile la capetele eliberate firului;

c)     tensiunile din fir in doua sectiuni;

d)     tensiunile la mijlocul firului;

e)     forta de tractiune din fir si forta de frecare cu scripetele.