Functia de productie CES - probleme

Functia de productie CES - probleme

Prescurtarea CES vine de la expresia Constant Elasticity Substitution, care desemneaza faptul ca elasticitatea substitutiei factorilor este constanta si diferita de valoarea 1.

Exprimarea matematica a acestei functii este urmatoarea

Y = (aL^α + bK^α)

in care:

a, b > 0, α > 1

Daca se ia in considerare progresul tehnic, functia de productie CES, se poate scrie astfel:

Y = e^λt (aL^α + bK^α)

Problema

Se considera functia de productie Cobb-Douglas: Y = a L^α K^β.

Daca p_L si p_K sunt preturile unitare ale factorilor munca, respectiv capital, sa se determine costul minim de productie.

Rezolvare

Costul minim de productie se obtine minimizand costul factorilor de productie C_FP. Acest cost se calculeaza cu relatia:

C_FP = p_LL + p_KK

Determinarea costului minim de productie presupune rezolvarea urmatorului sistem de ecuatii:

C_FP - minim  C_FP = p_LL + p_KK - minim

Y = a L^α K^β ↔ Y = a L^α K^β

Pentru rezolvarea acestui sistem, construim functia Lagrange L_a aferenta:

L_a (L, K, λ)= p_LL + p_KK + λ(Y - a L^α K^β)

= p_L - λαa L^α-1K^β = 0 → p_L = λαa L^α-1K^β

= p_K - λβa K^β-1L^α = 0 → p_K = λβa K^β-1L^α

= Y - a L^α K^β = 0 → Y = a L^α K^β

Daca impartim primele doua ecuatii de mai sus, obtinem:

Daca exprimam L in functie de K, rezulta:

→

Introducand aceasta expresie in ultima ecuatie a sistemului, obtinem:

Y = a L^α K^β → Y = a K^β = aK^α+β

Ridicam la puterea relatia de mai jos:

Y= aK^α+β → → →

→

Pentru factorul munca L:

→ →

În aceste conditii, costul minim de productie este dat de expresia:

C_FP = p_LL + p_KK = p_L+ p_K →

→ C_FP =

Problema

Se considera functia de productie: Y = L^1/ K^1/3.

În conditiile in care intreprinderea isi propune maximizarea profitului si daca se considera ca p_L = 1 si p_K = 1 sunt preturile unitare ale celor doi factori de productie munca, respectiv capital iar p pretul unitar al productiei realizate, sa se determine:

1) Functia de cerere de factori de productie.

2) Functia de oferta.

2) Cantitatea de productie care conduce la maximizarea profitului, in conditiile in care p = 2.

Rezolvare

Relatia de calcul a profitului total P_t este urmatoarea:

P_t = V_t - C_t

in care:

V_t = pQ veniturile totale obtinute de catre intreprindere.

C_t p_LL + p_KK - costurile totale inregistrate de catre intreprindere.

În aceste conditii functia care trebuie maximizata este

P_t = pY p_LL p_KK

Definim urmatoarea functie Lagrange

L_a (L, K, λ)= pQ p_LL p_KK λ(Y - L^1/2 K^1/3) →

→ L_a = pY L K λ(Y - L^1/2 K^1/3)

= - 1 - = 0 → - 1 = →

= - 1 - = 0 → - 1 = →

= Y - L^1/2 K^1/3= 0 → Y = L^1/2 K^1/3

Daca impartim intre ele primele doua relatii, obtinem:

→

În aceste conditii

Y = L^1/2 K^1/3 → Y = L^1/2→ Y = L^5/6 → L =

→ K =

2) Pornim de la conditia de maximizare a profitului:

P_t = pY - p_LL p_KK - maxim ↔ P _t

În cazul nostru:

P_t = pY - L K → P_t = pY -

= p - = 0

→ p = → p = → p = →

→ p⁵ = → Y =

3) Daca in functia ofertei consideram: p = 2, cantitatea de productie care conduce la maximizarea profitului este urmatoarea:

Y = → Y = → Y = = =

Problema

Se considera functia de productie: Y = x +.

În conditiile in care intreprinderea isi propune minimizarea costurilor de productie si daca se considera ca p_x = 3 si p_y = 1 sunt preturile unitare ale celor doi factori de productie x, respectiv y, sa se determine:

1) Functia de cerere de factori.

2) Costul minim de productie.

Rezolvare

1) Conditiile de minimizare a costului de productie C se regasesc in urmatorul sistem de ecuatii:

C - minim  C = p_xx + p_yy - minim 

Y = = x + ↔ Y = x +

A determina functia de cerere de factori inseamna a calcula marimile factorilor de productie x, respectiv y, in functiile de restrictiile impuse. Si in acest caz, putem utiliza functia lui Lagrange, definita in maniera urmatoare:

L (x, y, λ)= p_xx + p_yy + λ(Y - x -) = 3x + y + λ(Y - x -)

Calcularea derivatelor partiale si egalarea acestora cu zero, conduce la urmatoarele rezultate:

= 1 - = 0 → = 1 → y =

= Y - x -= 0 → Y = x +

Cum: λ = 3 si y = → y =

Introducand aceasta valoare in ecuatia: x = Y -

Rezulta: x = Y -= Y -

2) Întrucat valorile pentru x si y le-am obtinut pornind de la conditia minimizarii costurilor, introducand aceste valori in relatia care defineste costul factorilor de productie obtinem chiar costul minim de productie C_min:

C_min p_xx + p_yy = 3(Y - ) + 1 x = 3Y -