Piete de securitate finite

Piete de securitate finite

Acest capitol se refera la asa numitele piete finite adica, modele cu timp discret ale pietelor financiare, in care toate cantitatile relevante (importante) capata un numar finit de valori. Esential, urmarim aici conceptia lui Harrison si a lui Pliska (1981); mai multe analize complete ale pietelor finite pot fi regasite in Taqqu si Willinger (1987). O excelenta introducere in matematicile financiare cu timp discret este data intr-o recenta monografie de Pliska (1997). Sa subliniem ca tratarea in detaliu a modelelor finite ale pietelor financiare prezentata in cele ce urmeaza nu este motivata de importanta lor practica (exceptand modelele binomiale si polinomiale). Motivatia principala vine mai degraba din faptul ca cele mai importante idei si rezultate ale valorificarii arbitrare pot fi prezentate intr-un mod mult mai transparent lucrand mai intai intr-o fereastra de lucru finit-dimensionala.

Trebuie mai intai sa introducem niste notatii. Cum numarul de evenimente este presupus a fi o multime ordonata si finita, nu reprezinta nici o restrangere a generalitatii intr-o multime de evenimente: T = . Fie Ω o multime oarecare finita, Ω = , si fie F F_T* un σ-camp al tuturor submultimilor lui Ω, a.i., F = 2^Ω. Consideram un camp filtrat de probabilitate (Ω,F,P), cu o filtrare F = (F_t) _t≤T* , unde P este o masura arbitrara de probabilitate pe (Ω, F_T*), astfel incat P>0 pentru orice . Presupunem mai departe ca σ-campul F este banal; altfel spus F = . Un vector de preturi format din k securitati primare este modelat prin intermediul unui proces Z = (Z¹, ., Z^k) stocastic nenegativ F-adaptat¹ din R^k. Cat timp spatiul fundamental de probabilitate si multimea de evenimente sunt ambele finite, toate variabilele aleatoare si toate procesele stocastice considerate in acest capitol sunt automat marginite. Pe scurt, putem spune ca un proces dat este adaptat, in loc de F-adaptat fara a face nici o confuzie. Mentionam ca putem considera F_t F_t^Z = σ(Z₀, ., Z_t); altfel spus o filtrare fundamentala F este generata de observatiile procesului de pret Z. O strategie de piata (numita si portofoliu dinamic) este un proces f f f^k) F-adaptat din R^k. in orice moment T, a i-a componenta, f_tⁱ, al portofoliului f indica numarul de unitati din bunul i aflate in portofoliu in acel moment. Presupunem ca toate bunurile sunt perfect divizibile si piata de desfacere este perfecta, nici o restrictie in vanzarile-scurte de bunuri, si nu exista nici costuri sau taxe de tranzactionare.

Un proces Z = (Z , . ,Z^k), k-dimensional se zice a fi F-adaptat, daca pentru orice si orice t ≤ T*, variabila aleatoare Z_tⁱ este F_t-masurabila.

1. Piete finite punctuale

in aceasta sectiune, preturile de securitate Z_t , . ,Z_t^k sunt interpretate drept preturi punctuale (sau preturi lichide) ale unor bunuri financiare certe. Ca sa evitam orice confuzie cu pietele viitoare care vor fi studiate in sectiunea urmatoare, vom nota de aici incolo procesul de pret Z prin S = (S , . ,S^k). in cateva locuri, va fi esential sa presupunem ca procesul de pret al cel putin unui bun urmeaza un proces strict pozitiv. De aici incolo, presupunem, fara a pierde din generalitate, ca inegalitatea S_t^k > 0 este satisfacuta pentru orice t ≤ T*. Pentru a sublinia rolul special al acestei multimi deosebite, vom scrie uneori B in loc de S^k. Cum am mentionat anterior, componenta f_tⁱ a unei strategii f asociata unui numar de unitati al securitatii i detinuta de un investitor la un moment t. Aceasta implica faptul ca f_tⁱ×S_tⁱ reprezinta valoarea fondurilor investite in securitatea i la momentul t. Termenul de "fonduri" este folosit aici pentru a restrange terminologia. De fapt, presupunem doar ca preturile tuturor securitatilor primare sunt exprimate in unitati ale unui anumit bun comun, care este folosit drept referinta. Bunul de referinta trebuie sa aiba tendinta monotona, prin aceasta intelegand ca (a) toti indivizii prefera mai mult dintr-un bun decat mai putin, sau (b) toti indivizi prefera mai putin dintr-un bun decat mai mult (preferam sa spunem ca ramane (a) valida). În mod consecvent, valoarea oricarei submultimi va fi exprimata in unitati ale bunului de referinta. În dezvoltarile ulterioare, vom exprima uneori pretul original al tuturor bunurilor schimbate pe piata in termenii unei securitati primare fixate; procesul modificat ne va fi referit drept pret relativ (sau pret discontinuu, daca numaratorii corespund unui pret de legatura). Preturile originale ale securitatilor primare pot fi vazute drept preturi relative in legatura cu bunul de referinta, care, oricum, nu este specificat explicit. În privinta notatiilor noastre, urmatoarea definitie a imbogatirii strategiei de piata f se explica. Totusi consideram aici strategiile de piata care dureaza pana la momentul final T*, toate definitiile din aceasta sectiune pot fi usor extinse la strategii peste momentul T < T*.

Definitia 1.1. Valoarea portofoliului φ la momentul t este data de egalitatea (punctul "×" reprezentand inmultirea din R^k

Valoarea initiala V f f ×S se refera de asemeni la investitia initiala a strategiei de piata f. Cat timp atat S cat si f sunt variabile aleatoare F -masurabile, ele pot fi identificate drept vectori din R^k , urmand ca valoarea initiala V f) sa fie un numar real. Ulterior, la orice moment , portofoliul f poate fi reechilibrat astfel incat nu exista infuzii de fonduri externe, si nici un fond nu este retras (in particular, definirea unei strategii autofinantate presupune ca nici o consumatie inter-temporala nu are loc). În descrierea pietei punctuale cu timp discontinuu (discret), aceste presupuneri naturale sunt usor de formalizat prin intermediul definitiei urmatoare.

Definitia 1.2. O strategie de piata punctuala f se spune ca este autofinantata daca satisface:

f_t-1 × S_t = f × S_t , ( ) t ≤ T* (1)

Intuitiv, daca un portofoliu f este depus la momentul 0, reviziile lui sunt permise numai la momentele 1, . ,T*. Cu alte cuvinte, este tinut constant pentru fiecare perioada de timp (t, t+1), pentru t = 0, . ,T*. Observati ca reechilibrarea unui portofoliu f la data de sfarsit T* este de asemenea permisa. Daca o strategie de piata f este autofinantata, revizuirea sa la momentul T* nu afecteaza valoarea V_T*(f). De fapt, in virtutea ecuatiei (1), valoarea terminala V_T*(f) este unic determinata de forma portofoliului f_T*-1 la momentul T*-1 si de vectorul S_T* de preturi terminale ale portofoliului primar. În concluzie, cand ne confruntam cu dublarea portofoliului revendicat, putem presupune ca T*-1 este ultimul moment in care portofoliul poate fi reechilibrat. Nu este de mirare ca notarea procesului de castig G(f), care este presupus a reprezenta castigul de capital a detinatorului unui portofoliu dinamic f, nu ia in considerare variabila aleatoare f_T*

Definitia 1. Procesul de castig G(f) al unei strategii de piata punctuala f verifica egalitatea:

(2)

În virtutea (2), e clar ca avem in vedere aici portofolii primare care nu aduc bani lichizi in interiorul intervalelor temporale detinatorilor lor (ca de exemplu dividendele detinute de investitorii de titluri prin emiterea unui titlu). Sa definim prin Φ clasa tuturor strategiilor de piata punctuale autofinantate. E clar ca clasa Φ e un spatiu vectorial; pentru orice f ÎΦ si numerele reale c, d, combinatia liniara c×f + d×ψ reprezinta de asemenea o strategie autofinantata. Lema urmatoare foarte importanta leaga procesul G(f) al unei strategii autofinantate f cu procesul de evaluare V(f

Lema 1.1. O strategie f este autofinantata daca si numai daca:

V_t(f) = V₀(f) + G_t(f ) t ≤ T*. (3)

Demonstratie:

Presupunem pentru inceput ca f este autofinantata. Atunci, tinand cont de (1) -(2), obtinem:

deci (3) este adevarata. Implicatia inversa este de asemenea usor de demonstrat.

1.1 Sanse arbitrare

Continuam o analiza a modelului de piata punctuala M = (S, Φ), unde S este un proces stocastic adaptat si Φ este multimea tuturor strategiilor de piata (punctuale) autofinantate.

Definitia 1.4 O strategie de piata autofinantata Φ se numeste sansa arbitrara daca P = 1, si valoarea marginala a f satisface relatiile:

P = 1, si P > 0.

Spunem ca o piata punctuala M = (S,Φ) este liber arbitrara daca nu exista oportunitati arbitrare in clasa Φ a tuturor strategiilor de piata autofinantate.

Printr-un optiune europeana X care se stabileste la momentul T intelegem o variabila aleatoare F_t - masurabila arbitrar. Daca nu este stabilit explicit cand ne referim la o optiunile europeana putem face referire la ele prin optiuni sau mai simplu: drepturi. Tinand cont de faptul ca spatiul Ω este presupus a fi o multime finita cu d elemente, clasa X a optiunilor care au loc la un moment T* poate fi identificata cu spatiul liniar R^d (aceasta este aplicata de asemenea si drepturilor care au loc la un moment T ≤ T*). O strategie multiplicatoare pentru o optiune X, care are loc la momentul T, este o strategie de piata autofinantata f astfel incat V_T(f) = X. Fiind dat o optiune X intelegem prin Φ_X clasa tuturor strategiilor de piata care il multiplica pe X. Procesul de valorificare V_t(f), t ≤ T a unei strategii arbitrare f din Φ este numit proces multiplicativ al lui X in M. În sfarsit, spunem ca optiunea X este simulabila in M daca admitem cel putin o strategie multiplicativa. Urmatoarea definitie se refera la aceasta ultima proprietate.

Definitia 1.5. O piata M este numita completa daca fiecare optiune X Î X este simulabila in M sau echivalent, daca pentru fiecare variabila aleatoare F_t - masurabila X exista cel putin o strategie de piata f Î Φ astfel incat V_T*(f) = X.

La modul general, completitudinea modelului general al unei piete financiare este o proprietate foarte de dorit. În cadrul completitudinii pietei, orice optiune europeana (incluzand optiunile care au loc la momentul T < T*) poate fi evaluata i mod arbitrar, iar procesul sau de pret poate fi imitat prin intermediul unui portofoliu dinamic autofinantat.

1.2 Pret arbitrar

in aceasta sectiune X este o optiune simulabil ce are loc la momentul T.

Definitia 1.6 Spunem ca X este multiplicata unic in M daca admite un proces multiplicativ unic in M; aceasta daca are loc egalitatea

V_t(f) = V_t(ψ), ( ) t ≤ T,

Pentru orice strategii de piata arbitrare f si ψ apartinand lui Φ_X. in acest caz procesul V(f) este numit proces de valorificare al lui X in M

Propozitia 1.1 Presupunem ca piata M este liber arbitrara, atunci orice optiune simulabila X este replicata in mod unic in M

Demonstratie:

Presupunem din contra ca exista la momentul T o optiune X care admite doua strategii replicate numite ψ si f astfel incat pentru un t < T avem V_u(f) = V_u(ψ), pentru ( ) u < t si V(f ¹ V(ψ).

Presupunem mai intai ca t = 0, deci V₀(f) > V₀(ψ), pentru orice strategii replicate f si ψ. Fie o strategie z care satisface egalitatea (reamintim ca B = S^k):

z_u = ψ_u - f_u + (0, . ,0 ,v₀B₀^-1) I_A,

unde v₀ = V₀(f) - V₀(ψ). Atunci V₀(z) = 0 si V_T*(z) = v₀B₀^-1B_T* > 0 pentru orice ω, astfel incat z este o sansa arbitrara.

Sa consideram cazul t > 0. Putem presupune, fara a restrange generalitatea, ca P > 0, unde A reprezinta evenimentul . Notam prin x variabila aleatoare x = V_t(f) - V_t(ψ), si consideram urmatoarea strategie h h_u f_u - ψ_u, ( ) u < t, si h_u f_u - ψ_u) I_A^c+ (0, . ,0 ,xB_t^-1)I_A, ( ) u < t, unde A^C este complementara multimii A (daca are loc evenimentul A, ambele portofolii sunt lichidate si profiturile sunt investite in bunul k). Este clar ca strategia h este autofinantata si V₀(h) = 0. Mai mult, averea finala V_T*(h) satisface egalitatea:

V_T*(h xB_t^-1B_T*I_A .

În sfarsit, este clar ca V_T*(h) ≥ 0 si P = P > 0. În concluzie, h este o oportunitate arbitrara. Aceasta contrazice presupunerile noastre ca piata M este liber arbitrara.

Implicatia inversa nu este adevarata; aceasta este, unicitatea unui proces de valorificare a oricarei optiuni nu implica proprietatea de liber arbitru a unei piete, in general. De aici, existenta si unicitatea unui proces de valorificare asociat unei optiuni este insuficient pentru a justifica termenul de pret arbitrar. Într-adevar, este banala construirea unei piete finite in care toate optiunile sunt multiplicate in mod unic, dar exista o optiune strict pozitiva, notata Y, care admite o strategie multiplicata cu o investitie initiala negativa (cu un cost de productie negativ, folosind terminologia din Capitolul 1). Presupunem acum pentru fiecare optiune X, pretul sau la momentul 0, p (X), este definit ca investitia initiala a strategiei care multiplica pe X. Este important sa mentionam ca pretul functional p , in spatiul X al unei optiuni, nu va fi suportat de nici un fel de echilibru inter-temporal. De fapt, orice individ va incerca sa ia o pozitie infinita in oricare astfel de optiune Y (amintim ca presupunem toti indivizii sunt presupusi a prefera mai multa avere decat mai putina). În vederea unor consideratii viitoare, gasim normala introducerea notatiei unui pret arbitrar in modul urmator.

Definitia 1.7 Presupunem ca piata M este liber-arbitrara. Atunci procesul de valorificare al unei optiuni X este numit proces de pret arbitrar (sau, mai simplu, pret arbitrar) al lui X in M. il notam p_t(X), t ≤ T.

1.3 Formula de evaluare a riscului neutral

Cum am mentionat anterior, apropierea mare de conceptul de pret arbitrar a fost pentru prima data realizata de Cox si Ross (1976b) (desi idea de "risc-neutral" vine probabil de la Arrow (1964, 1970)). În terminologia financiara, ei au aratat ca intr-o lume in care exista un stoc si un titlu, este posibil sa construim preferinte printr-un risc neutral individual care da valoare acelor optiuni care sunt valorificate prin arbitraj. În aceasta privinta, mentionam ca masurile martingale pe care le vom introduce acum sunt uneori legate de probabilitati de risc-neutral.

Pentru simplificarea notatiilor, vom scrie de obicei S^k = B. Aceasta conventie nu implica, oricum, faptul ca S^k trebuie neaparat interpretat ca un proces de pret al unui titlu liber de risc. Amintim ca am presupus ca S^k urmeaza un proces strict pozitiv. Sa notam cu S^k procesul de preturi relative, S_t* = (S_t¹B_t^-1, . ,S_t^kB_t^-1) pentru ( ) t ≤ T*.

Definitia 1.8 O masura probabilistica P* pe (Ω, F_T*) echivalent² cu P (absolut continuu in legatura P) este numita o masura martingala pentru S* (o masura martingala generalizata pentru S*) daca pretul relativ S* urmareste o P* - martingala in legatura cu o filtratie S.

Notam prin P(S*) si prin (S*) clasa tuturor masurilor martingale pentru S*, si clasa tuturor masurilor martingale generalizate pentru S*. Avem, bineinteles, P(S*) Í (S*), mai mult, este usor sa aducem un exemplu in care clasa P(S*) este vida iar clasa (S*) este nevida. Observam de asemenea ca notatia unei masuri martingale depinde esential de alegerea bazei de numerotare - amintim ca am ales S^k = B ca un mod de numarare intru-totul. Urmatorul pas este sa introducem notatia unei masuri martingale pentru un model de piata M

Definitia 1.9 O masura probabilistica P* pe (Ω, F_T*) echivalenta cu P (absolut continua in raport cu P) este numita o masura martingala pentru M = (S, Φ) (o masura martingala generalizata pentru M = (S, Φ)) daca pentru fiecare strategie de piata f Î Φ procesul relativ de valorificare V*(f) = V(f)B^-1 urmeaza o P* - martingala in legatura cu filtratia F.

Scriem ca P M) (respectiv ( M)) pentru a nota clasa tuturor masurilor martingale (respectiv a tuturor masurilor martingale generalizate) pentru M. Scopul nostru este de a arata ca au loc egalitatile P(S*) = P M) si (S*) = ( M

Masura probabilistica P si Q pe perechea (Ω, F) sunt deopotriva echivalente daca, pentru ( ) CÎF, avem P=0 Û Q=0. Q se numeste absolut continua in raport cu P daca pentru orice CÎF, P=0 implica Q=0.

Lema 1.2. Pentru fiecare strategie de piata punctuala autofinantata f procesul sau relativ de valorificare V*(f) = V(f)B^-1 satisface relatia:

(4)

unde Pentru orice masura martingala (generalizata) P* valorificarea relativa V*(f) urmeaza o P* - martingala in legatura cu filtratia F.

Demonstratie:
Fie V = V(f) si V* = V*(f) . Este usor de verificat ca

(5)

Dar,

ca f_t × S_t^* = V_t^*. Pentru a doua afirmatie este suficient sa verificam

Folosind (5) obtinem

unde ultima egalitate reiese din proprietatea martingala a proceselor de pret relative S* sub P*.

Folosind Lema de mai sus este usor de demonstrat urmatorul corolar:

Corolar 1.1 O masura probabilistica P* pe (Ω, F_T*) este o masura martingala pentru modelul de piata M daca si numai daca este o masura martingala (generalizata) pentru procesul de pret relativ S*, altfel spus, P(S*) = P M) si (S*) = (M). Urmatorul rezultat arata ca existenta unei masuri martingale pentru M este suficienta pentru proprietatea non-arbitrara a M. Reamintim ca in mod banal P M Í( M) astfel incat clasa ( M)este nevida si clasa P M) este vida.

Propozitia 1.2 Presupunem ca clasa P M) nu este vida. Atunci piata punctuala M este liber-arbitrara. Mai mult, procesul de pret arbitrar al oricarei optiuni simulabile X, care are loc la momentul T, este data de formula de evaluare a riscului neutral:

(6)

unde P* este orice masura martingala (generalizata) pentru modelul de piata M (asociata cu alegerea lui B ca baza de numarare).

Demonstratie:

Fie P* o masura martingala oarecare pentru M. stim deja ca procesul de imbogatire V*(f) al oricarei strategii f Î Φ urmeaza o P* - martingala si astfel

pentru orice t. Cat timp P* este echivalent cu P este clar ca nu exista oportunitati arbitrare in clasa Φ a strategiilor de piata autofinantate. Deci, piata M este liber-arbitrara. Mai mult, pentru fiecare optiune simulabila X, care are loc la momentul T si pentru orice strategie f Î Φ avem:

(7)

Aceasta completeaza demonstratia in cazul unei masuri martingale P*. Daca masura probabilistica P* este o masura martingala generalizata pentru M, toate egalitatile din (7) raman adevarate (existenta unei masuri martingale generalizate nu implica absenta arbitrajului).

Concluzii: intr-o masura mai generala (intr-un mod de lucru timp-continuu) o masura martingala generalizata nu mai joaca rolul de masura de pret - aceasta altfel spus, egalitatea (6) nu ar mai fi adevarata in general daca masura martingala P* este pur si simplu absolut continua in raport cu o masura probabilistica fundamentala P. Motivul este ca integrala stocastica Itô (ca opusa unei sume finite) nu este variabila in raport o schimbare continua absoluta a unei masuri probabilistice.

1.4 Sisteme de pret

Aceasta sectiune adreseaza o intrebare de baza: existenta unei masuri martingale este o conditie necesara pentru absenta arbitrajului intr-un model finit al unei piete financiare? Rezultatele de acest tip se refera uneori la teorema fundamentala a valorificarii bunului. Urmam aici o abordare mult mai analitica datorata in mod esential lui Harrison si Pliska (191); pentru o abordare pur probabilistica ne referim la Taqqu si Willinger (1987), care au examinat cazul pietelor finite, si la manuscrisele lui Dalang (1990) si Schachermayer (1992), care au avut de a face cu modele cu timp discret cu spatiul de stare infinit (vezi de asemenea rezultatele lui Harrison si Kreps (1979). Amintim ca atata timp cat Φ = spatiul X al tuturor optiunilor care au loc la momentul t poate fi identificat cu spatiul liniar finit dimensional R^d. Pentru ( ) X Î X scriem X = (X(ω₁), . , X(ω_d)) = (x¹, . ,x^d) Î R^d. Sa introducem conceptul auxiliar al sistemului de pret.

Definitia 1.10. Printr-un sistem de pret intelegem o functionala³ liniara strict pozitiva arbitrara :X R.

Spunem ca o functionala liniara :R^d R este strict pozitiva daca (X) > 0 pentru orice X = (x¹, . ,x^d), cu xⁱ ≥ 0 pentru cativa i.

Este evident ca pentru orice sistem de pret exista un (unic) vector Y astfel incat Yⁱ > 0 pentru i = 1, . ,d, si (X) = E_P(X×Y) pentru fiecare X Î X. Acest vector, se refera frecvent la un vector de preturi de stare, reprezinta, dupa renormalizare si reducere, masuri martingale. Trebuie sa introducem doua definitii. Primele presupuneri implicite sunt acelea ca piata este liber-arbitrara.

Definitia 1.11. Un sistem de pret este compatibil cu valorificarea arbitrara in modelul de piata M atunci cand (X) = p (X) pentru orice optiune X simulabila pe M

Definitia 1.12. Daca M = (S, Φ) este un model finit de piata de securitate (nu neaparat liber-arbitrara), cand un sistem de pret se zice ca este potrivit cu M daca (V_T*(f) = V₀(f), pentru ( f Î

Propozitia 1. Exista o corespondenta unu la unu intre clasa P M) a tuturor masurilor martingale pentru M si multimea tuturor sistemelor de pret potrivite cu M. Este data de formula urmatoare:

X Î X (8)

si

A Î F_T* . (9)

Demonstratie:

Este suficient sa demonstram formulele (8) si (9). Pentru inceput, observam ca daca P* este o masura martingala pentru M, atunci valoarea relativa V*(f) pentru orice strategie de piata f Î Φ urmeaza o P* - martingala. În consecinta, pentru functionala data de (8), avem:

Este de asemenea evident ca este o functionala liniara strict pozitiva pe R^d. Pentru pasul urmator, presupunem ca este un sistem de pret arbitrar in legatura cu M si P* este o masura probabilistica definita prin (9). in virtutea corolarului 1.1, trebuie sa aratam ca procesul relativ de pret S* urmeaza o P* - martingala. Fie τ un moment de oprire arbitrar⁴ referitor la filtratia F. Pentru orice i fixat, i Î , fie o strategie de piata f Î Φ definita prin formula:

Cat timp f este auto-finantata, si sistemul este presupus a fi in legatura ca M, avem (V_T*(f)) = V₀(f), sau echivalent, (S_τⁱB_τ^-1B_T*) = S₀ⁱ. În terminologia unei valori asteptate in legatura cu probabilitatea P*, aceasta duce la:

Amintim ca o variabila aleatoare τ : Ω se zice a fi timp de oprire in legatura cu filtratia F daca evenimentul apartine lui F_t pentru orice t = 0, 1, . ,T*.

astfel incat E_*(Sⁱ)_T^* = (Sⁱ)₀^* pentru un timp de oprire arbitrar τ. Consideram timpul de oprire de forma τ = t×I_A + T*×I_A^c , unde A este o multime oarecare din F_t , urmeaza ca procesul (Sⁱ)* este o P - martingala. De vreme ce i era un numar oarecare din multimea , demonstratia este completa.

Din propozitia 1.2, stim deja ca daca multimea de masuri martingale este nevida, atunci piata M este liber-arbitrara. Vom vedea ca aceasta conditie este de asemenea si necesara pentru caracteristica ne-arbitrara a lui M

Propozitia 1.4. Presupunem ca modelul de piata punctual M este liber-arbitrar. Atunci clasa P M) este nevida.

Demonstratie:

Tinand cont de propozitia 1.3, ramane de aratat ca daca piata M este liber-arbitrara, atunci exista cel putin un sistem de pret in legatura cu M. Sa notam prin X = si

X

Este usor de vazut ca X este o submultime convexa inchisa din X, cat timp X este un subspatiu liniar al lui X. De asemenea X Ç X = , este usor⁵ de aratat ca exista o functionala liniara L : X R care satisface: L(X) = 0 pe X⁰si L(X) > 0 pentru fiecare X Î X . Sa punem:

X Î X (10)

Vom verifica daca functionala definita prin (10) este un sistem de pret legat de M; aceasta daca, (V_T*(f)) = V₀(f) pentru toti f Î Φ. Observam pentru inceput ca este o functionala liniara strict pozitiva pe X, daca si numai daca este intr-adevar un sistem de pret. Pentru orice f Î Φ, definim o strategie de piata autofinantata ψ prin ψ_t = f_t - (0, 0, . ,V₀(f)B₀^-1). Este evident ca V₀(ψ) = 0 si V_T*(ψ) = V_T*(f) -V₀(f)B₀^-1B_T* astfel incat variabila aleatoare V_T*(ψ) apartine subspatiului X . În consecinta, (V_T*(ψ)) = 0, sau echivalent, prin liniaritatea lui :

Acesta implica imediat ca este in legatura cu M

Corolarul 1.2. O piata finita punctuala M este liber-arbitrara daca si numai daca clasa P M) este nevida.

Trebuie sa gasim un vector a Î R^d, perpendicular pe X⁰, si de asemenea produsul interior a×y > 0 pentru fiecare y Î X . Notam prin C proiectia ortogonala a lui X pe complementul ortogonal V al lui X . Odata putem arata ca C este multime nevida, inchisa si convexa, ceea ce nu contine originea. Aplicand (in V, originea si multimea C) teorema de separare prin hiperplane (Luenberger (1984), pag 337) obtinem un vector a cu proprietatile dorite.

Concluzii: Sa subliniem importanta conceptului de sistem de pret, prin abordarea echilibrului general, pentru valorificarea arbitrara in pietele infinite. Într-o piata cu o colectie infinita de optiuni primare (sau intr-o multime ci timp continuu), s-a convenit sa se porneasca prin introducerea unei familii de strategii de piata simple care nu contin sanse arbitrare (sau asa-numitele "mic-dejunuri gratuite simple"). Pretul oricarui optiuni de pe piata, X (o optiune care poate fi multiplicata folosind o strategie de piata simpla) este facuta sa egaleze investitia initiala a unei strategii de piata care multiplica X. Prin extinderea functionala de pret de la subspatiul liniar al optiunilor de pe piata, la spatiul liniar al tuturor optiunilor (integrabile), este convenabil sa presupunem ca piata este "viabila" ca un model de echilibru economic, insemnand ca exista un individ care, alegand un schimb net superior, supus restrictiilor sale bugetare, este apt sa gaseasca un schimb optim. Într-o astfel de abordare un individ este caracterizat prin preferintele sale in spatiul de schimburi nete R ´ X. Rezultatul fundamental echivalent este ca piata este viabila daca si numai daca exista o extensie continua si strict pozitiva a functionalei de pret - extensia este referita prin "pret arbitrar". Orice functionala liniara strict pozitiva defineste, de asemeni, o masura probabilistica echivalenta, de fapt o masura martingala. Pentru mai multe detalii despre abordarea valorificarii arbitrare prin intermediul echilibrului, cititorul poate consulta Harrison si Kreps (1979), Kreps (1981), Duffie si Huang (1985) si Duffie (1996).

1.5 Completitudinea pietei finite

Urmatorul rezultat face legatura dintre completitudinea unei piete si unicitatea unei masuri martingale.

Propozitia 1.5. O piata punctuala liber-arbitrara M este completa daca si numai daca exista si e unica o masura martingala P* pentru M

Demonstratie:

Þ) Presupunem ca M este o piata completa liber-arbitrara. Atunci pentru fiecare variabila aleatoare X din X exista cel putin o strategie de piata f Î Φ astfel incat V_T*(f) = X. in virtutea proprietatilor 1.2 si 1.4, avem: p (X) = B₀E_P*(XB_T*^-1), ( ) XÎX unde P* este orice masura martingala din clasa nevida P(M). Mai mult, pentru masurile martingale P₁^* si P₂^* din clasa P(M) , avem (amintim ca B_T* > 0). , pentru orice X Î X, asa ca P₁^* si P₂^* coincid. Aceasta incheie demonstratia directa.

Ü) Presupunem acum ca exista un element unic P* in P M) si notam prin p un sistem de pret asociat lui. Este clar ca piata M este liber-arbitrara; ramane de aratat completitudinea sa. Presupunem, din contra ca exista o optiune care nu este simulabila in M, reprezentat prin un vector nenul X⁰. Din moment ce clasa A a tuturor optiunilor simulabile este un

subspatiu liniar din R^d putem presupune ca toate coordonatele lui X₀ sunt nenegative. Sa notam prin A respectiv prin C) conul tuturor optiunilor simulabile cu coordonate nenegative (conul generat de X₀ si A ). Definim aplicatia p_i : C R, i = 1, 2 , prin[PF1] 

p_i mX + lX⁰) = mp(X) + ld_i

) X Î A m l ≥ 0 unde d ¹ d sunt constante arbitrare strict pozitive. Observam ca p_i este o functionala liniara strict pozitiva pe C pentru i = 1, 2. Printr-un algoritm predefinit , fiecare functionala p_i poate fi extinsa la o functionala liniara strict pozitiva pe X = R^d. in acest fel, am gasit doua sisteme de pret in legatura cu M. Deci, in virtutea propozitiei 1.3, exista (cel putin) doua masuri martingale distincte pentru M. Aceasta contrazice ipoteza.

Corolarul 1. O optiune X Î X este simulabila daca si numai daca aplicatia P* E_P*(XB_T^-1) de la P M) la R este constanta.

Demonstratie:

Sa luam T = T*. Atunci implicatia directa urmeaza direct propozitia 1.2, implicatia inversa este o consecinta a partii a doua a demonstratiei propozitiei 1.5. Cazul general urmareste argumente similare.

Concluzii: Sa ne intoarcem la aborbarile facute de Taqqu si Willinger (1987). Ei au presupus o conceptie mai slaba a gradului de simulare a unei optiuni, mai exact, ei au spus ca o optiune X este sub-simulabila daca exista o strategie de piata auto-finantata f astfel incat egalitatea X = V_T(f) este adevarata pe Q. in mod similar o piata este numita complet-tangibila pe Q daca orice optiune este sub-simulabila pe Q. Aceasta coincide, bineinteles, cu conceptia noastra privind gradul de atingere a unei optiuni si piata este completa daca si numai daca masura probabilistica Q este echivalenta cu masura probabilistica originala P, unde Q> 0 pentru orice i = 1, . , d. Rezultatul principal al lui Taqqu si Willinger (1987) exprima faptul ca piata este completa (M) al masurilor martingale generalizate. Williams (1991) discuta problema existentei unei strategii replicate in termenii unei proprietati a reprezentarii prezise a unei martingale cu timp discret.