Dezvoltarea gandirii logice a elevilor prin activitatea de rezolvare si compunere de probleme

DEZVOLTAREA GANDIRII LOGICE A ELEVILOR PRIN ACTIVITATEA DE REZOLVARE SI COMPUNERE DE PROBLEME

1.Dezvoltarea gandirii logice prin rezolvarea si compunerea problemelor de matematica

Ritmul alert al rezolvarii competitiei in toate domeniile de activitate ne impune sa gandim repede si bine. Matematica contribuie, in foate mare masuta, la dezvoltarea gandirii logice, a spiritului de receptivitate, al rationamentului etc.

In clasele I-IV se insusesc notiunile de baza Instrumentele"cu care elevul va "opera"pe tot parcursul vietii si pe care se cladeste intregul sistem al invatamantului matematic. Elevii intampina greutati daca nu-si insusesc la timp aceste notiuni. Un elev care nu a invatat sa calculeze corect, cheltuieste o cantitate de energie in plus si nu poate sa urmareasca firul rationamentului unui exercitiu sau a unei probleme. Dificultatea pe care le intampina nu-l mobilizeaza pentru noi incercari si duc la scaderea increderii in puterile sale.

Daca elevul simte ca patrunderea in miezul notiunilor matematice, daca el traieste bucuria fiecarui succes, mare sau mic, toate aceste trairi cultiva interesul si dragostea pentru matematica. In cele ce urmeaza ma voi opri la cunostinte de matematica specifice clasei a-II-a.

De exemplu: sa descopere toate combinatiile de termeni cand se da suma a doua numere, respectiv factori cand se da produsul lor; sa se deduca tabla impartirii din tabla inmultirii, sa rezolve o problema in mai multe moduri etc.

Orice problema trebuie vazuta in alcatuirea ei concreta, ca o suita de actiuni, fapte de viata.Se recomanda ca primele probleme sa imbrace forma intamplarilor reale la care sunt pusi sa participe elevii.

"Nicu are 5 creioane colorate si Olguta ii mai da inca 3 creioane. Cate creioane are Nicu ?"(Olguta ii mai da lui Nicu 3 creioane). Introducerea problemelor compuse am facut-o treptat, regizand probleme actiuni de felul: "Ionut are 6 creioane colorate, iar Danut cu 3 creioane mai multe.Cite creoane are Danut?"

Asemenea probleme simple se transforma in probleme compuse, prin intrebarea: Cate creioane colorate au impreuna cei doi copii?

Elevii intampina greutati uneori pentru ca nu pot traduce relatiile din textul problemei in relatii matematice.

De asemenea, la rezolvarea urmatoarei probleme:"Sandel are 9 bomboane, iar Ramona de trei ori mai multe.Cate bomboane au in total "

Cativa elevi au rezolvat-o gesind,luand pe 3 ca valoare numerica adaugata celeilante valori.

Aceste greseli se datoresc faptului ca elevii nu inteleg relatiile dintre marimile unei probleme.De aceea, am facut multe exercitii de precizare a limbajului matematic, a notiunilor:suma, diferenta, produs, cat si a relatiilor: cu atat mai mare ( mai mult) sau mai mic ( mai putin ), de atatea ori mai mult ( mai mare ), de atatea ori mai putin ( mai mic ).Exemplu:

1.Gaseste numerele:

a)cu 9 mai mare decat 5

b)de 9 ori mai mare decat 5

c)cu 7 mai mici decat 63

d)de 7 ori mai mici decat 63

Din suma numerelor 25si 7 scadeti diferenta numerelor 23 si 9.

La jumatatea numarului 12 adaugati sfertul numarului 16.

3.Adauga produsul numerelor 6 si 8 cu catul numerelor 36 si 4.

Aceste exercitii constituie o adevarata gimnastica a mintii si nu trebiue sa lipseasca din ora de matematica.

Atunci cand elevul stie sa transpuna in limbaj matematic exercitiile:"mai mult", "mai putin","de atatea ori mai mult","de atatea ori mai putin2 ca fiind vorba de adunare,scadere,inmultire,impartire, el stie sa stabileasca corect operatia ceruta de relatia dintre datele unei probleme.Dupa multe exercitii de prcizare a limbajului matematic elevii au rezolvat corect problema ca in exemplul urmator.

"Nicu are 24 de timbre, Alex are cu 3 timbre mai multe decat Nicu, iar Adrian are de 3 ori mai putine timbre decat Alex.Cate timbre au in total cei trei copii?"

Le-am explicat elevilor ca nu totdeauna enuntul problemei duce direct la rezultat ca in cazul urmator:

Dupa ce a primit de la fratele ei 6 mere,Olguta are 14 mere.Cate mare a avut Olguta?

In acest caz, intre gandirea problemei si limbaj s-a introdus o contradictie.Problema trebuie sa se rezolve prin operatia de scadere , desi limbajul in care este redata sugereaza adunarea.

Activitatea de rezolvare a problemei contribuie la dezvoltarea gandirii

independente si creatoare.Copilul de varsta scolara mica adopta o atitudine creatoare atunci cand, pus in fata unei probleme, ii estructureaza datele si descopera calea de rezolvare intr-un mod personal.

Creativitatea gandirii nu se poate produce decat pe baza unor deprinderi corect formulate, tehnici de calcul, deprinderi de a stabili rationamente logice, un volum bogat de cunostiinte pentru a elabora un enunt cu continut realist.

Rezolvarea problemelor in mai multe moduri este un antrenament creativ.Elevii au rezolvat in trei moduri problema urmatoare:

"Bunica a plantat 5 randuri cu cate 10 fire de gogosari si 3 randuri cu cate 10 fire de ardei.Cate fire de rasad a plantat bunica "

I .5 x 10=50  II.

3 x 10=30 8 x 10=80

50+30=80

III.(5x 10)+(3x 10)=50+30=80

sau (5+3)x10=8x 10=80

Problemele care admit mai multe procedee de rezolvare cultiva mobilitatea gandirii, creativitatea, perspicacitatea.Este mai bine sa se rezolve o problema in mai multe moduri decat sa se rezolve doua-trei probleme de acelasi fel si in acelasi mod.

Creativitatea gandirii se dezvolta si cand li se cere elevilor sa formuleze intrebarea problemei sau sa formulleze alta intrebare. De exemplu : formulati alta intrebare pentru problema urmatoare:

"Intr-o cusca sunt 7 iepuri, iar in alta cu 2 iepuri mai mult.Ionica a vandut un sfert din ei.Cati iepuri a vandut Ionica?"elevii au formulat intrebarea: " Cati iepuri mai are Ionica?"

Am trecut la crearea de probleme imediat dupa ce elevii au inteles ce este o problema, pentru a realiza un inceput de mobilitate a gandirii.Elevii au compus probleme fie dupa modele rezolvate anterior, ori dupa operatii de trebuie efectuate, fie dupa desene, inceput dat,cu sprijin de limbaj, cu marimi date si compuneri libere.

Cele mai reusite probleme create de elevi sunt scrise intr-un caiet special numit "Caietul micilor matematicieni ".

Atat in rezolvarea cat si in compunerea problemelor am folosit si jocul: care rand compune mai frumos si mai corect probleme sau un rand a formulat continutul problemei si celalalt intrebarea.

Compunerea de probleme constituie o premisa reala si eficienta pentru viitoarea munca in domeniul cercetarii si pentru activitatea viitoare de creatie.

Creativitatea, spunea Osborn, este o floare atat de delicata incat elogiul o face sa infloreasca in timp ce descurajarea o inabusa adesea chiar inainte ca ea sa se poata transforma in floare '.

Cum gandim si cum rezolvam probleme de matematica

Conceptia in care a fost construita noua programa de matematica vizeaza schimbari in ceea ce se asteapta de la elevi, schimbari in predare, invatare si in evaluare. In invatare se pune accent pe explorare, investigare, deci nu pe memorare. Firesc, diversele activitati de invatare se realizeaza in functie de nivelul si ritmul propriu de dezvoltarea al elevilor.

Fara a domina catusi de putin rolul determinant al eforturilor personale ale acestora, staruim asupra activitatii invatatorului in calitate de persoana care faciliteaza invatarea si ii stimuleaza pe elevi sa lucreze in echipa si mai putin pe rolul sau de transmitator de informatii adresate unui elev care recepteaza in mod relativ pasiv si lucreaza singur.

Problemele de matematica reprezinta transpunerea unei situatii date sau a unui complex de situatii aflate in relatii cantitative, numerice, unele fata de altele si fati de valoarea cunoscuta, cerandu-se, pe baza unor reguli, valoarea numerica necunoscuta. Elevul trebuie invatat sa-si cumpaneasca bine rationamentul, acesta fiind lucrul cel mai important in rezolvarea problemelor.

In asimilarea acestei discipline, sunt de neevitat eforturile de invatare a regulilor matematice, incepand chiar din clasele primare: nesfarsite ore si exercitii de insusire a numeratiei in concentrele 1-10; 1-100; 1-1000; exercitii de calcul oral si scris; exercitii de marire si micsorare a unui numar cu cateva unitati sau de cateva ori; exercitii de comparare a numerelor, a sumelor, diferentelor, produselor sau caturilor, de aflare a distantelor, pana a se ajunge la frumoasele probleme supuse rezolvarilor. In aceasta perspectiva, este necesara cunoasterea etapelor care stau la baza tehnicii de rezolvare a problemelor:

a) Intelegerea enuntului este premisa rezolvarii corecte a problemei enuntului si a rationamentului corect.

b) Repetarea enuntului, cu si fara ajutorul unor intrebari suplimentare, e necesara pentru a vedea daca elevii si-au insusit enuntul si semnificatia fiecarei marimi. In aceasta etapa, se pun in evidenta partile principale ale problemei: cunoscuta, datele, conditia si cerinta.

Conditiile reprezinta ansamblul datelor si a sintagmelor care sugereaza o anumita operatie matematica, implicand rezolvarea unei probleme. La nivelul scolii primare, astfel de rezolvari presupun operatii de adunare, scadere, inmultire si impartire.

Cerintele reprezinta ce anume trebuie cautat in conditiile date.

c) Rezolvarea propriu-zisa necesita metode generale bine manuite de invatator. Dupa atenta examinare, se identifica metoda de rezolvare sintetica sau analitica.

Esenta exarninarii problemei consta in analiza datelor unor probleme compuse in vederea descoperirii raporturilor dintre ele. Se formuleaza apoi intrebarea potrivita, prin care se poate ajunge la rezolvarea problemei prin analiza succesiva a fiecaruia

dintre elementele componente ale enuntului; se realizeaza, practic, o descompunere si recompunere a problemei prin elementele sale componente.

Pentru o mai buna intelegere, vom apela la exemple.

Intr-un clasor, Costel are 154 timbre,in altul de doua ori mai multe, iar in al treilea cu 106 timbre mai multe decat in al doilea. Cate timbre are Costel in cele trei clas oar e

Mersul rationamentului trece de la cunoscut la necunoscut. Elevul iti va pune, succesiv, intrebarile:'Ce stim de la inceput?'. ,,Ce se poate afla apoi?', ,,Ce se afla mai departe?'.

Metoda sintetica duce adeseori mai repede la obtinerea raspunsului la intrebarea problemei decat metoda analitica.

Prin metoda analitica, problema prezentata anterior urmeaza a se rezolva conform urmatoarei scheme:

Rezolvarea problemelor se poate face si pe o cale diferita, pornind de la intrebarea finala catre cele subordonate acesteia.

Analiza si sinteza care reprezinta doua aspecte ale procesului gandirii, sunt legate intre ele si se aplica in unitate si armonie, astfel organizarea problemei prin insasi esenta ei reprezinta un proces analitico sintetic. Astfel spus, in procesul rezolvarii unei probleme se combina analiza cu sinteza.

Dupa ce problema a fost analizata prin metodele discutate anterior se trece la realizarea planului. Acest plan nu este altceva decat o linie generala de conduita, ce va fi urmata de rezovarea problemei.

Dupa gasirea raspunsului se impune acea privire retrospectiva (verificarea rezolvarii date), o faza importanta si instructiva a muncii. Reexaminand rezolvarea, elevii pot sa-si aprofundeze cunostintele, sa capete mai multa abilitate in rezolvarea problemelor, sa ajunga la generalizare.

Daca in rezolvarea problemelor se utilizeaza diagrame pentru a ilustra grafic datele unei anumite probleme, atunci elevii descopera usor legaturile dintre datele problemei si se familiarizeaza usor cu intelegerea sensului concret al operatiilor necesare. Prezint modalitati diferite de folosire a acestor diagrame in rezolvarea problemelor compuse pentru elevii primelor clase ale scolii primare.

Vasilica are 14 nuci, iar Costel cu 9 nuci mai putine decat Ionel. Cu cate nuci are mai mult Vasilica decat Ionel?

Schemele acestei probleme - sintetica si analitica- au urmatoarele infatitari:

Multi elevi rezolva cu relativa usurinta trei probleme simple, pe cand nu toti rezolva la fel de usor o problema compusa din trei probleme simple. Problema compusa este un set de probleme simple relationate functional. Dupa ce elevul rezolva un pas, el se afla in fata aceleiasi probleme, dar cu mai putin necunoscut si cu mai mult cunoscut, care-l va ajuta in urmatorii pasi. Aceasta etapa se considera realizata in momentul in care elevul reuseste sa creeze un model grafic pentru o anumita problema.

3. Notiunea de problema si componentele ei: enuntul, datele si intrebarea.

Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica scolara constituie un cadru optim pentru cultivarea gandirii logice.

Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni diferite. In general orice chestiune de natura practica sau teoretica ce reclama o solutie, o rezolvare, poarta numele de problema. Referindu-ne la matematica, prin problema se poate intelege o situatie a carei solutionare se poate obtine esential prin proces de gandire logica si calcul.

Orice problema are doua componente: enuntul (datele) problemei si intrebarea (necunoscuta - una sau mai multe) problemei - care satisface conditia problemei. Conditia legala necunoscuta de datele problemei.

'A rezolva o problema inseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate, inseamna a gasi o cale de a ocoli un obstacol. A gasi soutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei, iar inteligeta este apanajul distinct al speciei umane; se poate spune ca, dintre toate indeletnicirile omenesti, cea de rezolvare de probleme este cea mai caracteristica. ' 1

Geoerge Polya- Descoperirea in matemateci. Euristica rezolvarii problemelor. Ed.stiintifica 1971,pag.5.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitata si antrenanta este gandirea prin operatiile logice de analiza, sinteza, comparatie, abstraclizare

Elevul trebuie astfel educat incat, pe baza datelor si a conditiilor problemei, sa descopere drumul spre aflarea necunoscutei. In felul acesta el realizeaza un act de creatie care consta in restructurarea datele propriei sale experiente si care este favorizat de nivelul flexibilitatii gandirii sale, de capacitatea sa combinativa si anticipativa.

La aritmetica, orice rationament, orice rezolvare de probleme, constituie in acelasi timp si o manifestare a gandirii logice. In mod special insa, activitatea gandirii logice a elevilor la acest obiect se concretizeaza in:

rezolvarea problemei prin mai multe procedee;

compuneri de probleme;

completarea unor enunturi lacunare; complicarea problemei prin introducerea de noi date sau modificarea intrebarii;

Folosirea schemelor in rezolvarea si compunerea problemelor

Intregul proces de rezolvare a problemelor este un proces analitico-sintetic .

In rezolvarea tipurilor de probleme se foloseste atat metoda analitica cat si cea sintetica deoarece ambele duc la solutia finala. Deosebirea dintre ele consta in punctul de plecare al rationamentului.

Prin metoda sintetica se pleaca de la datele problemei avand in vedere conditia problemei, pentru a ajunge la raspunsul cerut.

Prin metoda analitica se procedeaza invers, pornindu-se de la intrebarea problemei spre datele ei. Examinarea cunoscutei reprezinta o cale de acces. O intrebare antreneaza o alta intrebare.

Incercand sa clarificam problema, incercand sa gasim legaturi si asemanari cu problemele cunoscute s-ar putea sa sesizam ca problemei respective i se poate aplica o anumita schema familiara si atunci facem cativa pasi pe calea ce poate duce la solutie. Pentru scolarii mici este mai accesibila metoda sintetica dar are inconvenientul ca nu solicita suficient gandirea iar generalizarea nu este stimulata. Referitor la folosirea schemelor, la rezolvarea si compunerea problemelor, putem spune ca parcurgand drumul rezolvarii unei probleme, elevii parcurgand drumul schematizarii ei, al desprinderii esentialului care este de fapt structura logica a ei.

'Aceste scheme trebuie sa reflecte,in forma generalizata, relatiile de continut dintre datele problemei, trebuie sa fie o expresie generalizata a acestor relatii ( relatia dintre parti si intreg, relatia dintre multiplicitate si divizibilitate, etc.).O astfel de schema determina felul si succesiunea operatiilor de calcul, care trebuie sa fie efectuate pentru rezolvarea problemei.

Actualul manual de clasa I familiarizeaza rezolvarea problemelor cu numeroase scheme si imagini care solicita compunerea problemelor dupa scheme sau imagini date.

1 .Zorgo Benianim- Creativitate, modele, programare. Ed. Stiintifica, Buc.,1971,pag.l31.

Dupa rezolvarea mai multor probleme cu ajutorul schemelor vom putea rezolva urmatoarea problema.

Am desenat pe tabla doua cosuri cu mere.

I-am intrebat pe elevi: 'Ce ar trebui sa stim pentru a afla cate mere sunt in total in cele doua cosuri?'Raspunsul a fost :'Cate mere sunt in fiecare cos !' , ,,Ce am face cu aceste numere?' (Le-am aduna).

Un elev a completat problema alegand si datele :

'Intr-un cos sunt 15 mere iar in altul 40. Cate mere sunt in total in cele doua

cosuri ?

Pornind de la intrebarea problemei am alcatuit schema:

Numarul de mere din

primul cos

15