Miscarea oscilatorie a punctului material

Miscarea oscilatorie a punctului material

Miscarea oscilatorie este miscarea pe care o efectueaza un corp de o parte si de alta a unei pozitii, care de obicei este pozitia de echilibru. Orice pozitie de echilibru se caracterizeaza prin aceea ca aici energia potentiala a corpului este minima.

Fie o miscare oscilatorie liniara, adica o miscare oscilatorie care se face dupa o singura directie si fie x aceasta directie. Consideram ca pozitia de echilibru a corpului este in punctul x_o = 0 si ca in jurul acestei pozitii, corpul efectueaza oscilatii mici. Notam cu U( x ) energia potentiala a corpului aflat in acest camp de forte, care fac ca el sa oscileze de o parte si de alta a pozitiei de echilibru. Pentru deplasari x mici fata de pozitia de echilibru putem dezvolta functia U(x) in serie Taylor astfel :

Deoarece in pozitia de echilibru avem un minim al energiei potentiale, avem ca

De obicei, ne intereseaza variatia energiei potentiale, deoarece aceasta produce efecte mecanice, asa ca putem sa etalonam energia potentiala astfel ca U(x=x_o) = 0 si deci :

(1.86)

Forta corespunzatoare acestei energii potentiale va fi :

(1.87)

Relatiile (1.87) si (1.86) ne spun ca in cazul unor oscilatii liniare mici, fortele care actioneaza sunt forte elastice, iar in acest camp de forte, energia potentiala este o energie potentiala de tip elastic. Fortele elastice sunt forte conservative, de aceea ele deriva din potential.

1 Cazul oscilatiilor liniare libere

Oscilatiile liniare libere sunt oscilatiile care se fac dupa o singura directie, iar asupra corpului actioneaza numai forte elastice. Ecuatia de miscare, conform cu legea a doua a dinamicii va fi :

(1.88)

Pentru o scriere simplificata, notam  si deci

(1.89)

Ecuatia (1.89) este o ecuatie diferentiala de ordinul doi cu coeficienti constanti. Solutia unei astfel de ecuatii diferentiale se cauta sub forma astfel ca:

(1.90)

Aceasta ecuatie se numeste ecuatia caracteristica a ecuatiei diferentiale, radacinile ecuatiei caracteristice fiind in functie de acestea solutia ecuatiei diferentiale fiind :

(1.91)

unde si sunt constante complexe

Marimea

(1.92)

se numeste pulsatie proprie a oscilatorului iar marimea

(1.93)

poarta numele de perioada proprie a oscilatorului, si reprezinta timpul in care oscilatorul efectueaza o oscilatie completa. Conform cu (1.91):

(1.94)

Deoarece x este o marime reala, trebuie sa avem (este complex conjugata lui ) si deci .

adica

Luam aceste constante complexe de forma:

cu si de data aceasta marimi reale.

Rezulta in continuare conform cu (1.94) ca :

(1.95)

Ecuatia (1.95) este ecuatia unei oscilatii armonice liniare libere. Marimile caracteristice ale acestei ecuatii sunt :

elongatia miscarii

amplitudinea miscarii

pulsatia proprie

faza initiala a oscilatiei

2 Oscilatii liniare amortizate.

De obicei asupra corpurilor care oscileaza, in afara de forta elastica actioneaza si forte de frecare. Experienta arata ca fortele de frecare care apar aici sunt proportionale cu viteza de oscilatie. Legea de miscare va fi deci :

(1.96)

Marimea reprezinta forta de frecare, iar h se numeste coeficientul fortei de frecare. Notam si aici :

si ecuatia diferentiala a miscarii este :

(1.97)

iar ecuatia caracteristica :

(1.98)

Solutiile ecuatiei caracteristice sunt :

(1.99)

a.Cazul amortizarilor mici

Daca forta de frecare este mica, adica avem :

(1.100)

iar solutia ecuatiei (1.97) va fi

(1.101)

unde iar se numeste timp de relaxare.

Ecuatia (1.101) descrie o oscilatie armonica, cu amplitudinea care scade exponential in timp. De asemenea , deci pulsatia acestei miscari oscilatorii este diferita de pulsatia proprie.

O oscilatie descrisa de (1.101) poarta numele de oscilatie armonica amortizata, graficul elongatiei acesteia fiind reprezentat in figura 1.14.

x(t)=10[exp(-0.1t)] cos pt+p

Figura 1.14 Oscilatie amortizata

Pentru a caracteriza astfel de oscilatii, se foloseste decrementul logaritmic, care este definit ca logaritmul natural al raportului a doua amplitudini consecutive.

(1.102)

Este evident ca vom avea amortizari din ce in ce mai mari cu cat decrementul logaritmic creste.

b. Cazul amortizarilor mari

In acest caz forta de frecare este relativ mare astfel ca :

Atunci din (1.99)

De data aceasta :

(1.103)

ecuatia noastra reprezinta o miscare amortizata aperiodica.

3 Oscilatii fortate ale punctului material

Desi in realitate am vazut ca asupra oscilatorului actioneaza pe langa forta elastica forte de frecare (nu exista in natura miscare fara frecare), care duc la amortizarea oscilatiilor corpului, totusi in natura se cunosc miscari oscilatorii care se mentin timp indelungat (de exemplu oscilatiile unui pendul de ceas).

Este posibil sa obtinem oscilatii care se intretin daca din exterior actionam cu forte, cedand deci oscilatorului energie pentru a suplini pierderile datorita frecarilor.

Forta care actioneaza din exterior si care ajuta la intretinerea oscilatiilor este o forta periodica, cu pulsatia w, in general diferita de pulsatia proprie a oscilatorului. Fie deci forta excitatoare din exterior de forma

(1.104)

Vom avea acum ecuatia de miscare :

(1.105)

De aici :

(1.106)

Presupunem pentru (1.106) o solutie de forma : . Atunci

care inlocuite in (1.106) si identificand termenii :

(1.107)

(1.108)

Deci ecuatia miscarii va fi dupa un timp

(1.109)

Se observa din (1.109) ca oscilatorul va oscila cu pulsatia fortei externe, dar defazat fata de aceasta cu un unghi de faza a . Amplitudinea a oscilatiei intretinute, (fortate) depinde de pulsatia fortei excitatoare. Amplitudinea devine maxima cand

(conditia de extremum)

de unde rezulta ca pulsatia fortei externe pentru care amplitudinea este maxima este

(1.110)

Valoarea maxima a amplitudinii o gasim usor inlocuind (1.110) in (1.107) :

(1.111)

Fenomenul de aparitie a unui maxim al amplitudinii poarta numele de rezonanta. Din (1.111) se vede ca maximul amplitudinii este cu atat mai mare cu cat coeficientul de amortizare b este mai mic, acesta tinzand la infinit cand b tinde la zero. De asemenea cu cat b este mai mic cu atat pulsatia de rezonanta a amplitudinii se apropie de pulsatia proprie

Fenomenul de rezonanta are multiple aplicatii in fizica si in tehnica. Astfel, pe acest fenomen se bazeaza functionarea diferitelor instrumente muzicale, radioreceptoare, instrumente de masura etc. In fizica prin rezonanta se pot determina anumite marimi microscopice, caracteristice atomilor sau moleculelor, deci rezonanta este o cale de explorat proprietatile materiei.

In tehnica, de exemplu in constructia de masini, pentru a evita efectele distructive produse la rezonanta amplitudinii, este indicat ca frecventa proprie a oscilatiilor instalatiilor, sa fie diferita de cea a vibratiilor care apar in timpul functionarii acestora.