Unde elastice - Unde armonice unidimensionale, Consideratii energetice asupra propagarii undei, Reflexia si refractia undelor elastice

Unde elastice

Mediile continue, cum sunt solidele, lichidele si gazele, sunt medii formate din particule (atomi, molecule sau ioni) care interactioneaza intre ele. De aceea, daca una dintre particule oscileaza (vibreaza), atunci vor oscila (vor vibra) si particulele vecine; in felul acesta oscilatiile (perturbatiile) se propaga prin mediu de la o particula la alta. Prin propagarea oscilatiilor se genereaza undele.

Unda reprezinta fenomenul de extindere si propagare din aproape in aproape a unei perturbatii periodice produse intr-un anumit punct din mediul de propagare. Propagarea undei se face cu o viteza finita, numita viteza undei. Unda nu reprezinta transport de materie, ci numai transport de energie.

Dupa tipul de energie pe care-l transporta unda, putem deosebi: (i) unde elastice (se transporta energie mecanica, undele fiind generate de perturbatiile mecanice ale mediilor elastice), (ii) unde electromagnetice (se transporta energie electromagnetica) (ii) unde magneto-hidrodinamice (sunt generate prin perturbatii electromagnetice si elastice ale mediului de propagare).

Dupa natura perturbatiei si modul de propagare al acesteia, putem clasifica undele in: (1) unde

longitudinale (directia de propagare a undei coincide cu directia de oscilatie); (2) unde transversale

(directia de propagare a undei este perpendiculara pe directia de oscilatie).

O marime deosebit de importanta pentru descrierea undei este functia de unda, pe care o putem nota in mod generic cu (x y,z,t). Functia de unda reprezina functia matematica ce descrie marimea perturbata.

Suprafata de unda reprezinta multimea punctelor din spatiu ce oscileaza avand la un moment dat aceeai valoare a functiei de unda, (x,y,z,t) constant = a. Dupa forma suprafetelor de unda, putem intalni unde plane, unde sferice, unde cilindrice, etc.

Frontul de unda reprezinta suprafata de unda cea mai avansata la un moment dat.

1. Unde armonice unidimensionale

Fig. 3.21. Oscilatia generata in originea axei Ox se propaga pana in punctul M.

Constam ca ecuatia elongatiei y_M(x, t) a oscilatiei dintr-un punct oarecare M, aflat pe directia de propagare a undei, are o intarziere de faza, dependenta de pozitia sa fata de sursa undei. Cu cat punctul M se afla mai departe de originea undei, cu atat mai tarziu va intra in oscilatie; oscilatia din punctul considerat va avea o intarziere de faza mai mare, daca punctul este mai departe de sursa undei.

Vectorul de unda este marimea fizica vectoriala orientata in sensul propagarii undei. Vectorul de unda materializeaza directia in care se propaga energia undei. Utilizand vectorul de unda, putem scrie ecuatia elongatiei oscilatiei din punctul M sub forma:

2. Consideratii energetice asupra propagarii undei

Propagarea unei unde elastice intr-un anumit mediu genereaza o serie de miscari de oscilatie ale particulelor mediului; punctele materiale ii incep micarea oscilatorie, in jurul pozitiiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajunge pana la ele.

Fig. 3.22. Densitatea volumica de energie intr-un punct al mediului de propagare si densitatea volumica medie de energie

Alte marimi ce sunt utilizate pentru a descrie energia transportata de unda sunt urmatoarele:

a). Fluxul de energie. Fluxul de energie reprezinta cantitatea de energie transmisa printr-o suprafata in unitatea de timp, fiind dat de derivata energiei la timp.

b). Densitatea flluxului de energie reprezinta fluxul de energie transportat prin unitatea de suprafata, in directie perpendiculara pe aceasta suprafata

3. Reflexia si refractia undelor elastice

Cand o unda intalnete suprafata de separare dintre doua medii diferite se produc simultan reflexia (intoarcerea undei in mediul din care a venit) si refractia (transmisia undei in mediul al doilea). Se constata de asemenea ca prin reflexie si refractie se schimba directia de propagare a undei.

Consideram o unda elastica longitudinala plana ce se propaga prin mediul (1), care are densitatea d₁ si unde viteza undei este u₁ (vezi fig.3.23). La intalnirea suprafetei de separare, dintre mediul (1) si mediul (2) unda se va imparti intr-o unda reflectata ce se propaga in mediul (1) si o unda transmisa ce se propaga in mediul (2).

Definim impedanta mediului de propagare prin produsul dintre densitatea mediului si viteza undei. Impedanta exprima viteza cu care se propaga energia undei prin mediul repectiv.

Fig. 3.23. Reflexia si refractia unei unde plane.

Observam ca amplitudinea undei transmise, A_t are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, A_i, indiferent de impedantele celor doua medii. De aceea unda transmisa este totdeauna in faza cu unda incidenta.

In ceea ce privete amplitudinea undei reflectate se pot intalni doua cazuri:

a). Mediul (1) mai dens decat mediul (2), Z₁>Z₂. In acest caz amplitudinea undei reflectate, A_r, are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, A_i. Cele doua unde sunt in faza, de asemenea.

b). Mediul (1) mai putin dens decat mediul (2), Z₁<Z₂. In acest caz amplitudinea undei reflectate, A_r, are semn opus fata de amplitudinea undei incidente, A_i. Cele doua unde sunt in opozitie de faza. Unda reflectata este defazata cu  radiani in urma undei incidente.

Definim coeficientii de reflexie si de transmisie ai mediilor de propagare.

Coeficientul de reflexie este raportul dintre intensitatea undei reflectate si cea a undei incidente.

Coeficientul de transmisie este dintre intensitatea undei transmise si cea a undei incidente:

4. Unde stationare

Daca in mediul de propagare al undei se suprapun unda incidenta si unda reflectata, atunci se obtin unde stationare. Mai general, fenomenul de compunere a doua unde coerente se numeste interferenta. Compunerea undei incidente si a undei reflectate constituie un caz interesant de interferenta a undelor. Conform rezultatelor obtinute la reflexia undelor, se pot intalni doua cazuri, in functie de impedantele celor doua medii.

I. Daca mediul al doilea este mai putin dens decat primul, Z₂<Z₁, atunci unda reflectata este in faza cu unda incidenta. Sa consideram o unda liniara ce se propaga in mediul (1), pe o directie perpendiculara pe suprafata de separare dintre mediul (1)i mediul (2), ca in fig. 3.24. In punctul P se intalnesc unda incidenta si unda reflectata. Distanta dintre sursa undei si suprafata de separare dintre medii este l.

Fig. 3.24. Formarea undei stationare.

Fazele celor doua unde ce se intalnesc in punctul P depind de distantele (l-x) si reprectix (l+x) pe care le-a parcurs fiecare unda.

Fig. 3.25. Unda stationara obtinuta in cazul Z₂<Z₁.

Fig. 3.26. Unda stationara obtinuta in cazul Z₂>Z₁.

5. Interferenta undelor

Fenomenul general de compunere a undelor coerente se numeste interferenta. Asa dupa cum stim, intensitatea undei reprezinta cantitatea de energie ce trece prin unitatea de suprafata in unitatea de timp.

Conditia de coerenta este ca diferenta de faza dintre cele doua unde, ϕ∆, sa fie independenta de timp Aceasta conditie este indeplinita de unde care au pulsatii egale si diferenta de faza constanta in timp:

ϕ₁ ϕ₂ ≠f (t)

Interferenta undelor longitudinale. Cu ajutorul a doua difuzoare plasate pe aceeai verticala si conectate la acelai amplificator se poate obtine un dispozitiv de inteferenta a undelor longitudinale, aa cum se vede in fig.3.26. Distanta dintre cele doua difuzoare (surse) este 2l. Presupunand ca ambele difuzoare emit simultan ele se comporta ca doua surse de unda, S₁ si S₂. De la ele se propaga doua unde coerente, care parcurg drumuri diferite pana in punctul P, aflat la distanta y de axa de simetrie (vezi fig. 3.27). In punctul P cele doua unde se suprapun si, fiind coerente, produc o figura de interferenta.

Fig. 3.27. Dispozitiv de interferenta a undelor longitudinale.

Fig. 3.28. Figura de interferenta obtinuta.

6. Difractia undelor

Consideram o unda plana care se propaga pe suprafata apei. Un obstacol de forma unui perete vertical cu o fanta de largime L se afla in calea undei, aa cum se vede in fig. 3.29.

Fig. 3.29. Un obstacol pe care se produce difractia undei plane.

Se constata ca unda care trece dincolo de obstacolul intalnit are frontul de unda de forma sferica, dei unda incidenta avea fronturi de unda plane. Spunem ca unda a suferit fenomenul de difractie pe fanta de largime L.

Difractia este fenomenul de ocolire a obstacolelor de catre unde. Efectul difractiei este cu atat mai evident cu cat dimensiunea fantei (sau a obstacolului din calea undei) este de ordinul de marime al lungimii de unda a undei incidente.

In momentul cand frontul plan o atinge, fanta devine sediul unei infinitati de surse punctiforme infinitezimale, care genereaza la randul lor unde sferice in spatele fantei. Aceste unde se compun intre ele si formeaza o unda sferica ce se propaga in spatele obstacolului. Din punct de vedere fizic nu exista deosebiri intre difractie si interferenta. Ambele fenomene fizice presupun compunerea (adunarea) a doua sau mai multor unde coerente (difractia consta din interferenta unei infinitati de unde infinitezimale).

7. Polarizarea undelor elastice transversale

Consideram o unda elastica liniara transversala ce poate traversa spatiul dintre doi pereti verticali ce formeaza o fanta, asa cum se poate vedea in fig. 3.30. Am notat prin A _i vectorul ce reprezinta amplitudinea oscilatiei din unda incidenta. Putem constata ca amplitudinea undei ce trece dincolo de fanta depinde de unghiul pe care-l formeaza vectorii A _i cu directia fantei. Procesul prin care fanta filtreaza si lasa sa treaca numai componenta vectorului amplitudine care este in planul fantei constituie fenomenul de polarizare

Fig. 3.30. Trecerea unei unde tarnsversale printr-o fanta.

a). vedere generala; b) directia de vibratie paralela cu fanta.

a) Daca amplitudinea undei este paralela cu fanta, unda se transmite prin fanta, iar unda transmisa are aceeai amplitudine ca cea incidenta (vezi fig. 3.30.b).

b) Daca directia de vibratie din unda incidenta este perpendiculara pe directia fantei, dincolo de fanta nu se mai propaga nici un fel de vibratie (vezi fig. 3.31.a).

c) Daca directia de vibratie face un anumit unghi cu fanta, atunci vectorul caracteristic al undei se decompune dupa doua directii perpendiculare, una din ele fiind directia fantei (vezi fig. 3.31.b).

Fig. 3.31. Polarizarea la trecerea unei unde transversale printr-o fanta:

a) directia de vibratie este perpendiculara pe fanta;

b) descompunerea vectorului caracteristic pe doua directii.

Polarizarea este fenomenul prin care se poate filtra dintr-o unda numai componenta intr-un anumit plan a vectorului de vibratie caracteristic undei. Dispozitivul prin care se realizeaza polarizarea se numete polarizor. Unda al carei vector de vibratie pastreaza aceeai directie in spatiu se numete unda liniar polarizata. In fig. 3.32.a) si b) se pot vedea doua exemple de unde liniar polarizate la ieirea din polarizor.