IMPINGEREA ACTIVA SI PASIVA ASUPRA ZIDURILOR DE SPRIJIN a pamanturilor. APLICATII - STUDII DE CAZ

In general, metodele care sunt adoptate pentru determinarea impingerii pamanturilor se bazeaza pe una din cele doua teorii clasice si anume, teoria lui coulomb si teoria lui rankine. O atentie deosebita trebuie insa acordata ipotezelor admise in cadrul acestor teorii, cat si limitelor pe care acestea le impun in aplicarea lor. Ca si in capitolele anterioare, simbolul g reprezinta greutatea pe unitatea de volum, adica masa volumetrica (sau densitatea volumetrica) inmultita cu 9,81.

1. Un zid de sprijin a carui fata posterioara verticala are 8 m inaltime, sustine un pamant necoeziv, cu densitatea de 1,75 t/m³ si unghiul de frecare interioara j = 30⁰. Suprafata pamantului este orizontala. Sa se gaseasca marimea si directia impingerii laterale pe metru liniar de zid:

a) cu ajutorul teoriei lui Rankine;

b) cu ajutorul teoriei lui Rankine modificata, pentru a tine seama de frecarea care apare in zid (se presupune ca unghiul de frecare este d = 20⁰).

Rezolvare:

a) Pentru conditiile date in problema - zid vertical si suprafata rambleului (pamantului) orizontala - , teoria lui Rankine neglijeaza frecarea dintre pamant si fata posterioara a zidului.

Coeficientul impingerii active K_a al pamanturilor este egal cu raportul dintre tensiunile principale. Conform cercului lui Mohr, acest raport devine:

                         (2.32)

de unde rezulta:

Impingerea activa a zidului este deci:

                                                            (2.33)

in care g este greutatea specifica (greutatea pe unitatea de volum):

g = 1,75 9,81 = 17,17 kN/m³

Inlocuind in relatia (5.33) a impingerii active, se obtine:

P_a = 183 kN/m.l.          actionand orizontal

b) Se poate tine seama de frecarea care apare in zidul de sprijin in urmatorul mod:

Se inmulteste impingerea activa obtinuta din relatia lui Rankine cu un coeficient empiric a care variaza intre 0,90 pentru d = 15⁰ si 0,80 pentru d = 30⁰, pentru a obtine componenta orizontala a impingerii rezultante. Totodata:

                                                              (2.34)

Prin interpolare, se obtine ca a = 0,87 pentru d = 20⁰ (cos d = 0,94) si prin urmare, avem:

Impingerea activa actioneaza in jos si este inclinata cu 20⁰ in raport cu normala la zid, deoarece acest unghi este presupus ca fiind unghi de frecare.

2. Un zid de sprijin cu inaltimea de 9,5 m sustine un pamant necoeziv, a carui suprafata se extinde dupa un taluz inclinat cu 15⁰ fata de orizontala. Densitatea pamantului este de 1,9 t/m³ si j = 32⁰. Sa se gaseasca impingerea activa pe m.l. de zid utilizand metoda lui Rankine.

Rezolvare:

Teoria lui Rankine presupune ca impingerea activa rezultanta actioneaza asupra zidului paralel cu suprafata pamantului. Valoarea impingerii active depinde de raportul tensiunilor conjugate reprezentate in fig.5.15, in care s-a notat cu p_r rezultanta in plan vertical si cu (g z cos b) tensiunea verticala intr-un plan paralel cu suprafata pamantului.

Pentru a gasi raportul intre tensiunile conjugate se traseaza un cerc de raza oarecare si o tangenta la cerc, inclinata cu 32⁰ in raport cu diametrul acestuia OP₁. Se traseaza dreptele OV si OQ inclinate la 15⁰ deasupra, respectiv sub axa (diametrul OP₁); aceste drepte reprezinta de fapt tensiunile (g z cos b) si p_r. Prin urmare, OQ / OV este raportul tensiunilor conjugate si prin citire directa se stabileste ca acesta este de 0,35.

Greutatea specifica a pamantului respectiv (greutatea pe unitatea de volum) este:

g = 1,9 9,81 = 18,64 kN/m³

La baza zidului tensiunea OV este:

18,64 9,5 cos 15⁰ = 171 kN/m²

Prin urmare, tensiunea ce actioneaza asupra zidului de sprijin la acest nivel este:

171 0,35 = 60 kN/m²

obtinuta inmultind tensiunea verticala la baza zidului, ce actioneaza pe un plan inclinat cu 15⁰ fata de orizontala, cu raportul dintre tensiunile conjugate. Impingerea activa asupra zidului, pe metru de lungime, se obtine inmultind presiunea cu inaltimea.

Impingerea asupra zidului va fi:

Impingerea activa astfel calculata, actioneaza paralel cu suprafata.

3. Un zid de sprijin inalt de 8 m are suprafata posterioara verticala. Densitatea partii superioare a rambleului cu inaltimea de 3 m, este de 1,75 t/m³ si unghiul de frecare 30⁰; pentru urmatorii 5 m de rambleu, valorile sunt 1,85 t/m³ si respectiv 35⁰. Pe suprafata orizontala a rambleului actioneaza o suprasarcina echivalenta de 1,2 t/m², uniform distribuita. Sa se gaseasca amplitudinea si punctul de aplicare a impingerii active asupra zidului de sprijin pe metru liniar:

a) daca rambleul este bine drenat;

b) daca rambleul este nedrenat, fiind saturat in urma unei intemperii atmosferice. Se presupune ca densitatile in stare saturata a celor doua straturi sunt 1,9 t/m³ si respectiv 2,0 t/m³.

Rezolvare:

Pentru cei 3 m superiori, K_a = 0,33 la fel ca si in problema 5.1; pentru partea inferioara:

                                    (2.35)

Greutatile specifice, g, ale celor doua strate sunt:

g₁ = 1,75 9,81 = 17,15 kN/m³

si respectiv:

g₂ = 1,85 9,81 = 18,12 kN/m³

Datorita suprasarcinii, presiunea la o adancime oarecare este marita cu:

1,2 9,81 K_a = 11,8 0,33 = 3,9 kN/m²

pentru stratul superior si cu:

1,2 9,81 K_a = 11,8 0,27 = 3,2 kN/m²

pentru stratul inferior.

a)     Presiunea corespunzatoare rambleului pe o adancime de 3 m este:

0,33 17,18 3 = 17,2 kN/m²

Presiunea suplimentara corespunzatoare celor 5 m de rambleu de la partea inferioara este:

0,27 18,12 5 = 24,5 kN/m²

Impingerea totala este data de aria diagramei de repartizare a presiunilor.

Calculele sunt prezentate sub forma tabelara, tabelul 5.16.a.

Astfel se obtine diagrama de distributie a presiunilor 3 reprezentata in fig.5.16.a si tabelul 5.1.

Tabelul 2.1.

Date de calcul ale presiunii active

Nr.	Suprafata diagramei presiunii	Inaltimea centrului de greutate deasupra bazei, [m]	Momentul in raport cu baza
1 2 3 4 5	3,9 3 = 11,7 3,2 5 = 16,0 17,2 5 = 86,0 200,8	6,5 6,0 2,5 2,5 1,67	76 155 40 215 102 588

Din tabel rezulta ca amplitudinea impingerii active este de 201 kN/m.l. si actioneaza la o inaltime de:

deasupra bazei.

b) Daca rambleul este nedrenat, saturat, greutatile specifice aparente in stare umeda devin:

(1,9 - 1) 9,81 = 8,83 kN/m³

si respectiv, 9,81 kN/m³. Presiunile active corespunzatoare sunt:

- pe cei 3 m ai stratului superior:

0,33 8,33 3 = 8,8 kN/m³

- pe cei 5 m ai stratului inferior:

0,27 8,81 5 = 13,2 kN/m³

In plus, exista o presiune hidrostatica ce variaza de la 0 la partea superioara, pana la o valoare, la baza, egala cu:

1,0 8,81 8 = 78,5 kN/m³

Diagramele de repartizare a presiunii sunt reprezentate in fig.2.1.b.

In tabelul 2.2. sunt date rezultatele obtinute.

Tabelul 2.2.

Suprafetele diagramei de presiune

Din tabel rezulta ca impingerile pe metru liniar de zid sunt de 118 kN pentru impingerea data de pamant si de 314 kN in cazul presiunii hidrostatice, adica o impingere totala de 432 kN.

Inaltimea punctului de aplicare a acestei impingeri poate fi obtinut ca in cazul precedent, luand in considerare momentele, insa datorita faptului ca presiunea hidrostatica este predominanta, impingerea rezultanta se va aplica intr-un punct foarte aproape de o treime din inaltime, fata de baza.

4. Rambleul situat in spatele unui zid de sprijin are profilul reprezentat in fig.2.17. Caracteristicile rambleului lipsit de coeziune, sunt: densitatea 1,75 t/m³; j = 30⁰; d = 20⁰. Sa se gaseasca valoarea impingerii active pe metru liniar.

Rezolvare:

Metoda care se preteaza cel mai bine in cazul acestei probleme este procedeul grafic, utilizandu-se prismele de pamant, deoarece suprafata este neregulata si nici una din metodele teoretice clasice de calcul nu se poate aplica.

Vom incerca mai multe plane de rupere B₁, B₂, ., asa cum este reprezentat in fig.2.17.

Fortele care actioneaza pe fiecare prisma sunt:

- greutatea W = suprafata x 1,75 x 9,81;

- reactiunea R pe planul de rupere, actionand dupa unghiul j in raport cu normala la plan;

- impingerea activa pe zid, P_a, care actioneaza dupa unghiul d in raport cu normala la zid.

Se cunosc directiile celor 3 forte ce actioneaza asupra fiecarei prisme si se poate determina astfel marimea W. Pentru fiecare prisma se va putea trasa triunghiul fortelor; acest procedeu permite determinarea grafica a impingerii, fig.2.17.B. Stabilindu-se grafic valorile lui P_a pentru toate prismele studiate, se poate gasi in final valoarea maxima a impingerii active ceruta de problema. Rezultatele sunt prezentate in tabelul 2.3.

Tabelul 2.3.

Valorile maxime ale impingerii active

Pentru a transforma suprafetele si modulele vectorilor impingerii, inscrise in tabel, in forte, acestea se vor inmulti cu g, adica: 1,75 9,8 = 17,17.

Vectorul maxim masurat este de 14,8 m², ceea ce reprezinta o impingere P_a pe m.l. de zid egala cu:

P_a = 14,8 17,17 = 254 kN/m.l.

5. Un zid de sprijin are suprafata posterioara verticala si inaltimea acesteia de 8 m. Solul este constituit din lut nisipos cu densitatea de 1,75 t/m³, coeziunea de 13 kN/m² si j = 20⁰. Neglijand efectul frecarii pe zid sa se determine impingerea activa asupra acestuia. Suprafata superioara a rambleului este orizontala.

Rezolvare:

Deoarece materialul nu este lipsit de coeziune, presiunea asupra zidului, la adancimea z este data de relatia:

                                        (2.36)

unde:

         (2.37)

si:

Greutatea specifica este:

g = 1,75 9,81 = 17,17 kN/m³

Intrucat adancimea z este mica, expresia impingerii active este negativa datorita efectului coeziunii. Teoretic, aceasta semnifica faptul ca pentru o anumita adancime - numita adancime critica - solul este intr-o stare de tensiune sau ca el are tendinta sa se autosustina si sa se desprinda de zid.

In varf, z = 0 si prin urmare:

Semnul minus indica starea de tensiune. La baza, z = 8 m si impingerea activa este:

Repartizarea presiunii este reprezentata in fig.5.18.a. In continuare, se determina adancimea critica z_c, incepand de la care expresia de mai sus indica o tensiune care face ca p_a = 0, adica:

    (2.38)

Teoretic, suprafata triunghiului superior situat in stanga axei presiunilor, reprezinta o forta de tractiune care ar trebui sa fie scazuta din forta de compresiune ce se exercita la partea inferioara a zidului, pentru a obtine impingerea rezultanta. Deoarece aceasta tractiune nu poate fi aplicata fizic intre pamant si zidul de sprijin, forta de tractiune nu este luata in considerare

Din suprafata triunghiului presiunii se stabileste impingerea totala asupra zidului:

Aceasta problema se poate rezolva si grafic, cu ajutorul cercului lui Mohr, fig.5.18.b.

Se traseaza segmentul vertical OL care este egal cu coeziunea, adica 13 kN/m² si o dreapta QL ce face un unghi de 20⁰ cu orizontala (unghiul de frecare interioara).

Se determina segmentul OP₁ egal cu presiunea stratelor acoperitoare, la adancimea de 8 m:

OP₁ = 17,17 8 = 137,2 kN/m²

Se traseaza un cerc care trece prin P₁ si este tangent la dreapta QL. Atunci, OP₃ reprezinta impingerea orizontala la adancimea de 8 m si este egala cu 49,0 kN/m². Acest rezultat este in concordanta cu valoarea calculata.

Pentru a gasi adancimea critica se traseaza un alt cerc care trece prin O si este tangent la dreapta QL. In acest caz, OA corespunde adancimii la care p_a este nula. Prin masurare direct pe figura, se obtine ca OA = 37,2. Prin urmare:

6. Sa se determine impingerea rezultanta asupra zidului de sprijin din problema 7.5 in cazul in care drenurile sunt obturate si apa se acumuleaza in spatele zidului, pana cand nivelul acesteia atinge 3 m (deasupra bazei zidului), fig. 2.19.

Rezolvare:

In majoritatea problemelor prezentate anterior, pamantul situat in spatele zidului era presupus uniform pe toata adancimea. Daca exista o neuniformitate provocata de strate variabile sau de prezenta apei, nu se mai poate presupune o simpla distributie triunghiulara a presiunilor si astfel problema devine mult mai complexa.

Sub nivelul apei, impingerea activa a stratelor este diminuata, deoarece pamantul actioneaza cu densitatea sa apreciabila, dar din sens opus se exercita o impingere hidrostatica.

De la suprafata pana la adancimea de 5 m, conditiile sunt aceleasi ca si in problema 2.5. Impingerea se exercita asupra zidului la 5 m adancime, tinand seama de starea de tensiune care exista deasupra adancimii critice:

0,49 17,17 (5 - 2,16) = 23,8 kN/m²

Sub adancimea de 5 m, pamantul actioneaza prin densitatea sa nedeterminata (necunoscuta). Se va presupune ca densitatea data de 1,75 t/m³ este cea corespunzatoare pamantului in stare umeda, dar nu complet saturat. Sub nivelul apei, pamantul este complet saturat si probabil, densitatea sa creste cu 10 - 15 %. Presupunem ca densitatea este de 2,0 t/m³. Densitatea necunoscuta va fi atunci egala cu (2 - 1) = 1 t/m³, ceea ce corespunde unei greutati specifice de 9,81 kN/m³.

Presiunea care trebuie adaugata valorii de 23,8 kN/m² este de (0,49 9,81) pentru fiecare metru de adancime. La baza zidului de sprijin presiunea totala este:

23,8 + 0,49 9,81 3 = 38,2 kN/m²

Presiunea hidrostatica la baza, pentru o inaltime a nivelului apei de 3 m, este:

9,81 3 = 29,43 kN/m²

In fig.2.19 este reprezentata diagrama de repartizare a presiunilor. Suprafata acesteia va fi impingerea totala asupra zidului de sprijin. Ca si in exemplul anterior, suprafata triunghiulara situata in stanga axei diagramei presiunilor reprezinta o tractiune si in consecinta, nu trebuie luata in considerare.

Intr-o distributie triunghiulara normala a presiunilor, impingerea totala actioneaza la o treime din inaltime. Intr-o distributie cum este cea din aceasta problema, trebuie sa se ia momentele fiecarei suprafete in raport cu baza zidului si sa se determine centrul de greutate al ansamblului, tabelul 2.4.

Tabelul 2.4.

Elementele geometrice ale impingerii totale

Inaltimea centrului de greutate deasupra bazei este:

Impingerea totala are valoarea de 171 kN/m.l. de zid si actioneaza la o distanta de 1,8 m deasupra bazei.

7. Un zid de sprijin inalt de 9 m sustine un rambleu de argila nefisurata, a carei densitate este de 1,9 t/m³, coeziunea c = 28,5 kN/m² si j = 0⁰. Sa se determine impingerea activa pe m.l. de zid, presupunand ca pentru suprafata posterioara a zidului coeziunea este 2/3 din coeziunea argilei.

Rezolvare:

Intrucat j = 0, presiunea p_a la adancimea z, neglijandu-se coeziunea zidului, este data de relatia:

                                                     (2.39)

Se poate arata ca, daca se tine seama de coeziunea c_z corespunzatoare zidului, expresia (5.39) devine:

                                       (2.40)

Pentru a stabili adancimea critica z_c, expresia lui p_a se egaleaza cu zero, p_a = 0 si z = z_c. Se obtine ca:

                   (2.41)

La adancimea de 9 m:

Neglijandu-se tractiunea deasupra adancimii critice, la fel ca si la celelalte doua probleme precedente, impingerea va fi:

8. Un zid de sprijin inalt de 10 m, cu suprafata posterioara verticala, sustine un pamant coeziv cu densitatea aparenta 1,9 t/m³, coeziunea 15 kN/m² si unghiul de frecare interioara 15⁰. Sa se determine impingerea activa pe m.l. de zid, tinand seama de frecare si de coeziunea pe suprafata posterioara a zidului. Valorile frecarii si coeziunii zidului pot fi presupuse identice cu ale pamantului.

Rezolvare:

In acest caz, metoda adecvata de rezolvare este a prismelor de analiza, datorita complexitatii sistemelor de forte. Analizam planele de rupere B1, B2, B3, etc. Cum pamantul este coeziv, se presupune ca ariile prismelor sunt diminuate de fisurile de tractiune, adancimea critica fiind:

                                                      (2.42)

unde:

si:

Prin urmare, vom avea:

Fortele ce actioneaza pe fiecare prisma sunt:

1. greutatea prismei: W = suprafata x 18,64;

2. forta de coeziune pe zid: C_W = 15 (10 - 2,1) = 118 pentru fiecare prisma;

3. forta de coeziune pe planul de rupere: C = 15 x lungimea;

4. reactiunea R pe plan, actionand dupa unghiul j in raport cu normala;

5. impingerea activa P_a asupra zidului, care actioneaza dupa unghiul d in raport cu normala la zid (aici s-a presupus ca d j

Amplitudinile si directiile fortelor de la punctele 1, 2 si 3 sunt cunoscute; de asemenea, se cunosc directiile de actionare a fortelor de la punctele 4 si 5. Astfel, se poate construi poligonul fortelor si se poate masura P_a, fig.5.20. Scopul este de a gasi cea mai mare valoare a lui P_a care reprezinta impingerea activa, inainte de a fi utilizata pentru calculul zidului.

Valorile pentru cele trei prisme de analiza sunt date in tabelul 5.5.

Tabelul 2.5.

Elementele geometrice ale prismelor ce genereaza presiunea activa

Pentru o mai buna intelegere, in fig.5.20.b a fost reprezentat numai un poligon al fortelor si anume cel corespunzator prismei AB2. Din curba care uneste extremitatile vectorului P_a se determina valoarea maxima a impingerii active, care este de aproximativ 225 kN/m.l. zid.

Vom prezenta in continuare, pentru acest exemplu de problema, o alta metoda de rezolvare si anume, utilizand coeficientii din tabelele date in lucrarea "Civil Engineering Code of Practice", nr.2 (1951): Earth Retaining Structures.

Din aceste tabele se obtine ca pentru d j = 15⁰, avem:

K_j = 0,50         si K_AC = 1,85

Presiunea orizontala p_a se determina din ecuatia:

                                           (2.43)

La baza zidului:

P_a = 18,64 10 0,50 - 15 1,85 = 93,2 - 27,75

P_a = 64,45 kN/m²

Adancimea critica se determina din ecuatia:

18,64 z_c 0,50 = 27,7

de unde rezulta ca:

z_c = 2,98 3 m

Inaltimea zidului supusa presiunii este:

H - z_c = 10 - 3 = 7 m

Componenta orizontala a impingerii va fi:

Impingerea activa reala (actionand la 15⁰ in raport cu normala) este:

9. Baza suprafetei din fata a unui zid de sprijin este situata la 3 m sub nivelul pamantului. Componenta orizontala a impingerii active asupra zidului este de 226 kN/m.l. si componenta verticala a sarcinii de la baza este de 423 kN/m.l. Pamantul este necoeziv si poseda o densitate de 1,75 t/m³, unghiul de frecare interioara fiind j = 27⁰. Sa se determine impingerea pasiva exercitata pe suprafata din fata a zidului, neglijandu-se frecarea pe zid. Sa se determine factorul de siguranta in raport cu deplasarea in fata a zidului, tinand seama de rezistenta de alunecare la baza zidului (unghiul de frecare este de 20⁰).

Rezolvare:

Utilizand teoria lui Rankine pentru impingerea pasiva, avem:

         (2.44)

Impingerea pasiva pe m.l. este:

                            (2.45)

Rezistenta totala la alunecare = impingerea pasiva la baza zidului + frecarea la baza zidului:

= 206 + 423 tg 20⁰ = 360 kN/m.l.

Factorul de siguranta in raport cu alunecarea este:

2.10. Taluzul marginii de pamant a unui zid de sprijin cu inaltimea de 9,5 m are panta de 4:1 (vertical : orizontal). Pamantul este coeziv si are urmatoarele proprietati: densitatea 1,9 t/m³; j = 10⁰; coeziunea 24 kN/m²; unghiul de frecare dintre pamant si zid este de 10⁰. Sa se determine impingerea pasiva la deplasarea zidului spre rambleu.

Rezolvare:

Intr-un pamant coeziv, suprafata de rupere care se produce cand impingerea pasiva este depasita, nu este plana. Fig.2.21.a reda o suprafata de alunecare de analiza, in care BZ este presupus a fi un arc de cerc cu raza de 8,5 m si ZD un plan care face unghiul 45⁰ - j / 2 = 40⁰ cu orizontala.

Problema va fi tratata in trei etape:

a) Determinarea rezistentei de deplasare a prismei YZD;

b) Determinarea rezistentei P_a aplicata la tot blocul ABZD si care corespunde coeziunii de-a lungul suprafetei de alunecare si de-a lungul suprafetei posterioare a zidului;

c) Determinarea rezistentei P_W datorata greutatii blocului.

a) Forta pasiva totala care se exercita pe YZ ce masoara 7,5 m, este:

       (2.46)

si actioneaza la o treime din inaltime.

si actioneaza la mijlocul inaltimii, deoarece presiunea datorata coeziunii este uniforma.

In continuare, vom studia echilibrul portiunii ABZY.

b) Fortele de coeziune sunt:

- pe curba BZ:

C = c lungimea dreptei BZ

C = 24 5,8 = 139 kN

- pe zidul de sprijin:

C_W = c AB = 24 9,8 = 235 kN

1.     Forta C actioneaza paralel cu coarda BZ, la o distanta "a" de punctul O, adica:

c coarda BZ a = c arc BZ raza

de unde se obtine distanta "a" ca fiind:

2. Se traseaza o dreapta paralela cu BZ la distanta de 8,7 m fata de punctul O, care reprezinta linia de actiune a fortei C.

3. Se determina rezultanta C_R dintre C si C_W cu ajutorul triunghiului fortelor, fig.5.21.b si se trece directia sa pe diagrama prismei.

4. Se adauga E_c pe diagrama fortelor pentru a obtine rezultanta S_c.

5. Impingerea P_c asupra peretelui, corespunzatoare coeziunii, actioneaza la mijlocul inaltimii si este inclinata cu 10⁰ in raport cu normala. Aceasta dreapta intersecteaza S_c in Q.

6. Trasam cercul lui j de centru O si raza:

R sin j = 8,5 sin 10⁰ = 1,48

Rezultanta R_c a tuturor fortelor trebuie sa fie tangenta la acest cerc si trece prin Q.

7. Trasam R_c pe diagrama fortelor, paralel cu directia deja gasita si se masoara P_c, care este egal cu 630 kN.

c) Daca se tine seama de greutate si se neglijeaza coeziunea, se obtin fortele reprezentate in fig.2.21.c. Determinam aria suprafetei ABZY si pozitia centrului sau de greutate. Aceasta arie este de 59,7 m² si greutatea:

W = 59,7 1,9 9,81 = 1110 kN

Compunand greutatea W cu E_c, care a fost stabilita prin calcul ca fiind egala cu E_c = 744 kN, se obtine rezultanta S_W, dupa care vom cauta punctul de intersectie dintre S_W si P_W (precizam ca E_W si P_W actioneaza amandoua la o treime din inaltimile respective, fata de baza). Rezultanta R_W trece prin acest punct si este tangenta la cercul frecarii interioare j. Se completeaza diagrama fortelor, fig.2.21.d si se masoara P_W, P_W = 1310 kN.

Rezistenta pasiva totala este:

P_c + P_W = 630 + 1310 = 1940 kN/m.l. zid

Aceasta valoare reprezinta rezistenta pasiva doar pentru o suprafata de alunecare particulara, presupusa. Pentru a obtine rezistenta maxima este necesar sa se studieze mai multe suprafete de alunecare. Practic, uneori, un studiu ca cel prezentat aici ofera indicatii acceptabile referitoare la rezistenta pasiva previzibila.

11. Un batardou constituit dintr-o perdea de palplanse neancorate sustine un pamant pana la o inaltime de 6,6 m. Pamantul este uniform si prezinta un unghi de frecare interioara de 30⁰. Sa se determine adancimea pana la care trebuie infipte si fixate palplansele, presupunand ca teoretic 2 / 3 din rezistenta pasiva sunt exercitate pe adancimea respectiva (de incastrare).

Rezolvare:

Fie H inaltimea totala a palplanselor si de inaltimea incastrata in pamant.

Coeficientii impingerii active si pasive ai pamantului sunt:

- impingerea activa, fig. 2.22, va fi:

- impingerea pasiva va fi:

   (teoretic)

Valoarea lui K_p exercitata este de 2 / 3 din ultima marime calculata si este egala cu .

Impingerile activa si pasiva la baza perdelei de palplanse sunt:

- impingerea activa

- impingerea pasiva

Impingerile active si pasive totale sunt:

                                    (2.47)

Fortele P_a si P_p sunt echilibrate de rezistenta pasiva ce actioneaza foarte aproape de baza palplanselor si se presupune ca aceasta rezistenta R actioneaza sub forma unei forte repartizata liniar de-a lungul bazei.

Scriind momentele in raport cu B si eliminand pe g, se obtine:

de unde:

                                                                       (2.48)

Dar:

H = d + 6,61

Si prin urmare, inlocuind pe H in relatia (2.17), obtinem:

care este chiar adancimea pana la care trebuie sa fie incastrate palplansele.

12. O retea de palplanse ancorate are forma reprezentata in fig.2.23. Pamantul este lipsit de coeziune, avand densitatea de 1,9 t/m³ si unghiul de frecare interioara j = 30⁰. Sa se determine fractiunea din rezistenta pasiva maxima teoretica ce actioneaza pe adancimea incastrata BC care trebuie sa fie mobilizata pentru a exista echilibru. Se va utiliza metoda numita sustinerea pamanturilor libere. Sa se determine forta care actioneaza pe una din ancore, presupunand ca distanta pe orizontala dintre ancore este de 2,5 m.

Rezolvare:

Prima parte a problemei poate fi rezolvata fara a utiliza valoarea densitatii pamantului, insa pentru a doua parte este necesara si aceasta marime. Solutia o vom obtine foarte usor daca se calculeaza fortele activa si pasiva. Coeficientul K_a al impingerii active a pamantului este 1/3, la fel ca si la problema 2.9, iar impingerea activa va fi:

Impingerea activa actioneaza la o distanta de 9,6 / 3 = 3,2 m fata de baza.

Fie P_p forta pasiva rezultanta care actioneaza la distanta de 3,6/3 = 1,2 m fata de baza. Scriind momentele in raport cu punctul de ancorare A, vom avea:

Pentru j = 30⁰ valoarea maxima a coeficientului impingerii pasive este:

Rezistenta pasiva necesara este: x valoarea maxima.

Forta de ancorare:

R = 286 - 206 = 80 kN/m de zid

2,5 80 = 200 kN

Forta intr-o ancora (distanta fiind de 2,5 m) este:

13. O perdea de palplanse ancorate sustine un masiv de pamant cu inaltimea de 5,5 m si suprafata orizontala. Pamantul este necoeziv si are unghiul de frecare interioara j = 30⁰. Tirantii de ancorare sunt situati la 1,2 m sub nivelul suprafetei superioare. Aplicand ipoteza << sustinerii pamanturilor libere >>, sa se determine, aproximativ, adancimea minima a palplanselor necesara pentru asigurarea stabilitatii. Se neglijeaza frecarea pe suprafata perdelei de palplanse.

Rezolvare:

Ca si in exemplele precedente:

  , j = 30⁰

si:

Impingerea activa:

Impingerea pasiva:

Scriind momentele in raport cu punctul A, fig.2.24, si eliminand pe g, obtinem:

care conduce la o ecuatie de gradul III, de forma:

Aceasta ecuatie se poate rezolva fie grafic, fie prin aproximari succesive. Valoarea lui d obtinuta este de aproximativ 2,1 m. Prin urmare, adancimea minima a palplanselor, pentru a exista stabilitate, este:

14. O excavatie de 7,5 m adancime trebuie sa fie realizata intr-un pamant necoeziv, a carui densitate este de 1,8 t/m³ si j = 28⁰. Peretii laterali ai excavatiei vor trebui sa fie sustinuti printr-o perdea de palplanse ancorate cu tiranti de ancorare situati la 1,2 m fata de suprafata. Aplicand ipoteza <<sustinerea extremitatii incastrate>> si utilizand metoda grinzii echivalente, sa se determine adancimea minima a palplanselor, la echilibru.

Rezolvare:

Ca si in cazurile precedente, termenul g se elimina din solutie, insa rezolvarea problemei va fi mai clara daca vor fi exprimate complet impingerile activa si pasiva si fortele care apar. Grinzile echivalente sunt reprezentate in fig.2.25.a.

In mod obisnuit, pentru un pamant necoeziv, se presupune ca punctul de inflexiune C este situat la o distanta egala cu (0,1 h) sub punctul B, in acest caz aceasta fiind 0,75 m. Coeficientii impingerilor activa si pasiva sunt:

Greutatea specifica a pamantului este:

g = 1,85 9,81 = 18,12 kN/m³

Vom trece in continuare la diagrama de repartizare a presiunilor, fig.2.25.b:

- impingerea activa in C este:

0,361 18,12 8,25 = 54         kN/m²

- impingerea activa in D este:

54 0,361 18,12 x = 54 + 6,55x      kN/m²

- impingerea pasiva in C este:

2,77 18,12 0,75 = 37,6        kN/m²

- impingerea pasiva in D este:

37,6 2,77 18,12 x = 37,6 + 50,2xkN/m²

Grinda EC forta activa:

si actioneaza la distanta de punctul C.

forta pasiva:

actionand la fata de C.

Scriind momentele in raport cu A, vom avea:

R_c (8,25 - 1,2) = 222,5 (8,25 - 1,2 - 2,75) - 14,1 (8,25 - 1,2 - 0,25)

de unde rezulta ca:

R_c = 122 kN

Grinda CD: Fortele se obtin plecand de la suprafetele dreptunghiurilor si triunghiurilor din diagrama impingerilor. Scriind momentele in raport cu D, obtinem:

Impartind prin x si simplificand termenii asemenea se obtine o ecuatie de gradul II, a carui solutie este x = 4,6 m.

Adancimea de fixare in pamant a perdelei de palplanse va fi:

h_i = 4,6 + 0,75 = 5,35 m

si inaltimea minima a palplanselor este:

h_{m i n} = 5,35 + 7,5 = 12,85 m