Modelarea deciziilor manageriale

Abordarea deciziilor monocriteriale.

Scenariu. Maria Bogatu este vicepresedinte la trustul 'BUM'; ajunsa in biroul sau din Timisoara, citeste, pe teleimprimator si vede ca indicele BET a scazut sub 300 puncte si nu-i vine a crede. Maria gandeste: 'Este a sasea oara in ultimele patru luni cand faimosul indicator cade sub pragul de 300 puncte si fara a se putea mentine peste acest prag mai mult de 2 - 3 zile'.

Principala cauza a acestei situatii, evidentiata atat de analistii cat si de statisticienii pietelor, o constituie teama manifestata fata de posibilitatea revenirii recesiunii, in special a inflatiei si cresterea ratei dobanzilor.

Maria este inca o data socata in aceeasi zi de aparitia unui alt mesaj pe teleimprimator si anume ca 'BCR' din Bucuresti a ridicat rata preferentiala cu o patrime de procent. Aceasta deja era prea mult in acea zi pentru Maria.

Maria a fost de curand numita seful Departamentului Investitiilor trustului. In aceasta calitate, a fost autorizata sa investeasca o mare suma de bani in una din urmatoarele alternative posibile: obligatiuni, actiuni obisnuite si/sau in certificate de depozit la termen.

Obiectivul trustului este de a maximiza randamentul investitiilor (lichiditatilor disponibile) pentru o perioada de un an. Problema insa pare sa fie incerta si nimeni nu este capabil sa prezica exact miscarile actiunilor sau ale pietii obligatiunilor. Era insa evident pentru Maria ca randamentul - in % - al investitiilor depinde normal de starea economiei. In consecinta ea procedeaza la consultarea departamentului de cercetari economice. Dar cercetatorii nu au putut fi siguri ce stare a economiei va apare in timp de un an. Totusi, ei i-au indicat lui Maria ca se sconteaza ca economia sa fie in una din urmatoarele trei situatii posibile: crestere sanatoasa; stagnare; inflatie. Ea a cerut totusi sa i se dea si estimarile privind probabilitatile aparitiei starilor naturii; cercetatorii au apreciat astfel: 50% sansa de crestere economica; 30% stagnare si 20% inflatie.

Maria a examinat relatia dintre randamentul pentru posibilele investitii si starea economiei si a concluzionat pe baza experientei trecute urmatoarele tendinte:

1. Daca va apare o crestere economica sanatoasa: obligatiunile vor produce profituri de 12%; actiunile de 15% si depozitele la termen de 6,5%.

2. Daca va apare stagnarea economica: obligatiunile vor produce 6% castiguri; actiunile 3%, iar depozitele la termen 6,5%.

3. Daca apare inflatia: obligatiunile vor produce 3% castiguri; valoarea actiunilor va scadea cu 2%, iar depozitele la termen vor produce normal tot 6,5%.

Maria a examinat informatia de deasupra si a realizat ca decizia privind investitia nu va fi usor de elaborat.

Analiza matriciala

Caracteristicile problemei investitiilor. Dilema Mariei este o problema tipica manageriala de decizie. Maria, decidentul in acest caz, trebuie sa realizeze o alegere, optiune dintre cateva cursuri de actiune prezentate in matricea platilor (tabel de decizie).

Tabelul nr.12.1. Matricea platilor in procente

1. Cursurile alternative de actiune. Elaborarea deciziei prin definitie implica doua sau mai multe optiuni, cursuri sau alternative de actiune, asa - numitele strategii. Una si numai una din aceste alternative trebuie sa fie selectata. Cursurile de actiune alternative le vom desemna prin: A₁; A₂; A_i A_m (uneori cu d₁; d₂; .d_i.d_m), unde 'm' este numarul de alternative, care poate fi ori finit, ori infinit. De exemplu decizia de a selecta un manual pentru cursul de management poate implica o multime numeroasa, dar finita de alternative. Daca vom avea un producator de bere, cel putin teoretic cantitatea de apa folosita va include un numar infinit de combinatii.

In marea majoritate a cazurilor de operare, de decizie, nu toate alternativele vor fi considerate, ci numai acelea dintr-un numar limitat. De exemplu, in fabricarea berii regulile de fabricatie ale unei beri stabilesc ca apa trebuie sa reprezinte o proportie intre 70% si 75%. Deci, acesta va constitui sirul fezabil de solutii. Desigur ca este posibil sa presupunem ca exista un sir infinit de solutii intre 70% si 75%, dar cu siguranta ca se iau in considerare in practica numai un numar maxim de zece solutii.

Tabelele de decizie sau matricile platilor sunt folosite atunci cand numarul alternativelor candidate este finit si de obicei mic, mai putin de 100 in orice caz. In cazul Mariei avem, de exemplu, numai trei alternative.

Capacitatea de a genera alternative depinde de creativitatea si imaginatia managerilor. Un manager creativ de obicei vede mai multe alternative decat realizeaza unul conservator.

De exemplu, Maria poate lua in considerare si alte alternative, astfel ca alternativele candidate: A₄ cu 50% actiuni si 50% obligatii sau A₅ cu 30% actiuni si 70% obligatii s.a.m.d.

2. Starile naturii, in cazul nostru plasate in capul tabelului, drept coloane, mai sunt numite si evenimente posibile. Starile naturii cum stim sunt notate cu: S₁; S₂; S_j.S_n. Starile naturii pot fi si linii, depinde pur si simplu de preferinta decidentului care construieste matricea. O stare a naturii poate fi o stare a economiei (inflatie, de exemplu), o situatie sau o conditie a vremii, o dezvoltare politica (castigarea alegerilor de catre un partid sau un candidat la presedintie) sau o alta situatie pe care decidentul nu o poate controla.

In exemplul nostru cu investitiile sunt cele trei stari ale naturii, respectiv stari posibile ale economiei: crestere economica sanatoasa, stagnare sau inflatie. Starile naturii sunt de obicei nedeterminate de actiunea unui singur individ sau organizatie. Ele sunt in principal rezultatul 'actiunii lui Dumnezeu' sau rezultatul unei forte necunoscute, necontrolabile. Numarul starilor naturii intr-o situatie decizionala este finit si de obicei nu prea mare.

3. Probabilitatile starilor naturii. Ce reprezinta aceste probabilitati? Ele reprezinta sansele de aparitie a starilor naturii si sunt redate in procente sau numere subunitare. De asemenea, in mod logic se presupune ca una si numai una din starile naturii va apare in viitor. De aici, normal, suma probabilitatilor starilor naturii:

unde: pj = probabilitatea de aparitie a starii naturii Sj; j=1,n

4. Platile (consecintele sau rezultatele), asociate cu o alternativa anume si o stare a naturii data, sunt reprezentate de numere (care exprima aceeasi unitate de masura, marime fizica sau altele, de aici caracteristica monocriteriala sau monoatributiva), inscrise la intersectia liniei alternativei 'A_i' cu coloana starii naturii 'S_j'. Consecinta sau plata este desemnata prin 'a_ij'. De exemplu in tabelul nostru, al platilor, daca decidentul selecteaza alternativa A₁ si in viitor va apare starea naturii S₂, consecinta sau plata este a₁₂, respectiv un castig de 6%. Platile sunt considerate conditionate, deoarece o anumita plata rezulta din aparitia unei anumite stari a naturii in functie de cursul de actiune alternativ ce a fost ales. De asemenea, este foarte important sa retinem ca plata este masurata pentru o perioada specifica (de exemplu un an). Aceasta perioada este numita curent si orizont al deciziei. Astfel, o plata poate reprezenta o valoare prezenta a catorva plati realizate la momente diferite in viitor.

In final, putem reda structura generala a tabelului de decizie sau a matricii platilor.

Tabelul nr.12.2.  Structura generala a matricei platilor

Starile naturii a Cursuri de actiune alternative	S1........Sj.......Sn p1........pj........pn
A1 Ai	a11.......a1j.......a1n ai1.......aij........ain
Am	am1......amj........amn

In tabelul nr.12.2. este prezentata structura generala a tabelului de decizie, care in termenii modelelor matematice poate fi descrisa astfel:

Curs alternativ de actiune = variabila de decizie independenta

Starile naturii = parametri necontrolabili independenti

Probabilitatile starilor naturii = parametri necontrolabili independenti

Platile = consecintele (rezultatele) scontate (asteptate), variabile dependente.

Abordarea deciziilor in conditii de certitudine

Pentru a analiza aceste decizii sa luam un exemplu. Sa presupunem ca organizatia 'PX' este un producator de casete video 'JVC' care, potrivit compartimentului de planificare, ar avea trei cursuri alternative de actiune:

A₁ - Extinderea fabricii (capacitatilor de productie existente);

A₂ - Construirea unei noi fabrici (noi capacitati de productie);

A₃ - Subcontractarea unor capacitati de productie de la alti producatori.

De asemenea, potrivit departamentului de planificare, s-au identificat ca posibile evenimente viitoare, respectiv stari ale naturii:

S₁ - o cerere mare, datorata unei rate ridicate de acceptare a produsului;

S₂ - o cerere moderata, rezultata dintr-o rata moderata de acceptare a produsului, dar cu o reactie concurentiala destul de semnificativa;

S₃ - o cerere mica, rezultata dintr-o rata slaba de acceptare a produsului;

S₄ - un esec total, o rata zero de acceptare a produsului.

Platile corespunzatoare cursurilor alternative de actiune probabile de intreprins in functie de starile naturii care vor apare sunt redate in tabelul nr.12.3. ca profituri anuale.

Elaborarea deciziei in conditii de certitudine presupune ca exista numai o singura stare a naturii, respectiv este o deplina siguranta asupra viitorului. Aceste situatii exista sau sunt tipice deciziilor de rutina, respectiv situatii certe, clare si corecte, fara implicatii, dar si in aceste situatii este imposibil sa se garanteze cu destula certitudine aparitia starii naturii.

Tabelul nr.12.3. Matricea platilor (mii lei)

Deci, in conditii de certitudine este usor sa analizam situatia si sa realizam decizii bune. In aceasta situatie decidentul indica alternativa cu cea mai buna plata din coloana. De exemplu daca presedintele lui 'PX' cunoaste ca starea naturii care va apare este S₂ (cerere moderata), atunci va alege normal alternativa 'A₂'. In mod similar, daca el stie ca starea naturii care va apare va fi S₃ (cerere mica), atunci va alege normal 'A₃'.

Abordarea deciziilor in conditii de incertitudine

In aceasta situatie stim ca este posibil sa apara mai multe stari ale naturii decat una, respectiv cunoastem care sunt aceste stari ale naturii, dar nu avem, nu dispunem de nici o informatie care sa ne permita sa apreciem sau sa estimam probabilitatile de aparitie a acestor stari ale naturii. In aceasta situatie avem la dispozitie mai multe criterii de decizie sau reguli pe care le putem folosi.

Criteriul optimist (Maximax)

Intr-o situatie de decizie data, acest criteriu il inzestreaza pe decident cu o atitudine sau comportare optimista, respectiv pe baza credintelor, experientei sau altor argumentari el va alege alternativa care ii maximizeaza plata. Deci el presupune ca cel mai bun rezultat posibil va apare, sau altfel spus ca cea mai buna stare a naturii va apare. Pentru a elabora decizia potrivit acestui criteriu, decidentul prima data va selecta plata maxima posibila pentru fiecare alternativa, apoi va alege alternativa cu plata cea mai mare. Deci, potrivit acestui criteriu, decizia optima, pe care o notam cu D_o, va fi:

In cazul nostru va fi:

Criteriul pesimist (Maximin).

Decidentul care foloseste acest criteriu este complet pesimist sau, altfel spus, criteriul il inzestreaza cu o atitudine, comportare pesimista. Decidentul incearca sa maximizeze plata minima posibila. Deci, el presupune ca cea mai rea stare a naturii se va produce, indiferent de ce alternativa va alege. In consecinta, pentru a se proteja, decidentul va alege alternativa care ii va asigura cea mai mare plata sub o prezumtie certa pesimista (cea mai buna din cele rele).

Decidentul va proceda la fel ca in cazul criteriului optimist, respectiv va identifica cea mai rea plata pentru fiecare alternativa din care va alege apoi pe cea mai mare, deci decizia optima va fi:

Deci, in cazul nostru:

Criteriul regretelor (sau al lui Savage).

Conceptul regretului este echivalent cu determinarea pierderii oportunitatii. Aceste doua notiuni reprezinta conceptul important de 'costul oportunitatii', care ne indica semnificatia pierderii suferite din neselectarea celei mai bune alternative.

Savage argumenteaza in mod logic ca un decident rational va incerca totdeauna sa minimizeze cel mai mare regret posibil, anticipat. Aceasta inseamna folosirea abordarii cu criteriu 'mini max' a consecintelor sau platilor sub forma de regrete intr-o maniera pesimista.

Acum sa revenim la exemplul nostru cu producatorul de casete video JVC si sa presupunem ca presedintele acestei companii poate pasi in viitor. Sa presupunem ca inaintea acestei pasiri in viitor el luase decizia de subcontractare pe baza informatiei pe care el o detinea in acel moment si din viitor el vede in mod clar ca starea naturii care va apare este 'Cerere mare'. In aceasta situatie, profitul pe care il va realiza cu alternativa de 'subcontractare' si starea naturii 'Cerere mare' este de 300.000. Desigur ca daca el ar fi stiut aceasta inainte de a lua decizia de 'subcontractare', atunci ar fi ales in mod rational decizia 'A₂' - 'Construirea unei noi capacitati' si ar fi realizat un profit de 700.000. Diferenta dintre 700.000 plata optima (pe care el ar fi dobandit-o) si 300.000 plata reala obtinuta din decizia pe care a luat-o este de 400.000, ceea ce constituie 'regretul inregistrat' din aceasta decizie, sau, cum mai este cunoscuta, 'pierderea oportunitatii'. Generalizand acum, regretul este diferenta dintre plata cea mai buna pentru o stare a naturii data si celelalte plati (consecinte) ale celorlalte alternative, de aici r_ij:

unde: r_ij = regretul alternativei 'i' sub starea naturii 'j';

a_j¹ = plata cea mai buna sub starea naturii 'j';

a_ij = plata alternativei 'i' sub starea naturii 'j'.

Deci, pentru a aplica criteriul regretelor trebuie sa construim matricea regretelor. In consecinta, vom privi in tabelul nr.12.3. Matricea platilor si vom identifica platile cele mai bune pentru fiecare criteriu, respectiv pentru:

S₁- plata cea mai buna este 700.000

S₂- plata cea mai buna este 300.000

S₃- plata cea mai buna este -10.000

S₄- plata cea mai buna este -100.000

dupa care vom scadea celelalte plati pentru a obtine matricea regretelor, redata in tabelul nr.12.4.

Tabelul nr.12.4 Matricea regretelor (in mii lei)

Aplicarea criteriului regretului, asa cum am mai aratat, reclama in mod clar necesitatea folosirii unui criteriu de optiune de tip 'mini max'. Adica, la fel ca si in cazul celor doua criterii de mai sus, vom identifica regretul maxim pentru fiecare alternativa sub o stare a naturii 'j', din care alegem alternativa cu cel mai mic regret posibil.

Deci:

Criteriul realismului (al lui Hurwicz).

Potrivit acestui criteriu, decidentii nu sunt nici complet optimisti, nici complet pesimisti. Hurwicz in concluzie ne sugereaza ca fiecare decident este caracterizat de un anumit nivel de optimism, pe care il notam cu a, care in mod normal va fi masurat pe o scara intre 0 si 1, respectiv o continuitate in care extremele sunt: 'pesimismul total', deci α= 0, iar la celalalt capat este 'optimismul total', adica α = 1 si de aici, in mod logic, un coeficient de pesimism 1 - α, care se aplica la plata, consecinta cea mai rea.

In acest mod Hurwicz introduce o valoare noua de apreciere a alternativelor candidate 'i', pe care o vom nota cu 'W_i', rezultata din insumarea platii celei mai bune pentru alternativa 'i' ponderata cu α si platii celei mai rele alternative 'i' ponderata cu

α, deci:

W_i = max a_ij . α + min a_ij . (1 - α); i = 1, m ; j = 1, n (10.5)

j j

iar decizia optima D_o:

D_o = max (10.6)

i

In cazul nostru, daca luam α = 0,7, atunci vom avea:

W₁ = 500 . 0,7 + (-450) . 0,3 = 215.000

W₂ = 700 . 0,7 + (-800) . 0,3 = 250.000

W₃ = 300 . 0,7 + (-100) . 0,3 = 180.000

Avantajul acestui criteriu este ca decidentul este capabil sa introduca in decizie propria argumentare bazata pe orice: experienta; fler; informatie; ghiceala s.a.m.d. privind atitudinea sau comportamentul sau, fie optimist, fie pesimist, in procesul decizional.

Criteriul echiprobabilitatii (al lui Laplace).

Decidentul care foloseste acest criteriu considera ca toate starile naturii sunt echiprobabile in aparitie. Aceasta echiprobabilitate este repartizata la fiecare stare a naturii, deci:

e = 1/S_j,

unde e = coeficientul de echiprobabilitate;

S_j = numarul starilor naturii unde j=1,n.

Acum putem calcula o valoare de expectanta 'E_i', ce caracterizeaza fiecare alternativa 'i', iar apoi din vectorul E_i vom selecta alternativa candidata cu valoare de expectanta maxima:

iar:

D_o = max

i

In cazul nostru:

e = 1/4= 0,25

E₁ = 0,25 (500 + 250 + (-250) + (-450)) = 12.500

E₂ = 0,25 (700 + 300 + (-400) + (-800)) = -50.000

E₃ = 0,25 (300 + 150 + (-10) + (-100)) = 85.000

Abordarea deciziilor in conditii de risc

Situatiile de decizie in care sansele (sau probabilitatile) de aparitie a fiecarei stari a naturii sunt cunoscute sau pot fi estimate sunt numite decizii in conditii de risc. In astfel de situatii, decidentul poate evalua, masura nivelul sau gradul de risc pe care si-l asuma in termenii distributiei de probabilitate. Aceasta informatie poate fi dedusa din istoria fenomenului sau pur si simplu dintr-un rationament obiectiv al decidentului; sursa desigur ca nu este importanta, ci informatia insasi care ne face capabili sa intuim sau sa manuim mai bine starea naturii care va apare. In aceasta situatie sunt trei criterii pentru elaborarea deciziei in conditii de risc, pe care le vom prezenta in continuare in ordinea: valoarea de expectanta, adesea numit si criteriul lui Bayes; criteriul rationalitatii si criteriul probabilitatii maxime.

Criteriul valorii de expectanta.

Acest criteriu cere decidentului sa calculeze valoarea de expectanta pentru fiecare alternativa candidata de decizie, respectiv suma platilor ponderate cu valorile probabilitatilor repartizate starilor naturii posibile de a aparea pentru fiecare alternativa.

unde:

p_j = probabilitatea de aparitie a starii naturii 'j'

In continuare sa luam un exemplu: 'Maria SRL' cumpara capsuni pentru vanzari intr-o piata in care acestea, vanzarile, reprezinta o variabila intamplatoare.

'Maria SRL' cumpara fiecare unitate (1 kg; 10 kg etc.) cu 3 u.m. (unitati, zeci, sute, mii s.a.m.d. de lei) si o vinde cu 8 u.m. (unitati monetare). Diferenta aceasta mare reflecta nivelul mare de perisabilitate al produsului si ca atare si riscul mare privind stocarea; de asemenea precizam ca 'Maria SRL' se aprovizioneaza (cumpara) 'de azi pe maine' si ca produsul nu va mai avea nici o valoare dupa ziua de vanzare (poimaine valoarea stocului ramas nevandut este 0).

'Maria SRL' se afla in fata deciziei cu ce cantitate sa se aprovizioneze sau sa comande azi pentru maine?

O cercetare a vanzarilor in trecut pe o perioada de 90 zile ne evidentiaza datele din tabelul nr.12.5.

Tabelul nr.12.5. Numar de unitati vandute pe zile in timp de 90 zile (cazuri intamplate)

De asemenea, mai precizam ca probabilitatile sunt obtinute printr-o distributie normala. La fel, precizam ca aceasta distributie este discreta si intamplatoare. Asa cum rezulta din tabel, sunt patru valori pentru volumul vanzarilor, iar in legatura cu aceste vanzari nu este vizibil un model clar in legatura cu succesiunea in care apar aceste vanzari.

In acelasi timp, trebuie sa aratam ca este normal sa presupunem ca nu exista nici un motiv sa credem sau sa consideram ca volumul vanzarilor, practic modelul vanzarilor, se va comporta diferit in viitor, deci problema SRL-ului nostru este de a determina 'cantitatea de capsuni care se va comanda astazi pentru a fi vanduta maine'. Astfel, daca maine numarul de cazuri (unitati) solicitate va fi mai mare decat numarul aprovizionat in stoc, profiturile SRL-ului vor suporta o neimplinire in stoc. Totodata sunt si costuri rezultate din situatia inversa, respectiv dintr-o stocare mai mare decat cererea. Sa presupunem ca intr-o zi SRL-ul nostru s-a aprovizionat cu mai mult decat se cere; in acest sens sa consideram ca s-a aprovizionat cu 13 unitati si se vand numai 10. Deci, firma va realiza un profit de 50 u.m. (10.5), dar acesta va fi diminuat cu costul celor trei unitati nevandute, 3.3 = 9 u.m. si astfel profitul va fi de numai 41 u.m. De aici, din aceasta situatie deducem ca sunt doua feluri de costuri: unul care priveste pierderea unui profit potential, pierderea oportunitatii, aceasta fiind un cost potential, si cel de al doilea unul efectiv, real, care consta din cheltuielile pentru unitatile aprovizionate si nevandute.

Pentru a rezolva probleme decizionale in conditii de risc, trebuie sa calculam prima data matricea profiturilor conditionale.

Calculul matricii profiturilor conditionale O modalitate de prezentare a problemei SRL-ului nostru este de a construi un fel de matrice in care rezultatele sunt prezentate sub forma baneasca (unitati monetare) a tuturor combinatiilor posibile de achizitionare (aprovizionare) si vanzare (desfacere). Desigur, luam in considerare numai valorile privind achizitiile si vanzarile care au sens pentru noi, si anume cazurile de 10, 11, 12, 13 unitati. Acestea fiind modelele vanzarilor care au fost observate in cele 90 zile, nu avem nici un motiv in plus, cunoscut, sa consideram cazurile determinate prin observare mai mari de 13 unitati sau mai mici de 10 unitati deoarece acestea nu au aparut. Pornind de la aceste consideratii rationale logice si reale, putem acum sa intocmim, constituim matricea profiturilor (respectiv variabilele rezultat sau de decizie) redata in tabelul de mai jos.

Tabelul nr.12.6  Matricea profiturilor conditionale

Aceasta situatie ne arata profiturile rezultate pentru orice combinatie posibila aprovizionare - desfacere sau oferta - cerere. Profiturile pot fi pozitive sau negative si sunt conditionate deoarece un profit anume apare, rezulta din luarea deciziei sau intreprinderea unei actiuni alternative de stocare sau comanda (10, 11, 12 si 13 unitati) in conditiile aparitiei unei stari a naturii, in cazul nostru a aparitiei unei cereri, respectiv de 10, 11, 12 sau 13 unitati. Matricea noastra, asa cum putem vedea, reflecta pe de o parte pierderile reale, efective, care apar cand stocurile raman nevandute la sfarsitul zilei, datorita faptului ca apar stari ale naturii nefavorabile, respectiv cereri mai mici decat oferta. Pe de alta parte, matricea sau tabelul nu reflecta profitul respins sau, altfel spus, pierderea oportunitatii (profitului potential) de catre SRL, cand apare situatia inversa, in care stocul se termina inainte ca cererea sa fie satisfacuta, deci alternativa candidata adesea este mai mica decat starea naturii care a aparut.

Deci, de retinut, in rezumat:

Stocarea sau comanda a 10 unitati in fiecare zi va rezulta intr-un profit de 50 u.m.; chiar daca cererea este de 13 unitati intr-o zi, SRL-ul nu poate vinde decat 10 unitati cate are.

Cand stocul este de 12 unitati, acesta conduce la profituri de 60 u.m. in zilele in care cererea este de 12 unitati sau mai mare iar cand o stare a naturii de 10 unitati, cerere apare, profitul va fi de 44 u.m., iar cand o stare a naturii de 11 unitati cerere apare, profitul va fi de 52 u.m.

In sfarsit, cand un stoc sau o comanda de 13 unitati este aleasa, va rezulta un profit de 65 u.m., cand starea naturii de 13 unitati apare, oricare alta stare a naturii care ar aparea va conduce la diminuarea profitului.

Ceea ce este insa mult mai important este faptul ca matricea platilor nu spune SRL-ului ce alternativa de stocare sa adopte in fiecare zi pentru a maximiza profiturile. Matricea platilor ne arata numai rezultatele pentru fiecare curs de actiune posibil, in functie de ce stare a naturii va apare. In conditii de risc, deci SRL-ul nu cunoaste in avans marimea pietii, respectiv starea naturii care apare zilnic, dar el va trebui sa aleaga un curs de actiune alternativ care sa maximizeze profiturile de-a lungul intregii perioade de timp.

1. Abordarea cu profitul de expectanta. Etapa urmatoare dupa calculul matricei de expectanta sau a variabilelor de decizie este aceea de repartizare a probabilitatilor la starile naturii, fie calculate, fie estimate. Folosindu-ne de profiturile conditionale si de probabilitati, se poate determina profitul de expectanta pentru fiecare curs alternativ de actiune, in cazul nostru de comanda, respectiv, stocare.

Profitul de expectanta.

Mai inainte am aratat cum putem calcula valoarea de expectanta a unei variabile intamplatoare si a fiecarei alternative candidate prin ponderea profitului conditional (variabila rezultat) cu probabilitatea de aparitie a starii naturii si respectiv apoi prin insumarea acestor ponderari pentru fiecare alternativa in parte. Astfel, notand:

b_ij = variabila rezultat, profitul conditional, al unei alternative 'i' in conditiile starii naturii 'j';

p_j = probabilitatea de aparitie a starii naturii 'j';

B_i = profitul de expectanta al unei alternative candidate sau al unui curs alternativ de actiune 'i', rezulta:

De exemplu, pentru alternativa conditionata de stocare a 10 unitati,

B₁ = 50 × 0,2 + 50 × 0,4 + 50 × 0,3 + 50 × 0,1 = 50 u.m.

Procedand in acest fel va rezulta tabelul profiturilor de expectanta prezentate in tabelul urmator.

Tabelul nr.12.7. Matricea profiturilor de expectanta

Deci varianta optima este alternativa 'A₃' de a stoca 12 unitati, care ne asigura un profit maxim de 53,60 u.m.

Matricea mai poate fi aranjata si ca in tabelul de mai jos:

Tabelul nr.12.8. Matricea profiturilor de expectanta

Varianta optima este, normal, cea care ne da cel mai mare profit de expectanta, in cazul nostru alternativa candidata sau actiunea de a stoca 12 unitati, aceasta alternativa asigurandu-ne un profit maxim zilnic de 53,60 u.m.

Interpretarea.

In aceasta situatie nu s-a introdus certitudinea. De asemenea, trebuie sa precizam ca am folosit experienta trecuta a S.R.L.-ului in determinarea celei mai bune alternative. S.R.L.-ul nu cunoaste, totusi, cat de multe cazuri vor fi solicitate la o anumita data; cu toate acestea, daca S.R.L.-ul va stoca, comanda zilnic 12 unitati, respectiv daca va actiona cu alternativa A₃, el va inregistra un profit mediu zilnic de 53,60 u.m. Aceasta alternativa este cea mai buna pe care o poate lua, intrucat orice alta alegere va conduce la un profit mediu zilnic mai mic.

2. Abordarea in conditiile informatiei perfecte. Sa presupunem acum ca pentru un moment detalistul nostru de capsuni, SRL-ul, poate inlatura intreaga incertitudine a problemei prin obtinerea de informatii suplimentare. Respectiv o informatie completa si exacta cu privire la viitor, prin care este eliminata incertitudinea problemei. Aceasta insa nu inseamna ca vanzarile solicitate, cererea, nu vor varia tot intre 10 - 13 unitati vandute pe zi. Vanzarile vor fi tot de 10 unitati in 20% din timp, 11 unitati in 40% din timp, 12 unitati pe zi in 30% din timp si 13 unitati pe zi in 10% din timp. Informatia perfecta consta in faptul ca SRL-ul stie exact pentru fiecare zi cu ce cantitate sa se aprovizioneze, respectiv ce stare a naturii va apare.

Calcularea profitului de expectanta in conditiile informatiei perfecte. In circumstantele aratate, SRL-ul va stoca, va comanda exact numarul de unitati care vor fi necesare in fiecare zi. Astfel, pentru situatiile, evenimentele sau starile naturii cu cerere de 10 unitati el, SRL-ul, se va aproviziona cu 10 unitati si va realiza un profit de 50 u.m. Atunci cand va apare starea naturii de 11 unitati, el se va aproviziona cu 11 unitati si va realiza un profit de 55 u.m. In acest fel, valorile profitului de expectanta in conditiile informatiei perfecte vor fi cele prezentate in tabelul nr.10.9.

Tabelul nr. 12.9 Calculul profitului de expectanta in conditiile informatiei perfecte

unde: b¹_ij= profitul de expectanta al alternativei 'i' in conditiile informatiei perfecte (apare sigur starea naturii "j")

b¹₁₁= b₁₁ . p₁ = 50 . 0,2 = 10 s.a.m.d.

Logic, in aceasta situatie nu este vorba de a opta pentru o anumita alternativa, intrucat toate sunt luate in calcul in functie de starea naturii care apare si, normal, la fel, aceasta situatie este una ideala care ne da profitul maxim care poate fi obtinut. Din nefericire, aceasta situatie ramane una ideala, pe care nu o intalnim practic.

3. Abordarea cu minimizarea pierderilor de expectanta. Inainte am rezolvat problema SRL-ului prin maximizarea profitului zilnic de expectanta. Putem insa judeca problema si din alta perspectiva, respectiv prin calculul marimilor prin care profitul maxim poate fi redus datorita cursurilor de actiune pe care le intreprinde decidentul si apoi, normal, vom opta pentru cursul de actiune care minimizeaza valoarea de expectanta a acestor reduceri sau pierderi.

Doua tipuri de pierderi sunt implicate:

1. Pierderi din supraaprovizionare, cererea este mai mica.

2. Pierderi de oportunitati, respectiv subaprovizionari, cererea este mai mare.

In aceasta abordare va trebui sa determinam o matrice a pierderilor conditionale ca in tabelul nr.12.10.

Tabelul nr.12.10. Pierderile conditionale

Fiecare valoare din tabel este conditionata de marimea cererii, de starea naturii care va aparea si, desigur, de optiunea privind alternativa conditionata. Matricea aceasta, spre deosebire de cea a profiturilor conditionale, nu include numai un singur fel de pierderi, respectiv nu numai pierderile efective datorita supraaprovizionarii, care depaseste cererea, ci de asemenea si acele pierderi de oportunitati rezultate din vanzarile pierdute datorita aprovizionarii sub cerere, ceea ce este in matrice deasupra diagonalei.

Desigur, normal ca nici una din cele doua tipuri de pierderi nu va apare cand aprovizionarea, marimea comenzii este egala cu marimea cererii (valoarea starii naturii). Aceasta situatie este caracterizata de diagonla 0. Acum urmatorul pas este de a repartiza - calcula sau estima - probabilitatile si de a calcula pierderile de expectanta (respectiv diminuarea sau reducerea de expectanta a profitului maxim) pentru fiecare din cele patru alternative de actiune.

Cursul de actiune alternativ este cel care minimizeaza pierderea de expectanta, respectiv in cazul nostru este acea actiune prin care se comanda un stoc zilnic de 12 unitati, caz in care pierderile sunt minime, de numai 2,90 u.m. (vezi tabelul nr.12.11). Deci, decidentul poate aborda problma fie din punctul de vedere al profitului de expectanta, fie din cel al pierderii de expectanta. Calculul acesteia din urma este prezentat in tabelul nr.12.11., unde:

c_ij= plata pentru alternativa 'i' in cazul starii naturii 'j' exprimata in pierdere efectiva sau de oportunitate.

C_i= pierderea de expectanta a alternativei 'i'.

Tabelul nr.12.11. Matricea pierderilor de expectanta

D₀=min (10.12)

i

4. Abordarea cu valoarea de expectanta a platii informatiei perfecte.

Presupunand ca SRL-ul a obtinut o previziune exacta asupra cererii viitoare, se ridica o intrebare, si anume: care ar fi valoarea unei astfel de previziuni?, care nu reprezinta altceva decat valoarea informatiei perfecte. Desigur ca SRL-ul nostru va trebui sa compare costul unei astfel de informatii aditionale cu profitul aditional pe care il va realiza ca rezultat al obtinerii informatiei perfecte.

SRL-ul poate castiga in medie zilnic maximum 56,5 u.m. cand dispune de informatia perfecta privind viitorul. De asemenea, cunoastem ca cel mai bun profit mediu zilnic al sau fara a avea informatia perfecta este 53,6 u.m. Deci, diferenta: 56,5 - 53,6 = 2,90 u.m. ce reprezinta suma maxima pe care SRL-ul este dispus sa o plateasca pentru infomatia perfecta, aceasta reprezentand ceea ce se numeste valoarea de expectanta a informatiei perfecte, VEI.

Este normal ca SRL-ul sa nu plateasca mai mult de 2,90 u.m. pentru informatia perfecta, intrucat altfel profitul mediu zilnic de expectanta ar fi inferior:

VEI = B¹_i - max = 56,5 - 53,6 = 2,9 u.m.

Determinarea valorii, pretului informatiei perfecte este deosebit de importanta pentru decident. In exemplul nostru am aflat ca SRL-ul va putea plati pe zi in medie 2,90 u.m. pentru informatia perfecta. Generalizand acum, constatam ca de fapt valoarea de expectanta a informatiei perfecte este egala cu pierderea de expectanta minima, adica:

VEI=min   (10.14)

i

Desigur ca cel mai adesea este dificil si imposibil de a avea informatia perfecta deoarece se intrebuinteaza profitul mediu de expectanta.

5. Abordarea problemelor cu valoarea recuperabila. Inainte, in problema noastra a SRL-ului, am presupus ca produsul care este vandut este valorificat in intregime, iar cel care nu este vandut - ramas in stoc la sfarsitul zilei - se considera pierdere totala, completa, prezumtie care in cele mai multe cazuri nu este reala sau, mai bine spus, nu este realista. Daca in situatia noastra produsul are o oarecare valoare de recuperare (salvare sau valorificare), aceasta trebuie luata in considerare, respectiv in calculul matricii platilor conditionale - profituri sau pierderi - pentru fiecare curs alternativ de actiune.

Tabelul nr.12.12  Matricea platilor (profiturilor) conditionale

Sa reluam exemplul nostru cu detailistul de capsuni care emite comenzi pentru maine. Vom modifica datele astfel: a) fiecare unitate costa 5 u.m. si se vinde cu 8 u.m., iar orice cantitate ramasa nevanduta la sfarsitul zilei se va vinde a doua zi cu 2 u.m. fiecare unitate; b) observarile realizate in trecut ne prezinta un model al vanzarilor cu 15 unitati pana la 18 unitati zilnic, totodata considerandu-se ca nu este nici un motiv ca modelul sa se abata de la acest standard in viitor; c) luand in considerare observarile trecute ale fenomenului, SRL-ul a stabilit probabilitatile celor patru stari ale naturii posibile ca urmatoarele: p₁(S₁ = 15 unitati) = 0,1; p₂(S₂ = 16 unitati) = 0,2; p₃(S₃ = 17 unitati) = 0,4 si p₄(S₄ = 18 unitati) = 0,3. Folosindu-ne de aceste noi date calculam matricea platilor conditionale, ca in tabelul nr.14.12.

Exemplu de calcul pentru a₂₁(A₂= 16; S₁= 15):

a₂₁= 15 . 3 = 45; 1 . 5 = 5; 45 - 5 = 40; 1 . 2 = 2; 40 + 2 = 42

sau pentru a₃₁(A₃= 17; S₁= 15):

a₃₁= 15 . 3 = 45; 2 . 5 = 10; 45 - 10 = 35; 2 . 2 = 4; 35 + 4 = 39.

Valoarea de recuperare poate de asemenea fi considerata ca o reducere a costurilor unitatilor nevandute la timp, in cazul nostru de la 5 u.m. la 3 u.m., respectiv de 2 u.m. Prezenta acestei valori de recuperare (salvare sau valorificare) intr-o asemenea problema nu modifica nici un principiu discutat mai devreme in acest capitol. Aceasta valoare ne determina numai sa tinem seama de efectul ei asupra platilor conditionale - profituri sau pierderi. Astfel, exemplificam pentru situatia noastra cu abordarea valorii de expectanta a profitului: calcularea profiturilor de expectanta pentru cele patru cursuri de actiune este redata in tabelul nr.12.12. Aceasta, ca si inainte, implica ponderarea profiturilor conditionale ale cursurilor alternative de actiune cu probabilitatile de aparitie a fiecarei stari a naturii, asa cum se poate vedea in tabelul nr.12.13.

Tabelul nr. 12.13. Profiturile de expectanta

De aici rezulta ca alternativa A₃= 17 unitati este cea mai buna, asigurand profitul maxim de 48,60 u.m.

Desigur ca problema cu valoare de recuperare sau valorificare este mult mai complicata, in functie de considerarea valorii de recuperare in timp, depinzand de 'varsta produsului', cat poate sta in stoc si ce influenta are aceasta asupra lui insusi si asupra imobilizarii. Acestea sunt probleme mai complexe care se rezolva cu alte tehnici si metode.

Arborele de decizie

Elementele componente ale arborelui multiperioada

Aspectele privind elaborarea deciziei de pana aici au fost limitate la o singura decizie ce acopera sau ia in considerare o singura perioada de timp. O astfel de decizie elaborata la inceputul perioadei si consecintele viitoare sunt estimate fie in termenii valorii prezente, fie in termenii valorii viitoare a rezultatelor. Toata informatia este prezentata sub forma matricii platilor (profiturilor). Sunt totusi de multe ori situatii cand o decizie nu poate fi considerata (privita) ca una izolata, o singura aparitie, ci, dimpotriva, ca o succesiune de cateva decizii integrate si/sau interdependente de-a lungul catorva perioade de timp viitoare. In aceasta situatie decidentul trebuie sa considere intreaga serie de decizii simultan. O astfel de situatie este denumita un proces de decizie multiperioada sau secvential.

a11					S1
					P1
a12					S2
					P2
a1j		A1			Sj
					Pj
PD		Ai
		Am
am1					S1
					P1
am2					S2
					P2
					amj
					Sj
					Pj

Figura nr. 12.1. Schema generala a arborelui de decizie

Folosirea matricii platilor pentru o astfel de situatie este stanjenitoare. Instrumentul sau modelul de decizie care a fost dezvoltat pentru astfel de situatii decizionale este 'arborele de decizie', care practic este o prezentare grafica a matricii platilor. Avantajele acestui model sunt - printre altele - datorate prezentarii grafice, faptul ca ne arata, ne face cunoscut dintr-o data: cand sunt necesare deciziile; momentul necesar elaborarii lor; care sunt consecintele posibile si care sunt platile de expectanta. De asemenea, mai amintim si aspectul rezultatelor calculului, care pot fi descrise direct pe arbore, astfel simplificand analiza (1).

Un arbore de decizie este compus din urmatoarele elemente (vezi fig.nr.12.1) :

- punctele de decizie (PD);

- alternative candidate (A_i);

- puncte sansa (PS);

- stari ale naturii (S_j);

plati, consecinte (a_ij).

1. Punctele de decizie, numite si noduri decizionale si reprezentate printr-un patrat, reprezinta punctele in care decidentul trebuie sa formuleze o optiune asupra unui curs de actiune din mai multe posibile (dar in numar finit), pe care il va urma in scopul atingerii obiectivului sau.

2. Alternativele posibile de urmat sunt reprezentate prin ramificatii sau arce care emerg (pleaca, ies) dintr-un nod decizional. In cazul in care un anumit cost este asociat cu alternativa candidata, atunci acesta se va scrie pe arcul sau ramificatia care reprezinta alternativa candidata respectiva; cand alternativa este respinsa, atunci ea se bareaza cu semnul ║ . Fiecare alternativa, ramificatie (arc) poate rezulta (sfarsi) fie printr-o plata (consecinta) intr-un alt punct de decizie, fie intr-un punct sansa.

3. Punctele sansa. Un punct sansa (cunoscut si ca punct de ramificatie sau nod sansa), reprezentat printr-un cerc, ne arata, ne face cunoscut ca un eveniment (stare a naturii) este asteptat sa se produca la acest punct din procesul decizional. Altfel spus, aceasta inseamna ca una dintr-un numar finit de stari ale naturii (evenimente) este asteptata, scontata sa apara, sa se produca. Starile naturii (evenimentele) sunt reprezentate prin arce care emerg, ies din punctele sansa. Deci, arborii de decizie caracterizeaza situatii decizionale in conditii de risc si probabilitatile repartizate starilor naturii sunt scrise deasupra ramurilor (arcelor). Fiecare ramificatie reprezentand o stare a naturii, poate fi urmata de o plata, un punct de decizie sau un alt punct sansa.

Rezolvarea arborelui de decizie

Arborele incepe a fi construit de la stanga la dreapta, cu un punct de decizie initial si apoi continuata dezvoltarea sa spre dreapta. Odata ce punctul initial de decizie este identificat si construit, toate alternativele posibile sunt reprezentate prin arce care ies din el spre dreapta. In continuare, alte puncte sansa sau puncte de decizie sunt adaugate corespunzator cu evenimentele sau deciziile care sunt asteptate, scontate sa apara dupa decizia initiala. De cate ori se adauga puncte sansa, vor fi adaugate starile naturii corespunzatoare, impreuna cu probabilitatile respective. In acest fel arborele se dezvolta spre dreapta, pana vor fi atinse platile sau profiturile. In fig. nr. 12.1 este prezentata structura generala a unui arbore.

Arborii mai mari implica, normal, o succesiune de cateva puncte sansa sau decizie, reprezentand cateva etape in procesul de decizie, asa cum vom vedea mai tarziu. In fig.nr.12.1 am prezentat numai o singura decizie - respectiv intr-o singura perioada sau etapa - si, datorita acestui fapt este echivalenta cu matricea platilor.

Procesul construirii unui arbore de decizie pote fi impartit conceptual in trei parti:

Construirea unui arbore de decizie care include toate punctele de decizie si punctele sansa aranjate in ordinea cronologica.

Intorducerea probabilitatilor starilor naturii, obtinand astfel un arbore de probabilitate.

In final adaugarea platilor conditionale, obtinand astfel forma finala a arborelui de decizie.

Asa cum am precizat inainte, practic arborele de decizie reprezinta forma grafica a matricii platilor. Pentru a vedea acest lucru, sa reconsideram situatia decizionala a vicepresedintelui firmei 'BUM', Maria Bogatu, prezentata in matricea platilor din tabelul nr.12.14.

Aceasta situatie decizionala rezolvata prin calcularea valorii de expectanta a profitului fiecarei alternative ne arata ca alternativa A₁ este recomandata, intrucat EB_i este maxim. Acest tabel de decizie sau matrice a platilor poate fi reprezentata ca un arbore de decizie (vezi fig.nr.12.2).

Tabelul nr.12.14.  Matricea platilor

Evaluarea arborelui de decizie

Pentru a rezolva un arbore, este normal sa-l impartim in segmente. Sunt doua tipuri de segmente: puncte de decizie cu alternativele A_i (fig.nr.12.3 a) si punctele sansa, cu toate starile posibile ale naturii (fig.nr.12.3 b).

Procesul de rezolvare a arborelui incepe cu segmentele de sfarsit ale arborelui, din partea dreapta a sa, si continua catre stanga, segment de segment, in ordinea inversa in care a fost construit arborele, pana se atinge punctul de decizie initial.

Segmentele punct (nod) sansa. Valoarea de expectanta a platilor tuturor starilor naturii care se dezvolta dintr-un punct sansa trebuie determinata (respectiv multiplicarea platilor cu probabilitatile si insumarea rezultatelor). Aceasta valoare de expectanta este scrisa deasupra punctului sansa, intr-un chenar. Aceste valori normal vor fi considerate drept plati pentru urmatoarele segmente din stanga.

 

S1

P1=0.5