Calculul aproximativ al unor sume

Calculul aproximativ al unor sume

Practic, cand nu putem calcula exact suma a unei serii convergente, , atunci putem aproxima suma prin , pentru suficient de mare. In astfel de aproximari putem determina valorile lui astfel ca eroarea absoluta de aproximarea sa fie mai mica decat o anumita valoare , data :

.

Analizam situatiile:

(a). Fie seria alternanta , unde (dupa criteriul lui Leibniz seria este convergenta). Fie suma partiala . Atunci avem

Observam ca sirul este crescator, iar sirul este descrescator si, cum

,

atunci, putem scrie , de unde rezulta marginirea acestor siruri. Asadar, avem si .

Cu ajutorul acestor relatii, obtinem evaluarile

.

In consecinta, inlocuind suma a seriei prin , facem o eroarea mai mica decat primul termen neglijat, eroarea fiind prin lipsa daca sau prin adaus daca . Deci, valoarea absoluta a erorii este mai mica decat primul termen neglijat si vom scrie

.

De exemplu, daca dorim sa calculam suma seriei alternate a lui Leibniz, , cu trei zecimale exacte () obtinem .

Deci, insumand primii termeni ai seriei obtinem cu trei zecimale exacte (0.693).

(b). Fie seria cu termeni pozitivi .

Presupunem ca seria este convergenta si fie , suma seriei. De asemenea, presupunem ca exista a.i. , pentru . Inlocuind suma a seriei cu suma partiala putem evalua restul care se obtine sub forma

.

Asadar, eroarea care se face cand inlocuim suma seriei cu sirul sumelor partiale este

.

De exemplu, daca dorim sa calculam valoarea aproximativa a numarului cu trei zecimale exacte, atunci putem sa calculam suma seriei cu trei zecimale exacte. Avem

, pentru

si deci, . Alegem cel mai mic numar natural a.i. . Gasim, si deci, . Asadar .