ELEMENTE DE ALGEBRA SI ANALIZA VECTORIALA

In cele ce urmeaza se intentioneaza revederea succinta a principalelor operatiuni din algebra si analiza vectoriala, strict necesare in tratarea atat teoretica cat si sub aspect aplicativ a problematicii care face obiectul de studiu al Mecanicii. Se are in vedere o anumita rigurozitate in precizarea unor aspecte de detaliu, necesara in special la elaborarea algoritmelor de calcul programabile.

1   Marimi scalare si marimi vectoriale

Pentru caracterizarea unei marimi scalare este suficienta o determinare cantitativa printr-un numar real de unitati de masura. Simbolizarea unei marimi scalare este alfanumerica. Se includ in aceasta categorie lungimea unui segment (l), masa (m), timpul (t), lucrul mecanic (L), energia cinetica (E) si potentiala (V), momentul de inertie mecanic (J), etc.

Atributele unei marimi vectoriale sunt modulul, directia sisensul de actiune. In Mecanica, pe langa simbolizarea cunoscuta se utilizeaza mai frecvent o simbolizare, devenita traditionala, constand dintr-o bara asezata deasupra notatiei alfanumerice a marimii respective (), neexistand posibilitatea unor confuzii. Cateva exemple de marimi vectoriale sunt: forta (), momentul fortei fata de un punct (), vectorul de pozitie (), viteza () si acceleratia () ale unui punct, viteza unghiulara () si acceleratia unghiulara () ale unui corp, impulsul () si momentul cinetic (), etc. Elementele de grafica caracteristice unui vector oarecare sunt reprezentate in fig. 1.

Modulul vectorului, notat , este un scalar pozitiv si caracterizeaza dimensional marimea vectoriala respectiva. Directia vectorului este reprezentata prin dreapta suport coliniara cu vectorul continand, evident, si punctul de aplicatie A al acestuia; pe aceasta dreapta sensul pozitiv se atribuie prin versorul atasat.

Pozitia dreptei suport si, implicit, cea a vectorului in raport cu o directie fixa de referinta (de obicei axa Ox) se indica prin unghiul de pozitie dintre sensurile pozitive ale acestor directii; unghiul de pozitie este un unghi orientat, pozitiv in sens trigonometric. Sensul vectorului se raporteaza la versorul ; un vector va avea sens contrar lui .

2   Definiri grafo-analitice ale vectorilor

Operatiunile cu marimi vectoriale pot fi mai usor urmarite, atat in tratarea teoretica cat si in aplicatii, apeland la reprezentari grafice, nefiind obligatorie insa desenarea la scara a vectorilor.

1   Proiectia unui vector pe o axa

Se considera o dreapta oarecare si un vector necoplanar cu aceasta (fig. 2). Prin punctul A de aplicatie al vectorului se construieste dreapta iar din varful B se duce . Se duc apoi perpendicularele comune AA₁ si B'B₁. Lungimea segmentului A₁B₁, notata , reprezinta proiectia vectorului pe directia . Astfel:

(1)

in care si .

Se remarca faptul ca proiectia oricarui vector pe o dreapta este o marime scalara si se obtine inmultind scalar vectorul respectiv cu versorul directiei pe care se face proiectarea. Semnul proiectiei depinde de unghiul de pozitie al vectorului cu . Astfel, daca , iar pentru , . Proiectia este nula in cazul unui vector perpendicular pe (fig.3). Un vector se proiecteaza in adevarata marime pe propria lui directie de actiune sau pe o paralela la aceasta. In acest caz, daca este versorul directiei vectorului (fig. 1), se poate scrie:

(2)

deoarece . Proiectia este negativa daca si au sensuri opuse, respectiv in cazul unui vector .

2   Proiectii pe axele de coordonate

In raport cu un sistem de referinta cartezian directia unui vector este determinata prin unghiurile directoare formate de dreapta suport a vectorului cu axele de coordonate (fig. 4).

Proiectiile unui vector pe aceste axe vor fi date de relatiile

(3)

in care sunt versorii axelor de coordonate. Intre unghiurile directoare exista relatia:

(4)

in baza careia se poate scrie:

(5)

Daca in locul unghiurilor directoare directia vectorului se defineste prin unghiurile si (fig.5), proiectiile vectorului pe axele de coordonate se pot calcula cu relatiile:

(6)

3 Expresia analitica a unui vector

Un vector oarecare poate fi descompus dupa trei directii care nu sunt coplanare. In fig. 6 este ilustrata situatia in care aceste directii sunt paralele cu axele de coordonate. In baza regulii para lelogramului se poate scrie

(7)

Vectorii reprezinta componentele vectorului dupa directiile axelor de coordonate. Aceste componente se proiecteaza fiecare pe cate o axa in adevarata marime, ceea ce rezulta fiind tocmai , respectiv proiectiile vectorului .

Legatura intre proiectii si componente se face prin intermediul versorilor , in baza relatiei (2):

(7')

Inlocuind in (7) se obtine

(8)

relatie care defineste analitic vectorul . Inlocuind in cele de mai sus vectorul prin versorul se constata cu usurinta ca proiectiile pe axe ale versorului sunt tocmai cosinusurile sale directoare:

(9)

Daca un vector este continut intr-un plan, de exemplu in xOy (fig. 7), atunci si relatiile de mai sus iau forma simplificata

(10)

(11)

(12)

Mentionam ca relatiile (3), (6) si (10) mai pot fi scrise inlocuind prin proiectia a. O astfel de scriere a proiectiilor este necesara atunci cand pentru acel vector este cunoscuta numai directia de actiune, marimea si sensul urmand sa rezulte din calcule. O valoare negativa pentru a arata ca sensul de actiune al vectorului este invers celui considerat initial.

3   Operatiuni elementare cu vectori concurenti

In cazul unor vectori concurenti reprezentand marimi fizice de aceeasi natura (ca de exemplu un sistem de forte actionand simultan asupra unui punct material) se pune problema reducerii acestora, respectiv a gasirii unui singur vector rezultant, echivalent ca efect sistemului de vectori dat. Se determina atributelor vectorului rezultant, respectiv modulul, directia si sensul acestuia.

Suma urmeaza regula paralelo-gramului (fig. 8) conform careia vectorul rezultant are marimea si directia diagonalei paralelogramului construit cu cei doi vectori ca laturi. Este usor de constatat geometric ca:

(13)

Diferenta urmeaza aceeasi regula (fig. 9), relatiile de calcul devenind

(14)

Vectorul poate fi reprezentat si prin unirea varfurilor vectorilor si in modul aratat in fig. 9.

In cazul unui sistem format din mai mult de doi vectori, pentru gasirea rezultantei se poate aplica succesiv regula paralelogramului. Mai eficienta este in acest caz regula poligonului care consta in construirea unei linii poligonale (plana sau tridimensionala) ale carei laturi sunt construite din vectori paraleli si egali cu cei ai sistemului dat; vectorul rezultant uneste punctul de aplicatie al primului vector al poligonului cu varful ultimului. In fig.10 s-a exemplificat metoda pentru cazul a trei vectori coplanari.

In cazul a n vectori concurenti vectorul rezultant este:

(15)

Se inmulteste scalar aceasta relatie cu versorul unei axe oarecare

In baza relatiei (1) se poate scrie:

(16)

Aceasta relatie exprima teorema proiectiilor care se enunta astfel: proiectia pe o axa a rezultantei unui sistem de vectori concurenti este egala cu suma proiectiilor acestor vectori pe axa respectiva.

Aplicand aceasta teorema relativ la axele de coordonate se obtine:

(17)

Vectorul rezultantei

(18)

are modulul si unghiurile directoare date de relatiile:

(19)

(20)

Pentru sistemul de vectori coplanari din fig. 10

(21)

iar pentru vectorul rezultant se poare scrie

(22)

4   Inmultiri vectoriale

4.1   Inmultirea unui vector cu un scalar

Prin inmultirea unui vector cu un scalar se obtine un vector coliniar cu acesta (fig.11):

(23)

Daca si reprezinta marimi avand aceeasi natura fizica, de exemplu doua forte, atunci scalarul l este un factor de amplificare adimensional; daca sunt diferite, de exemplu o forta si un moment, atunci l este un factor de transformare a carui unitate de masura depinde de natura marimilor respective. Daca l < 0, atunci si au sensuri opuse. Cu exprimarile analitice

(24)

este evidenta relatia:

(25)

care exprima faptul ca intre proiectiile pe axe ale vectorilor coliniari exista acelasi raport de proportionalitate. Aceasta observatie va fi necesara in Statica la stabilirea ecuatiei axei centrale a unui sistem de forte paralele. Relatia (2) confirma totodata si legatura dintre un vector si versorul directiei pe care se afla.

4.2 Produsul scalar

Inmultirea scalara dintre doi vectori si se exprima prin relatia:

(26)

in care este unghiul dintere cei doi vectori (fig.12). Pentru , unde , produsul scalar ia forma:

(27)

Produsul scalar este comutativ si distributiv fata de adunare, respectiv:

(28)

Produsul scalar este nul in cazul in care cei doi vectori sunt perpendiculari unul pe celalalt. Inmultind scalar un vector cu el insusi se obtine:

(29)

Cu aceste observatii produsele scalare dintre versorii axelor de coordonate vor avea valorile urmatoare:

(30)

Daca vectori sunt exprimati analitic, atunci inmultirea scalara ia forma

(31)

Vom intalni produsul scalar in Statica la reducerea sistemelor de forte si in Dinamica la calculul lucrului mecanic al unei forte.

4.3 Produsul vectorial

Considerand aceiasi vectori si (fig. 13), produsul vectorial se exprima prin relatia:

(32)

Vectorul rezultant are modulul:

(33)

Directia acestui vector este perpendiculara pe directiile vectorilor si , deci pe planul in care sunt continuti acestia. Sensul vectorului se determina aplicand regula surubului drept. Astfel, un surub drept rotit in sensul de la catre , acoperind unghiul a , va avansa in sensul lui .

Produsul vectorial nu este comutativ:

(34)

Produsul este distributiv fata de adunare, respectiv:

(35)

Un scalar care inmulteste un produs vectorial poate fi atasat oricaruia dintre cei doi vectori:

(36)

Rezultatul inmultirii unui vector cu el insusi este nul:

(37)

Produsele dintre versori vor avea urmatoarele rezultate:

(38)

Daca si sunt exprimati analitic atunci

(39)

Se verifica usor ca aceste relatii reprezinta dezvoltarea unui determinant:

(40)

dupa versorii din prima linie. Vom intalni produsul vectorial in Statica la calculul momentului unei forte in raport cu un punct, in Cinematica la calculul vitezei si acceleratiei in miscarea de rotatie, in Dinamica la calculul momentului cinetic.

4.4 Produsul mixt

Cu trei vectori si se poate forma un produs mixt de forma:

(41)

avand ca rezultat o marime scalara. Acest produs nu este comutativ, astfel ca rocada intre doi dintre vectorii produsului modifica semnul rezultatului:

(42)

Un produs mixt este nul daca cei trei vectori sunt coplanari. Astfel:

(43)

deoarece este perpendicular pe planul vectorilor si si deci si pe . Produsul mixt mai este nul daca doi dintre vectori sunt coliniari sau paraleli; considerand, de exemplu, coliniari vectorii si se poate scrie si, tinand cont de (37), va rezulta:

(44)

Daca , si sunt exprimati analitic, produsul mixt se poate pune sub forma unui determinant:

(45)

Rezultatul produsului mixt va fi egal cu valoarea determinantului.

Vom intalni produsul mixt in Statica la calculul momentelor fata de axe ca si in unele demonstratii.

4.5 Produsul vectorial dublu

Cu vectorii , si se poate forma un produs vectorial dublu de forma:

(46)

avand ca rezultat un vector. Acest produs mai poate fi pus si sub forma:

(47)

Produsul dublu vectorial se utilizeaza in Cinematica la calculul accelera-tiilor unui solid rigid.