ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR SI STATISTICA MATEMATICA

1.Eveniment aleator. Frecventa relativa a unui eveniment aleator. Probabilitatea unui eveniment. Obiectivul teoriei probabilitatilor.

Notiunea fundamentala a teoriei probabilitatilor este aceea de eveniment aleator.

Se numeste eveniment aleator, un eveniment care in anumite conditii poate fie sa se realizeze, fie sa nu se realizeze.

Exemplul 1. Aparitia unei fete sau a alteia a unei monede aruncate este un eveniment aleator.

Exemplul 2. Lovirea obiectivului vizat in cursul unui tir este un eveniment aleator.

Exemplul 3. La fabricarea unui cilindru cu un diametru de 26 cm, faptul comiterii unei avarii inferioare a 0,2 mm, cu mijloacele de productie de care dispune este un fenomen aleator.

Definitie 1. Se numeste frecventa relativa p a unui eveniment aleator A raportul numarului de realizare a acestui eveniment m si numarul total de incercari identice n^* in care evenimentul dat ar fi putut sau nu sa se produca.

Vom scrie :

P^* (A) = p^* = (VII 1)

Din observarea diferitelor fenomene, rezulta ca daca numarul de incercari (probe) din fiecare serie este practic, putin ridicat, frecventa relativa de aparitie a evenimentului A in fiecare serie poate diferi, apreciabil de la o serie la alta.

Daca in schimb, numarul de incercari dintr-o serie este ridicat, atunci, de regula, frecventa relativa de aparitie a evenimentului A in fiecare serie poate diferi putin de la o serie la alta si diferenta aceasta este cu atat mai mica cu cat numarul de incercari dintr-o serie este mai mare. Se spune deci ca pentru un numar mare de incercari dintr-o serie, frecventa relativa prezinta, din ce in ce mai putin, un caracter aleator. Notam de asemenea ca exista evenimente cu frecventa instabila, astfel incat, valorile lor, chiar pentru o foarte mare serie, pot foarte mult sa difere una de alta.

Experienta arata ca in marea majoritate a cazurilor, exista un numar constant p astfel incat frecventa relativa a realizarii evenimentului A pentru un numar mare de incercari repetate difera foarte putin, cateva cazuri rare sunt exceptate, de acest numar p.

Acest fapt empiric se scrie simbolic in felul urmator :

p (VII 2)

Numarul p se numeste probabilitatea realizarii evenimentului aleator A. Scrierea simbolica este urmatoarea :

P(A) = p  (VII 3)

Probabilitatea p este o caracteristica obiectiva a sanselor de realizare a evenimentului A pentru incercarile date, definita de natura evenimentului A.

Frecventa relativa difera putin de probabilitatea pentru un numar mare de incercari, exceptie facand "cazurile foarte rare" pe care le putem neglija.

Relatia (2) este in mod obisnuit formulata astfel:

"Cand numarul de incercari (experiente repetate) n* creste indefinit, frecventa relative a evenimentului A tinde spre probabilitatea p de realizare a acestui eveniment".

Remarca: In rationamentele precedente noi am postulat empiric relatia (2). Se pot de asemenea postula alte conditii naturale ce decurg din experienta. In acest caz se poate de asemenea deduce relatia (2) care va fi atunci o teorema. Aceasta este teorema lui Bernoulli.

Probabilitatea fiind o caracteristica obiectiva a eventualitatii de realizare a unui eveniment, ea trebuie cunoscuta pentru a putea prevedea natura derularii a numeroase procese pe care le consideram in tehnica, medicina etc.

Determinarea probabilitatii de realizare a unui eveniment cu ajutorul probabilitatilor evenimentelor aleatoare conditionand evenimentele complexe considerate, studiul legilor de probabilitate care guverneaza diverse evenimente aleatoare, constituie obiectul teoriei probabilitatilor.

Definitia clasica a probabilitatilor si calcul direct al probabilitatii.

In anumite cazuri analiza incercarii probei corespunzatoare, permite calcularea probabilitatii elementelor aleatoare considerate. Pentru a explica aceasta consideram exemplele urmatoare.

Exemplul 1: Aruncarea unui zar (cub cu sase fete) pe care sunt notate cifrele de la 1 la 6. In virtutea simetriei celor 6 fete, aparitia oricarui numar cuprins intre 1 si 6 are o probabilitate egala, deci se numesc echiprobabile. Frecventa relativa este p = si probabilitatea de aparitie in acest caz este tot de . Deci probabilitatea poate fi calculata direct.

Definitia 1: Se spune ca evenimentele aleatoare sunt incompatibile pentru o incercare considerata, daca este exclus ca in cursul acestei incercari 2 dintre ele sa aiba loc simultan.

Definitia 2: Vom spune ca evenimentele aleatoare formeaza un sistem exhaustiv (sau complet) daca in cursul fiecarei probe fiecare dintre ele poate fi realizat, excluzand realizarea tuturor celorlalte incompatibile cu ele.

Consideram sistemul exhaustiv de evenimente aleatoare echiprobabile si incompatibile. Numim aceste evenimente cazuri sau sanse.

Un caz al acestui sistem se numeste favorabil realizarii evenimentului A daca aparitia acestui caz implica realizarea evenimentului A.

Exemplul 2. O urna contine 8 bile numerotate de la 1 la 8. Bilele 1, 2, 3 sunt rosii , celelalte sunt negre. Extragerea bilei numarul 1 (sau 2 sau 3) este un eveniment favorabil aparitiei unei bile rosii. Deci putem da o definitie conceptului de probabilitate.

Definitia 3: Se numeste probabilitate p a evenimentului A raportul numarului cazurilor favorabile m si numarul total de cazuri n, constituind sistemul exhaustiv de evenimente echiprobabile incompatibile sau simbolic:

P(A) = p = (VII 4)

Definitia 4: Daca toate cele n cazuri formand un sistem exhaustiv de evenimente echiprobabile incompatibile sunt favorabile realizarii unui eveniment oarecare, un astfel de eveniment se numeste sigur. Probabilitatea unui eveniment sigur este p = 1.

Un eveniment la care nici unul din cele n cazuri formand un sistem exhaustiv de evenimente echiprobabile incompatibile nu este favorabil, se numeste eveniment imposibil. Probabilitatea sa este p = 0.

Remarca: Afirmatiile inverse sunt de asemenea adevarate in acest caz. In alte cazuri, de exemplu in cazul unei variabile aleatoare continue, dupa cum vom vedea in cele ce urmeaza, afirmatiile inverse pot fi false, adica daca probabilitatea unui eveniment este egala cu 1 sau 0 nu implica in mod necesar ca aceste evenimente sunt sigure sau imposibile.

Rezulta deci ca probabilitatea verifica relatia

0 p

Exemplul 3: Fie o carte intr-un joc de 36 de carti. Care este probabilitatea ca ea sa fie de pica?

Solutie: Avem aici schema cazurilor echiprobabile. Evenimentul A consta in aparitia unei carti de pica. Numarul total al acestui caz este n = 36. Numarul de cazuri favorabile evenimentului A este m = 9. Avem deci in consecinta:

p = =

Exemplul 4: Se joaca simultan cu 2 monede. Care este probabilitatea ca sa apara simultan aceeasi fata 1 la ambele monede?

Solutie: Formam tabelul:

Deci sunt in total patru cazuri posibile din care un singur caz este favorabil. In consecinta, probabilitatea de a iesi fata 1 pe ambele piese este:

p =

Exemplul 5: Probabilitatea de a lovi un obiectiv este de 8/10 cand tirul este executat cu o prima arma si de 7/10 cand se executa cu a doua arma. Sa se gaseasca probabilitatea de a lovi obiectivul cand tirul se efectueaza simultan cu cele 2 arme.

Solutie: Se poate simula aceasta problema astfel: Doua urne contin fiecare 10 bile numerotate de la 1 la 10. Prima urna contine 8 bile rosii si 2 negre, a doua urna contine 7 bile rosii si 3 negre. Care este probabilitatea ca cel putin 2 bile extrase sa fie rosii?

Cum nu are importanta din ce urna provine bila atunci numarul de cazuri este 100 (n = 100)

Sa calculam numarul de cazuri favorabile. Atunci cand se extrage fiecare din cele 8 bile rosii ale primei urne simultan cu o bila oarecare ale celei de a doua urne, atunci printre bilele iesite va fi cel putin o bila rosie. Numarul de astfel de cazuri este 10*8 = 80.

Atunci cand se extrage fiecare din cele 2 bile negre din prima urna simultan cu cele 7 bile rosii din a doua urna gasim cel putin o bila rosie printre bilele iesite. Numarul de cazuri va fi acum de 2*7 = 14. Deci numarul total de cazuri favorabile este m = 80 + 14 = 94.

Probabilitatea de a exista printre bilele iesite, cel putin o bila rosie este :

p = =

-aceasta este precizia tirului.

Remarca 2: In acest caz noi am redus problema calculului probabilitatii tirului la problema de aparitie a uneia sau alteia din bile, cand se extrage una sau alta dintre bilele unei urne. Se observa deci ca problema extragerii bilelor dintr-o urna poate fi considerata problema generalizata.

Exemplul 6: Un lot de 100 de articole contine 10 piese defectuoase. Care este probabilitatea pentru ca printre 4 piese alese intamplator trei sa fie fara defecte?

Solutie: Exista n = maniere de a alege 4 piese dintr-un lot de 100. Numarul de cazuri pentru care 3 din piesele alese sa fie fara defecte este cazul

cu m = * . Probabilitatea cautata va fi atunci:

p = = =

Suma probabilitatilor. Evenimente aleatoare contrare.

Definitia 1: Se numeste suma sau reuniunea a 2 evenimente A₁ si A₂ evenimentul C, constand in realizarea cel putin a unuia din cele 2 evenimente.

Vom considera probabilitatile a doua evenimente incompatibile A₁ si A₂ . Notam suma acestor evenimente prin A₁ + A₂ unde, avem inca: A₁ sau A₂ ; (in acest caz cuvantul "sau" nu are caracterul de excluziune, aceasta inseamna ca cel putin unul din cele 2 evenimente se va realiza conform definitiei 1.)

Putem enunta astfel urmatoarea teorema de adunare a probabilitatilor. (sau a probabilitatilor totale).

Teorema 1: Presupunem ca in cursul unei probe (fenomen, experienta), pot fi realizate un eveniment aleatoriu A₁ de probabilitate P(A₁) si un eveniment A₂ de probabilitate P(A₂).

Daca evenimentele A₁ si A₂ sunt incompatibile atunci probabilitatea aparitie sumei acestor doua evenimente, sau a unui eveniment constand in realizarea evenimentului A₁ sau a evenimentului A₂ , se calculeaza cu formula:

P(A₁ sau A₂) = P(A₁) + P(A₂) (VII 5)

Demonstratie: Fie P(A₁ sau A₂) = A₁ A₂

P(A₁) = ; P(A₂) =

Evenimentele A₁ si A₂ fiind incompatibile pentru un numar n de cazuri, numarul de cazuri favorabile realizarii simultane a evenimentelor A₁ si A₂ este egal cu 0 si numarul de cazuri favorabile realizarii fie evenimentului A₁ fie evenimentului A₂ este egal cu m₁ + m₂.

In consecinta:

P(A₁ sau A₂) = = + = P(A₁) + P(A₂)

In mod analog se poate demonstra teorema pentru un numar arbitrar de tiruri:

P(A₁ sau A₂ sau . sau A_n ) = P(A₁) + P(A₂) + . + P(A_n) (VII 6)

Aceasta ultima egalitate se scrie:

P( ) = (VII 7)

Exemplul 1: Se efectueaza un tir asupra unui obiectiv format din 3 zone distincte. Probabilitatea de a cadea in zona a - I - a este P(A₁) = , de a cadea in zona a - II - a este P(A₂) = si cea de a cadea in zona a - III - a este P(A₃) = .

Care este probabilitatea de a cadea in domeniul D ?

Dupa formula (6) avem:

P(A₁) + P(A₂)+ P(A₃) I

II III

= + + = .

Definitia 2: Doua evenimente sunt contrarii daca sunt incompatibile si daca constituie un sistem (exhaustiv).

Daca notam cu A unul din aceste evenimente, atunci evenimentul contrar va fi notat cu A.

Presupunem ca probabilitatea de realizare a unui eveniment A este p, atunci putem defini probabilitatea de a nu fi realizat evenimentul A ca fiind probabilitatea de realizare a evenimentului A, prin P(A) = q.

Cum in timpul experientei se va realiza in mod cert fie evenimentul A, fie evenimentul A, vom obtine in virtutea teoremei enuntate:

P(A) + P(A) = 1

Altfel spus suma probabilitatilor evenimentelor contrare este egala cu unitatea.

p + q = 1 (VII 8)

Exemplul 2: Se efectueaza o anumita masura. Notam prin A faptul obtinerii unor erori inferioare sau egale cu l Fie P(A) = p. Evenimentul contrar, adica faptul obtinerii unor erori superioare sau egale cu l, este evenimentul A. Probabilitatea acestui eveniment este:

P(A) = q = 1 - p

Corolarul 1. Daca evenimentele aleatoare A₁ , A₂ , . , A_n constituie un sistem exhaustiv de evenimente incompatibile, atunci exista egalitatea:

P(A₁) + P(A₂) + . + P(A_n) = 1 (VII 9)

Demonstratie: Cum evenimentele A₁ , A₂ , . , A_n constituie un sistem exhaustiv de evenimente, realizarea unuia sau altuia din aceste evenimente este un eveniment cert.

In consecinta:

P(A₁ sau A₂ sau .. sau A_n) = 1

Tinand seama de (VII 6) obtinem egalitatea (VII 9)

Definitie 3: Evenimentele aleatoare A si B se numesc compatibile daca in cursul unei masuratori date (probe date) cele 2 evenimente pot avea loc simultan, altfel spus daca evenimentul A si B pot fi realizate simultan.

Vom nota prin (A si B) sau (AB) evenimentul constand in realizarea simultana a evenimentelor A si B. Vom nota prin P(A si B) probabilitatea realizarii simultane a evenimentelor A si B.

Teorema 2: Probabilitatea a doua evenimente compatibile este determinata de formula:

P(A sau B) = P(A) + P(B) - P(A si B) (VII 10)

Vom da o ilustrare geometrica a formulei (10). Vom introduce mai intai urmatoarea definitie:

Definitie 4: Fie dat un domeniu D a carui arie este egala cu S. Consideram domeniul d apartinand lui D si a carui arie este .

Daca faptul ca un punct sa se gaseasca in D este un eveniment cert, probabilitatea ca punctul sa se gaseasca in domeniul d va fi, prin definitie, egala cu , altfel spus p = . Aceasta probabilitate se numeste probabilitate geometrica.

Vom avea atunci, estimand pentru un punct, ca faptul de a se gasi in patratul din figura este un eveniment cert.

b c

a e f A B

g ( D)

Rezulta deci egalitatea:

aria "abcga" = aria "abfga" + aria "bcgeb" - aria "gebfd" (VII 11)

Putem calcula, in mod analog, probabilitatea sumei unui numar oarecare de evenimente aleatoare compatibile.

4. Produsul probabilitatilor evenimentelor independente

Definitia 1: Se spune ca evenimentul A este independent de evenimentul B, daca probabilitatea de realizare a evenimentului B nu depinde de faptul ca evenimentul A este produs sau nu.

Teorema: Daca evenimentele aleatoare A si B sunt independente, probabilitatea de realizare simultana a evenimentelor A si B este egala cu produsul probabilitatilor de realizare a evenimentelor A si B.

P(A si B) = P(A) · P(B) (VII 12)

Aceasta teorema se mai numeste si teorema de intersectie a evenimentelor. Si se noteaza:

P(A B) = P(A) · P(B) (VII 12' )

Avem deci: A (B C) = (A B) (A C) si

P[A (B C)] = P(A B) + P(A C).

Pana aici nu a fost definita operatia 'U'

Demonstratie: Vom utiliza pentru demonstratia acestei teoreme, schema urnelor. Fiecare urna contine respectiv n₁ si n₂ bile. In prima urna sunt m₁ bile rosii si restul negre, iar in a doua urna sunt m₂ bile rosii si restul negre.

Se extrage o bila din fiecare urna. Care este probabilitatea ca cele doua bile extrase sa fie rosii?

Notam cu A evenimentul extragerii unei bile rosii din prima urna si cu B evenimentul extragerii unei bile rosii din a doua urna. Avem:

P(A) = ; P(B) =

Probabilitatea de a extrage o bila din fiecare urna este de n₁ n₂ ori. Numarul cazurilor favorabile de extragere a doua bile rosii este m₁ m₂ . Probabilitatea de realizare simultana a evenimentelor A si B este:

P(A si B) = = = P(A) P(B) (VII 13)

ceea ce trebuia demonstrat.

m₁

n₂

m₂

Figura de mai sus incearca sa ofere o ilustrare a acestei demonstratii.

Pentru cazul a n evenimente A₁ , A₂ . . . A_n se poate demonstra in mod analog egalitatea :

P(A₁ si A₂ si . . si A_n) = P(A₁) · P(A₂) ·············P(A_n) (VII 14)

Exemplul 1: Functionarea corecta a unui aparat depinde de corectitudinea functionarii fiecaruia din cele 3 elemente componente. Probabilitatea de functionare corecta a celor 3 elemente in timpul unui ciclu sa fie p₁ = 0,6; p₂ = 0,7 ; p₃ = 0,9. Sa se gaseasca probabilitatea de functionare corecta aparatului in cursul unui ciclu de masuratori dat.

Solutie: Dupa teorema produsului (intersectiei) avem:

p = p₁ p₂ p₃ = 0,6

Remarca: teorema 2 asupra sumei probabilitatilor evenimentelor compatibile se scrie:

P(A sau B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)

Aceasta mai este si teorema de reuniune a evenimentelor.

Exemplul 2: Probabilitatea de realizare a unui eveniment in cursul unei probe este egala cu p. Sa se determine numarul de probe necesare pentru ca probabilitatea de realizare a evenimentului sa fie mai mare sau egala cu Q.

Solutie: Vom putea scrie dupa teorema sumei si produsului probabilitatilor

Q 1 - (1 - p)ⁿ

Rezolvand aceasta inegalitate in raport cu n, vom obtine:

n

5. Evenimente dependente. Probabilitate conditionata. Probabilitate totala.

Definitia 1: Se spune ca evenimentul A depinde de evenimentul B daca probabilitatea realizarii evenimentului A depinde de faptul daca evenimentul B este sau nu realizat. Sau ca B implica pe A se mai scrie:

AB sau BA

iar probabilitatea se noteaza cu P(A/B) si se mai numeste probabilitate conditionata a evenimentului A stiind ca B este realizat.

Exemplul 1: O urna contine 3 bile albe si 2 bile negre. Se extrage o prima bila din urna (prima extragere) apoi a doua (a doua extragere). Notam cu B evenimentul ce actualizeaza aparitia unei bile albe la prima extragere si A evenimentul care conduce la aparitia unei bile albe la a doua extragere.

Solutie: La extragerea unei bile albe raman 2 bile albe si 2 negre, deci probabilitatea sa se realizeze evenimentul A, evenimentul B realizandu-se , este :

P(A/B) = =

Probabilitatea realizarii lui A cand B nu este realizat este:

P(A /) =

Se vede ca: P(A/B) P(A /)

Teorema 1: Probabilitatea de realizare simultana a doua evenimente este egala cu produsul probabilitatii a unuia dintre ele prin probabilitatea conditionata a celui de-al doilea, calculata cu conditia ca primul eveniment sa fie realizat, altfel spus:

P(A si B) = P(B) * P(A / B) (VII 15)

Demonstratie: Vom da o demonstratie pentru evenimente care se reduc la schema urnelor (adica la care se poate aplica definitia clasica a probabilitatii).

Presupunem ca urna contine n bile, din care n₁ sunt albe iar n₂ sunt negre. Presupunem insa ca printre cele n₁ bile albe un numar de ­ bile sunt notate cu asterisc si ca celelalte sunt albe simple: (Vezi figura.)

n

n₁

Extragem o bila din urna, care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie o bila alba marcata cu asterisc? Fie B evenimentul extragerii unei bile albe si A evenimentul extragerii unei bile albe marcate. Rezulta ca:

P(B) =

iar probabilitatea aparitiei unei bile albe marcate este conditionata de extragerea unei bile albe, deci:

P(A / B) =

Probabilitatea extragerii unei bile albe cu asterisc este P(A si B). Rezulta:

P(A si B) =

Dar

= *

sau

P(A si B) = P(B) * P(A/B) (VII 16)

si teorema este demonstrata.

Daca evenimentul considerat nu este in cadrul schemei clasice, atunci formula 1 defineste probabilitatea conditionata a evenimentului A daca evenimentul B este realizat. Aceasta este definita deci de formula:

P(A/B) = (Daca P(B) (VII 17)

Remarca 1: Aplicam aceasta a doua formula la expresia P(A si B) Avem:

P(B si A) = P(A) * P(B / A) (VII 18)

In egalitatile 16 si 18 primii termeni sunt egali. Astfel:

P(A si B) = P(B) * P(A/B) = P(A) * P(B / A) (VII 19)

Exemplul 2: Pentru cazul exemplului 1 dat la inceputul acestui paragraf avem:
P(B) = P(A/B) =

Vom obtine cu formula (1) :

P(A si B)=   =

Probabilitatea P(A si B) poate de asemenea sa se obtina usor printr-un calcul direct.

Exemplul 3: Probabilitatea de fabricatie a unei piese de calitate conform normelor este pentru o marime de 0,9. Probabilitatea de realizare a unei piese de calitate superioare normei pentru cele care o satisfac este de 0,8. Sa se calculeze probabilitatea de realizare a unei piese de calitate superioara cu ajutorul unei masini date.

Solutie: Fie B evenimentul fabricarii unei piese normale de masina si A evenimentul realizarii unei piese de calitate superioara.

Aici P(B) = 0,9 ; P(A/B) = 0,8. Inlocuind aceste valori in (VII 16) obtinem:

P(A si B) = 0,9 * 0,8 = 0,72

Teorema 2: Daca evenimentul A nu poate fi realizat decat daca unul din evenimentele B₁ B₂ . . B_n formand un sistem exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile este realizabila, atunci probabilitatea evenimentului A este data de formula:

P(A) = P(B₁) * P(A/B₁)+ P(B₂) * P(A/B₂)+.+ P(B_n) * P(A/B_n) (VII 20)

Demonstratie: Evenimentul A poate avea loc daca unul din toate evenimentele compatibile urmatoare este realizat.

( B₁ si A); ( B₂ si A) , ....., ( B_n si A).

Vom obtine deci in virtutea teoremei de adunare a probabilitatilor:

P(A) = P( B₁ si A) + P( B₂ si A) + ...+ P( B_n si A); (VII 21)

Inlocuind termenii din membrul drept al lui (VII 21) prin (VII 16) obtinem (VII 20

Exemplul 4: Trei focuri de arma sunt trase asupra unei tinte. Probabilitatea de a atinge tinta este egala respectiv cu:

p₁ = 0,3

p₂ = 0,6

p₃ = 0,8.

Probabilitatea de distrugere a tintei este l = 0,2 cand tinta este lovita odata, l = 0,7 cand e lovita de doua ori, si l = 1,0 cand ea este lovita de trei ori. Sa se determine probabilitatea de distrugere a tintei dupa executarea celor trei focuri. (evenimentul A).

Solutie: Consideram sistemul exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile.

B₁ = o lovitura in plin (o atingere)

B₂ = 2 lovituri in plin

B₃ = 3 lovituri in plin

B₄ = nici o lovitura

Determinam probabilitatea fiecarui eveniment. Tinta va fi lovita o data daca este atinsa de primul foc si nu este lovita de cel de-al doilea foc si de cel de al treilea, apoi daca este lovita numai de al doilea si de primul si de al treilea nu este lovita, si daca este lovita numai de al treilea iar nu de primele doua.

Atunci conform teoremei produsului si sumei probabilitatilor, avem:

P(B₁) = p₁(1- p₂) (1- p₃) + (1- p₁) p₂ (1- p₃) + (1- p₁) (1- p₂) p₃ = 0,332

Prin acelasi rationament, obtinem:

P(B₂) = p₁p₂(1- p₃) + p₁(1- p₂) p₃ + (1- p₁) p₂ p₃ = 0,468

P(B₃) = p₁p₂ p₃ = 0,144

P(B4) = (1- p₁) (1- p₂) (1- p₃) = 0,056

Scriem probabilitatile conditionate de distrugere a tintei, in cazul realizarii fiecaruia din aceste evenimente:

P(A/B₁) = 0,4; P(A/B₂) = 0,7; P(A/B₃) = 1,00; P(A/B₄) = 0.

Inlocuind expresiile obtinute in (VII 21), vom obtine probabilitatea de distrugere a tintei:

P(A) = P(B₁)P(A/B₁) + P(B₂)P(A/B₂) + P(B₃)P(A/B₃) + P(B₄)P(A/B₄) =

Remarca 2: Daca evenimentul A nu depinde de evenimentul B, avem:

P(A/B) = P(A)

si formula (16) are forma:

P(A si B) = P(B)P(A)

Adica formula (VII 13).