Extremele functiilor multivariabile

Extremele functiilor multivariabile

Minimul local si minimul global pentru o functie multivariabila reala

Problema care se formuleaza este de determinare a minimului pentru o functie reala f care depinde de mai multe variabile.

Utilizand rationamentul din subparagraful 3.2.1, aplicat unui vector de n componente, x de n componente x₁, x₂,., x_n se pot deduce conditiile de minim local, respectiv global.

Un vector x^*=[x^*₁ x^*₂ . x^*_n]^T, din A_n se numeste minim local al functiei f daca exista un e>0, suficient de mic, astfel incat pentru oricare vector x aflat intr-o vecinatate a lui x^*, adica:

(3.28)

f(x^*) nu depaseste valoarea lui f(x):

(3.29)

Un vector x^* din A_n se numeste minim global (absolut) al functiei f daca

(3.30)

pentru toti x din A_n

Minimul local si minimul global pentru o functie multivariabila definita pe o submultime din A_n

Fie domeniul D o submultime deschisa si marginita din A_n. Se noteaza granita domeniului D prin , domeniul inchis si se considera o submultime a lui A_n astfel incat . Un punct x^* din se considera minimul functiei f din , f(x)=f(x₁, x₂,, x_n) continua pe , daca exista un e>0, suficient de mic, astfel incat pentru oricare vector x aflat intr-o vecinatate a lui x^*, adica x apartine sferei S cu centrul in x^* si de raza e

(3.31)

are loc inegalitatea:

(3.32)

Se presupune ca derivatele partiale in raport cu fiecare componenta a vectorului x sunt continue pe D.

Conditia necesara de minim local a unei functii f in punctul x^* din D este consta in anularea tuturor derivatelor partiale ale functiei f in punctul x^*:

(3.33)

Practic, relatia (3.33) reprezinta conditia de anulare a gradientului functiei f in punctul x^*.

Conditia suficienta: Daca gradientul functiei f este vectorul nul si daca matricea simetrica Q, de dimensiune n n, este pozitiv definita:

(3.34)

atunci x^* este minimul functiei f.

Observatie - Fie Q o matrice simetrica de dimensiune 3 3:

(3.35)

Matricea Q este pozitiv definita daca si numai daca:

(3.36)

Exemplul 1 

Fie o functie definita pe A₂

(3.37)

Sa se determine minimul functiei f(x,y).

Rezolvare 

(3.38)

Din conditia de necesitate (3.33), aplicata functiei f(x,y), rezulta x=0, y=0. Deci, minimul functiei f(x,y) este (0,0).

Din conditia de suficienta (3.34), aplicata functiei f(x,y), rezulta matricea Q de forma:

,(3.39)

a carui determinant este 276 fiind mai mare decat zero.

In concluzie, originea este minimul functiei date.

Concluzii 

Daca f este o functie definita pe A₃, atunci matrice Q este de forma:

Din conditiile de necesitate si suficienta, reiese ca punctul x^* este minimul functiei f daca:

(3.40)

Se observa ca evaluarea minimului a fost realizata prin apelarea la metoda micilor perturbatii in punctul x pentru functia f, demonstrata prin utilizarea derivatelor partiale ale functiei f.

Minimul unei functii cu legaturi

Se urmareste determinarea minimului unei functii supusa la anumite legaturi.

I. Formularea problemei:

Se considera o functie reala f=f(x,y) definita pe A₂, in care variabila y este definita printr-o functie reala h ce depinde de variabila x:

(3.41)

Plecand de la definitia unei curbe se poate defini multimea , adica S(g) este multimea punctelor (x,y) din A₂ pentru care functia g se anuleaza. Daca S(g) este o multime a punctelor x din A₂, atunci S(g) se va numi hipersuprafata din A_n determinata de g.

Astfel, se defineste curba:

(3.42)

Problema consta in determinarea minimului local (x^*,y^*) al functiei f de-a lungul curbei (3.41).

II. Determinarea conditiilor necesare de minim

Tinand cont de cele prezentate anterior, problema consta in determinarea punctelor (x^*,y^*) de pe curba (adica y^*=h(x^*)), astfel incat pentru un punct (x,y) de pe curba, suficient de apropiat de (x^*,y^*) are loc inegalitatea:

. (3.43)

Inlocuind

(3.44)

in (3.43), se obtine:

. (3.45)

Punctul (x^*,y^*) se va numi minimul local al functiei f(x,y) cu legatura y-h(x)=0.

Gradientului functiei f in punctul de minim (x^*,y^*):

. (3.59)

Conditia de necesitate ca punctul (x^*,y^*) sa fie minimul functiei f cu legatura y-h(x)=0 reprezinta chiar conditia de anulare a gradientului functiei f in punctul de minim (x^*,y^*):

(3.60)

adica:

. (3.61)

Concluzie:

S-a plecat de la ipoteza ca (x^*,y^*) este un punct de minim pentru functia f si s-a ajuns la conditia de necesitate (3.60).

III. Determinarea punctului de minim

Metoda multiplicatorilor Lagrange de determinare a minimului unei functii cu legaturi

Se ajunge la metoda multiplicatorilor Lagrange privind ecuatia din alt punct de vedere.

Considerand functia

, (3.61)

legatura poate fi scrisa sub forma:

(3.62)

Pe baza relatiei (3.61) rezulta:

(3.63)

Concluzie:

Derivata functiei g in raport cu y nu se anuleaza pe curba definita drept legatura.

Fie o functie diferentiabila

(3.64)

atunci exista derivate partiale in fiecare punct (x,y) din A₂

(3.65)

Jacobianul functiei G in punctul (x,y) este

(3.66)

Stim ca , din (3.66) rezulta:

(3.67)

Astfel, ecuatia poate fi interpretata ca anularea Jacobianului functiei G in punctul (x^*,y^*):

(3.68)

Plecand de la relatia (3.68) se introduce sistemul:

(3.69)

unde p se numeste multiplicator Lagrange.

Avand in vedere , ecuatia a doua din (3.69) capata forma

, (3.70)

care permite determinarea multiplicatorului Lagrange in punctul de minim, p^*, sub forma

. (3.71)

Inlocuind (3.71) in prima ecuatie a sistemului (3.69) rezulta:

. (3.72)

Dar, din

, (3.73)

relatia (3.72) devenind

(3.74)

Relatia (3.74) este identica cu reprezentand conditia de necesitate pentru minim.

Se introduce functia:

, (3.75)

unde p este multiplicatorul Lagrange.

Pentru ca p in punctul (x^*,y^*) sa fie un punct de minim pentru functia G(x,y) trebuie ca derivatele partiale ale functiei G in raport cu (x,y) sa se anuleze in punctul (x^*,y^*):

(3.76)

Concluzie:

Pentru ca punctul (x^*,y^*) sa fie un punct de minim pentru functia f cu legatura , este necesara existenta unui numar p^* astfel incat sa fie satisfacute urmatoarele ecuatii:

(3.77)

Exemplul 2:

Se da functia f definita pe A₂ de forma:

, (3.78)

cu legatura

.(3.79)

Problema consta in determinarea minimului local (x^*,y^*) al functiei f de-a lungul curbei (3.79).

Rezolvare

Se formeaza functia:

. (3.80)

Pe baza conditiilor (3.77) se formeaza urmatorul sistem:

. (3.81)

Din prima ecuatie a sistemului (3.81) rezulta multiplicatorul Lagrange:

(3.82)

Inlocuind multiplicatorul p in ecuatia a doua din sistemul (3.81), rezulta:

(3.83)

utilizand identitatea (3.83) in ecuatia curbei (3.79) se obtin solutiile:

,(3.84a)

. (3.84b)

Solutiile (3.84ab) obtinute, inlocuite in (3.82) duc la urmatoarele valori ale multiplicatorului Lagrange

(3.85)

Calculul functiei in cele doua puncte conduce la aceeasi valoare a functiei in cele doua puncte de minim local determinate

, (3.86)

rezultand ca punctele de minim absolut sunt perechile

(3.87)

. (3.88)

Minimul unei functii multivariabile cu legaturi. Conditia de necesitate si metoda multiplicatorilor Lagrange

Se urmaresc urmatoarele:

1) formularea problemei de minim pentru functii multivariabile cu legaturi,

2) determinarea conditiilor necesare de minim,

3) rezolvarea problemei, adica determinarea punctului de minim.

Formularea problemei

Ipoteze: se da un domeniu D din A_n, o functie f definita pe A_n cu valori in A, f (x)=f(x₁,x₂,,x_n) continua pe domeniul inchis a lui D si functiile continue pe , liniar independente g₁(x)=g₁(x₁,x₂,,x_n), g₂(x)=g₂(x₁,x₂,,x_n),, g_m(x)=g_m(x₁,x₂,,x_n), cu .

Se pune problema determinarii unui punct de minim x^*(x^*₁, x^*₂,, x^*_n) din domeniul , al functiei f cu legaturile

g₁(x)=0, g₂(x)=0,, g_m(x)=0(3.89)

Conditiile necesare de minim

Un punct x^*(x^*₁, x^*₂,, x^*_n) din domeniul este un punct de minim local al functiei f cu legaturile (3.89), daca pentru un numar e>0 suficient de mic exista un punct x din situat in vecinatatea lui x^*:

,(3.90)

astfel incat

, (3.91)

si

(3.92)

In vederea determinarii punctului de minim se utilizeaza metoda multiplicatorilor Lagrange, prin care problema determinarii minimului x al functiei f cu legaturile (3.89) se inlocuieste cu problema determinarii minimului (x^*,p^*) al functiei:

(3.93)

in care p=(p₁,p₂,,p_m).

Conditiile necesare pentru determinarea minimului (x^*,p^*) sunt:

, (3.94)

sau sub forma desfasurata:

(3.95)

Rezolvarea problemei de minim

Se obtine astfel un sistem de ordinul n+m, cu n+m necunoscute x^*(x^*₁, x^*₂,, x^*_n) si p^*(p^*₁, p^*₂,, p^*_m), perechea (x^*,p^*) constituind punctul de minim local al functiei G(x,p) .

In vederea determinarii minimului absolut, se determina mai intai toate punctele de minim local. Acestea se mai pot afla pe frontiera domeniului de definitie si in punctele pentru care derivatele partiale ale functiilor f si g₁, g₂,, g_n nu exista.