Semigrupuri si monoizi

SEMIGRUPURI SI MONOIZI

I. INTRODUCERE, DEFINITIE, EXEMPLE

Prin STRUCTURA ALGEBRICA se intelege o multime nevida inzestrata cu una sau mai multe operatii ce satisfac anumite axiome.

Def.: Se numeste SEMIGRUP un cuplu unde S este o multime nevida, iar ' * ' este o operatie algebrica pe S ce satisface o singura axioma si anume:

S1) operatia ' * ' este asociativa

Daca, in plus, este satisfacuta si axioma:

S2) operatia ' * ' este comutativa,

atunci cuplul (S,_*) se numeste SEMIGRUP COMUTATIV.

Exemple

semigrupuri comutative: (N^*,+) , (N^*,

semigrup necomutativ, daca multimea A contine cel putin 2 elemente:  

Def.: Se numeste MONOID un cuplu unde M este o multime nevida, iar ' * ' este o operatie algebrica pe M ce satisface doua axiome si anume:

M1) operatia ' * ' este asociativa.

M2) operatia ' * ' are element neutru.

Daca, in plus, este satisfacuta si axioma:

M3) operatia ' * ' este comutativa,

atunci cuplulse numeste MONOID COMUTATIV.

Exemple:

1) monoizi comutativi:

2) monoizi necomutativi: , cand A are cel putin 2 el.

Obs.: Orice monoid este in particular un semigrup. Reciproc nu este adevarat.

Def.: Fieun monoid. Un element care este simetrizabil fata de operatia ' * ' se numeste ELEMENT SIMETRIZABIL al monoidului M.

Notam U(

Exemple: 1. in monoidul

2. in monoidul

3. in monoidul

4. in monoidul

II. PUTERILE NATURALE (respectiv intregi) ALE UNUI ELEMENT (respectiv ale unui elem. inversabil) INTR-UN MONOID

PROPOZITIE: Fie un monoid si

Atunci : si

Daca, in plus (x este inversabil), egalitatile precedente au loc pentru orice

Aceasta propozitie se transcrie aditiv astfel:

Fie un monoid si : si

Daca, in plus, , egalitatile precedente au loc pentru orice

Elementul ' nx '   se numeste al n-lea multiplu al elementului x.

III. SUBSEMIGRUPURI, SUBMONOIZI

Def.: Fie un semigrup. O submultime nevida H a lui S, care este parte stabila fata de operatia ' * ' se numeste SUBSEMIGRUP al semigrupului S. Aceasta inseamna ca este tot un semigrup.

Exemplu: Pentru semigrupul fiecare din submultimile este un subsemigrup.

Def.: Fie un monoid. O submultime nevida H a lui M, cu proprietatea ca este parte stabila fata de operatia ' * ' iar este un monoid, se numeste SUBMONOID al monoidului M.

Daca, in plus, elementul neutru al monoidului H coincide cu elementul neutru e al monoidului M, atunci H se numeste SUBMONOID UNITAR al monoidului M.

Exemplu: in monoidul submultimea N este un monoid unitar.

IV. MORFISME SI IZOMORFISME DE SEMIGRUPURI SI DE MONOIZI

Def.:

1) Fie si doua semigrupuri. O aplicatie cu proprietatea ca se numeste MORFISM DE SEMIGRUPURI.

2) Fie si doi monoizi. O aplicatie care este morfism de semigrupuri se numeste MORFISM DE MONOIZI. Daca, in plus, satisface proprietatea unde sunt elemente neutre din M, respectiv M', spunem ca este un MORFISM UNITAR DE MONOIZI.

3) Un morfism de la un semigrup (monoid) la el insusi se numeste ENDOMORFISM al acelui semigrup (monoid).

Exemplu: Functia este un morfism unitar de monoizi.

Def.:

1) Un morfism de semigrupuri, respectiv de monoizi, care este inversabil (functie inversabila, cu inversa de asemenea morfism de semigrupuri, respectiv de monoizi) se numeste IZOMORFISM DE SEMIGRUPURI , respectiv IZOMORFISM DE MONOIZI.

2) Un izomorfism de la un semigrup (respectiv monoid) la el insusi se numeste AUTOMORFISM al acelui semigrup (respectiv monoid).

3) Daca intre doua semigrupuri (monoizi) se poate defini un izomorfism, spunem ca semigrupurile (monoizii) sunt IZOMORFE (izomorfi).

Scriem , respectiv

Exemple:

1) Functia este un izomorfism de semigrupuri.

2) este un izomorfism de monoizi.

PROPOZITIE: Orice izomorfism de monoizi este morfism unitar.

PROPOZITIE: Un morfism de semigrupuri (respectiv de monoizi) este izomorfism de semigrupuri (respectiv de monoizi) daca si numai daca este bijectiv.