Baza unui spatiu finit dimensional. Coordonate

Baza unui spatiu finit dimensional. Coordonate

a) Baza si dimensiunea spatiului vectorial . Fie si multimea

DEFINITIA 1.1.7 B se numeste baza a lui daca indeplineste conditiile :

( este liniar independenta );

L(B) =V ( B este un sistem de generatori pentru V ) .

DEFINITIA 1.1.8 Spatiul vectorial se numeste finit dimensional daca are o baza formata dintr-un numar finit de elemente sau daca spatiul vectorial se reduce la un singur vector In caz contrar se numeste spatiu vectorial infinit dimensional .

TEOREMA 1.1.12 ( teorema inlocuirii a lui Steinitz ) Daca este baza a unui spatiu finit dimensional L si este o multime de vectori din L liniar independenta , atunci

;

reindexand eventual vectorii din B , multimea de vectori este baza pentru L .

Demonstratie. Teorema se demonstreaza prin inductie dupa p .

Pentru avem evident Deoarece iar B este baza a acestuia, avem , cu K ,. Din si rezulta deci cel putin un coeficient , . Fie de exemplu Atunci K si din expresia lui rezulta

deci multimea genereaza spatiul L. Aratam ca aceasta multime este liniar independenta . Pentru aceasta consideram relatia de dependenta liniara

,

in care cu si obtinem

.

Dar fiind baza in L , rezulta si deci

Cum rezulta pe rand , deci formeaza un sistem liniar independent. Prin urmare multimea este o baza a
spatiului L.

Presupunem teorema adevarata pentru si o demonstram pentru p. Mai exact, presupunem ca multimea liniar independenta are proprietatile:

,

multimea este o baza pentru spatiul vectorial L.

Din proprietatea 1') rezulta caci , daca , am avea si, deci, s-ar exprima ca o combinatie liniara de vectorii care este in contradictie cu ipoteza ca este liniar independenta. Deci , adica In baza vectorul are expresia

,

unde cel putin un coeficient , cu , caci altfel S ar fi dependenta liniar. Facand eventual o renumerotare a vectorilor putem presupune ca si astfel rolul lui din prima parte a demonstratiei il ia acum Facand un rationament analog cu cel din cazul , rezulta ca multimea este o baza a spatiului L. □

Consecinta 1.1.2 Daca este o baza a spatiului L atunci orice baza a lui L are tot n elemente.

Demonstratie. Fie o alta baza a spatiului L . Din si B baza, rezulta . Din si baza, rezulta Cele doua inegalitati au sens daca si numai daca . □

DEFINITIA 1.1.9 Se numeste dimensiune a unui spatiu vectorial finit dimensional numarul natural cu B baza a spatiului vectorial.

Prin definitie

Pentru un spatiu n dimensional , putem completa Definitia 1.1.7 astfel

DEFINITIA 1.1.7' Fie si Multimea B se numeste baza a spatiului vectorial daca sunt indeplinite conditiile:

;

multimea B este ordonata;

Exemple de baza. 1. In spatiul vectorial aritmetic Kⁿ o baza este de forma cu si .

Baza B se numeste canonica daca

, adica explicit

Se arata usor ca acesti vectori formeaza o baza. Intr-adevar,

adica multimea B este liniar independenta si pentru orice avem

deci B genereaza spatiul Kⁿ.

2. In spatiul vectorial , o baza este de forma

Intr-adevar, o relatie de forma are loc daca si numai daca adica si orice polinom se poate scrie sub forma adica B este un sistem de generatori pentru P.

b) Coordonate. In spatiile vectoriale finit dimensionale se pot introduce si folosi coordonatele unui vector.

TEOREMA 1.1.13 Orice vector intr-o baza data admite o exprimare unica de forma

Demonstratie. Folosind metoda reducerii la absurd, presupunem ca

si cu
contradictie cu presupunerea facuta.

DEFINITIA 1.1.10 Relatia (1.1.1) se numeste relatia de descompunere a vectorului x in baza B , iar scalarii se numesc coordonatele vectorului x in baza B .

Notatie. Coordonatele vectorului x in baza B se noteaza astfel:

sau

Matriceal relatia (1.1.1) se scrie sub forma:

(1.1.1')

DEFINITIA 1.1.11 Bijectia definita prin care asociaza fiecarui vector elementul format din coordonatele lui x in baza B , se numeste sistem de coordonate pe

c) Schimbari de baze. Fie doua baze in de forma si Vectorii bazei B' se pot exprima in baza B, folosind relatia (1.1.1') (), adica in mod explicit

sau

care matriceal se scriu

(1.1.2)

DEFINITIA 1.1.12 Matricea data de relatia (1.1.2) se numeste matricea de trecere de la baza B la baza B', iar coloanele ei reprezinta coordonatele vectorilor bazei noi B' in baza veche B.

d) Schimbari de coordonate. Deoarece un vector poate fi scris in baze diferite, ne intereseaza trecerea de la coordonatele vectorului intr-o baza, la coordonatele aceluiasi vector intr-o alta baza. Fie, deci:

(1.1.3)

(1.1.4)

si cum

rezulta ca relatia (1.1.4) devine

care impreuna cu (1.1.3), folosind tranzitivitatea relatiei de egalitate, da

si T