Functii armonice

Functii armonice

Exercitiul 1. Fie un interval al axei reale si multimea care reprezinta frontiera lui ; avem (adica, ). Fie , un camp scalar. Presupunem ca . Se cere:

(i). Sa se arate ca multimea functiilor armonice in este nevida (adica, in cazul unidimensional, functiile armonice verifica ecuatia lui Laplace, ).

(ii). Aratati ca , unde sunt constante arbitrare, reprezinta solutia generala a ecuatiei lui Laplace. (Observam ca, in cazul unidimensional, clasa functiilor armonice este "saraca", aceasta se reduce la functiile lineare.

(iii). Aratati ca daca solutia atunci valorile lui , in orice punct , sunt unic determinate daca se cunosc valorile lui pe frontiera domeniului , adica de numerele si . Scrieti expresia solutiei astfel determinate.

(iv). Presupunem ca solutia generala este de clasa pe . Aratati ca daca se cunosc valorile derivatelor lui dupa directia normalei exterioare calculate pe frontiera lui atunci solutia este determina in orice punct , eventual, abstractie facand de o constanta reala.

(derivata functiei dupa directia normalei exterioare pe frontiera lui este definita de una din expresiile:v sau ).

(v). Sa se arate ca daca functia , este armonica in domeniul si , atunci valorile maxime si minime (extremele absolute) ale lui sunt atinse in capetele intervalului de definitie (adica, pe frontiera domeniului de definitie). Deci, pentru orice , avem

.

(vi). Fie un punct oarecare, dar fixat si o vecinatate centrata in si evident, continuta in intervalul . Aratati ca valoarea solutiei in punctul este egala cu media valoarilor sale pe frontiera . Calculati valoarea medie a functiei armonice pe intervalul .

De aici, deducem urmatoarele

Consecinta 1. Valoarea medie a unei functii armonice este aceeasi pe orice doua intervale centrate in acelasi punct (continute in ).

Consecinta 2. O functie armonica definita in interiorul unei sfere , centrate in , de raza , care este egala cu o constanta in toate punctele frontierei , se reduce la o constanta in orice punct din interiorul sferei .

(Expresia, , defineste valoarea medie a functiei (integrabile) pe intervalul ).

Exercitiul 2. Fie un domeniu bidimensional. Campul scalar este armonic in functia verifica, in domeniul D, ecuatia lui Laplace

, . (1)

(i). Aratati ca multimea functiilor armonice definite pe este nevida (!).

(ii). Sa se arate ca functia este armonica in .

Exercitiul 3. Fie domeniul bidimensional si campul scalar . Atunci, definim operatorul lui Laplace,

. (2)

(a). Fie transformarea de coordonate polare: , . Aratati ca:

(i). operatorul lui Laplace (in coordonate polare) are forma

. (3)

(ii). functia compusa verifica relatia

sau, sub forma . (4)

(b). Fie transformarea de coordonate cilindrice:

, .

Aratati ca:

(i). Operatorul lui Laplace (in coordonate cilindrice) are forma

. (5)

(ii). Functia compusa verifica relatia

sau . (6)

(iii). Daca functia depinde numai de distanta , de la axa de simetrie a cilindrului pana la un punct oarecare al cilindrului, adica , unde (adica, functia nu depinde de variabilele independente si ), atunci spunem ca functia este cu simetrie cilindrica si expresia (6), a laplacianului, devine

. (7)

(iv). Presupunem ca functia este cu simetrie cilindrica . Se cere sa se determine solutia generala a ecutiei .

Indicatie. Din (7) rezulta ca functia compusa verifica ecuatia , care, prin integrarea in raport cu , conduce la ecuatia diferentiala . Apoi, integrand, inca odata, obtinem solutia , care depinde de doua constante arbitrare .

(c). Fie transformarea de coordonate sferice:

, .

Sa se arate ca:

(i). Operatorul lui Laplace are forma

. (8)

(ii). Functia compusa , presupusa de clasa verifica relatia

. (9)

(iii). Daca functia depinde numai de distanta , de la origine pana la un punct oarecare din spatiu, adica , unde , atunci spunem ca functia este cu simetrie sferica si expresia (9), a laplacianului lui , devine

. (10)

Fie , un domeniu, si (distanta de la origine pana la un punct oarecare din spatiu).

(i). Daca este o functie cu simetrie sferica si functia compusa , atunci

,

si expresia laplacianului are forma:

, in .

(ii). Daca atunci functia este armonica in domeniul .

Corespunzator, functia verifica ecuatia lui Laplace in domeniul spatial .

Se considera campul scalar al distantelor de la origine la punctul din spatiu, definit prin

, , unde .

Fie vectorul de pozitie al punctului si vectorii , , fixati. Notam cu , produsul scalar al vectorilor si si prin , produsul vectorial al acestor vectori.

Aratati ca au loc relatiile:

(1). ;

(2). ;

(3). ;

(4).

(5). si .

(6). si .