Tetraedre Crelle

Tetraedre Crelle

Definitie : Tetraedrul Crelle este tetraedrul pentru care exista o sfera tangenta la muchiile sale.

Din definitie deducem ca pe aceasta sfera exista patru cercuri inscrise in fiecare fata a tetraedrului (intersectiile planelor cu sfera inscrisa tangenta la muchiile tetraedrului) si sunt tangente doua cate doua.

Teorema 46:( a lui Crelle)

Fiind dat un tetraedru [ABCD] exista o sfera tangenta celor sase muchii ale tetraedrului daca si numai daca au loc conditiile AB + CD = AC + BD = AD + BC.

Demonstratie :

Implicatia " exista sfera, atunci are loc relatia" este evidenta datorita proprietatii de congruenta a tangentelor dintr-un punct exterior.

(AC s(AA s(AB )=a

BC s(BB s(BA =b

(CA s(CC s(CB ) =c

(DB s(DA s(DC )=d Atunci:

AB+CD=AC +BC +CC +C D = a+b+c+d

AC+BD=AB +CB +BB +DB = a+b+c+d T

AD+BC=AA +A D+BA +A C= a+b+c+d

T AB + CD = AC + AD = AD + BC.

Reciproc , presupunem ca este indeplinita conditia AB + CD = AC + AD = AD + BC T

AB - BC = AD - CD si AC - CD =AB - BD . Se obtine astfel:

AC + AB - BC = AD + AC - CD = AD + AB - BD , deci:

si

Prima relatie arata ca cercul inscris in triunghiul [ABC] are punctul de contact cu [AB] coincident cu punctul de contact cu [AB] al cercului inscris in DABD. Deci exista o sfera ce contine doua cercuri (inscris in DABC si inscris in DABD). Exista ,deci, punctele A ,B ,A ,B , C in sfera care este tangenta segmentelor [BC], [AC], [AD], [BD], [AB]. Se considera planul (BDC) si cercul de intersectie determinat de plan si sfera considerata. Relatia a doua dovedeste ca punctul de contact cu [BC] al cercului inscris in triunghiul [BDC] si punctul de contact cu [BC] al cercului inscris in DABC , coincid. Cu cercul de intersectie dintre planul (BDC)  si sfera este tangent muchiilor tetraedrului in B si A , iar pe de alta parte prin B si A trece cercul inscris in triunghiul [BDC], rezulta ca cercul de intersectie dintre planul (BDC) sfera si cercul inscris in triunghiul [BDC] coincid.

Deci sfera este tangenta si muchiei [CD] ceea ce demonstreaza teorema.

Teorema 47:

Perpendicularele duse in centrele cercurilor inscrise in fetele tetraedrului Crelle sunt concurente.

Demonstratie :

Intr-adevar , cercurile inscrise in fetele tetraedrului Crelle sunt sectiuni obtinute prin intersectia fetelor cu sfera; perpendicularele in centrele acestor cercuri pe planul lor se vor intalni intr-un punct. Fie O acest punct; avem (OA s(OB s(OC s(OC s(OB s(OA ). Cum A , B', C , A , B , C sunt puncte de tangenta ale sferei cu muchiile tetraedrului atunci O este centrul sferei Crelle, cum este numita sfera ce este tangenta la muchiile unui tetraedru Crelle.

Teorema 48:

Intr-un tetraedru Crelle dreptele ce unesc punctele de contact ale sferei cu muchiile opuse sunt concurente.

Demonstratie :

Se foloseste teorema lui Menelaus in spatiu .

In tetraedrul Crelle [ABCD] avem : A ,B',C ,A ,B ,C puncte

de contact ale sferei cu muchiile, iar dreptele A A , B B ,C C

ce trec prin punctele de contact ale muchiilor opuse.

Conform celor afirmate rezulta:

[DA s[DB s[DC ]; [AA s[AC s[AB

T

[BC s[BB s[BA ; [CA s[CB s[CC

De aici, conform teoremei lui Menelaus in spatiu rezulta ca punctele A ,A ,C',C sunt coplanare si A A C C =. Deci A A B B C C =, ceea ce demonstreaza teorema.

Teorema 49:

Intr-un tetraedru Crelle [ABCD] unde BC=a , CA=b, AB=c AB +BC= s, volumul V si raza r a sferei hexatangente satisfac egalitatea: 3Vr= 2(s-p)(p-a)(p-b)(p-c). (1)

Demonstratie :

Figura alaturata reprezinta o parte din sectiunea in tetraedru

perpendiculara pe [BC] in punctul ei de contact cu sfera

hexatangenta. sI_AA I_D. Segmentul A J de lungime r este

diametrul unui cerc a carui coarda se vede de pe cerc sub unghiul

BC, deci r sin²= r_A² + r_D² - 2 r_A r_D cos (2)

Calculand prin formula cosinusului in triedrul B se obtine

, unde

E=2a²[c² -(s - b)² - (s - a)²] - (a² -b² + c² ) [ a²+(s - b)² - (s - c)²].

Se mai observa ca semiperimetrul triunghiului [BCD] este P_A= s + a -p, deci

Pentru unghiul diedru se va utiliza formula: 2 S_AS_Dsin=3aV. Amplificand relatia (2) prin 8p(s+a-p) si operand substitutiile preconizate se obtine:

prin calcule algebrice simple membrul drept capata forma

8a²(p - a) S - 8a²p(p - a)= 8a²(p - a)(s - p) si se obtine formula (1).

Observatie :

Formula (1) mascheaza existenta unei valori minime s_o a lui s. Pentru s s_o , V tinde la zero, dar r tinde la . Pentru s< s_o muchiile din D au lungimi numere complexe, V si r sunt numere reale negative , lipsite de interpretari geometrice , dar (1) ramane formal valabila.

J este in planul (BCD) daca si numai daca . Daca punctele A si J vor fi separate de (BCD).

Daca r,r,R sunt razele sferelor inscrise, Crelle si respectiv circumscrisa tetraedrului[ABCD] , atunci r<r . Egalitatea are loc daca si numai daca tetraedrul [ABCD] este regulat. Deci vom avea R=r.

Exista modalitati algebrice de a stabili prin calcul inegalitatile r<r ; pentru r se foloseste formula r S=3V, iar pentru R formula 6RV=T , unde T este aria unui triunghi care are ca lungimi de laturi produsele lungimilor muchiilor opuse ale tetraedrului.