INTEGRALE DE SUPRAFATA

§ 1. Aria unei portiuni de suprafata

Se considera suprafata S de ecuatii parametrice

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v), (u, v) I D R²,

unde functiile f, g, h sunt presupuse continue, cu derivate partiale de ordinul intai continue in D, avand determinantii functionali

, ,

care nu se anuleaza simultan in D. O astfel de suprafata se numeste suprafata neteda.

Fie = , o diviziune a domeniului D, obtinuta ducand paralele la axele Ou si Ov. Subintervalului

=

ii corespunde o parte din suprafata S marginita de curbele parametrice

u = , u =

v = , v = .

Prin acest procedeu diviziunii a lui D ii corespunde o diviziune

=

a suprafetei S. Reciproc, la o diviziune a suprafetei S formata dintr-o retea de curbe parametrice ii corespunde in domeniul D o diviziune formata din paralele la axele de coordonatele Ou si Ov. Pentru fiecare portiune de suprafata se considera cea mai mica sfera care o contine. Diametrul acestei sfere il notam . Pe cel mai mare dintre numerele il numim norma diviziunii si il notam ().

In planul tangent la suprafata in punctul (,) de pe suprafata consideram paralelogramul avand un varf in acest punct si laturile dirijate dupa vectorii si , de lungimi

, ,

unde

,

Aproximam aria portiunii de suprafata cu aria a acestui paralelogram,

= , (1)

fiind unghiul curbelor parametrice u = , v = .

Se noteaza

E = , G = , F =

deci

E = ,

G = ,

F = .

Deoarece

,

rezulta

, , (2)

si deci

expresia de sub radical fiind calculata in punctul ().

Aria suprafetei S, pe care o notam tot cu S, o aproximam prin

, (3)

unde reprezinta suma Riemann relativa la functia

si la diviziunea a domeniului D.

Sa consideram acum un sir de diviziuni ( ) ale domeniului D, cu norma diviziunii () tinzand catre zero pentru n . Acestui sir ii corespunde un sir de diviziuni () ale suprafetei S, cu

.

Deoarece functiile f, g, h au derivatele partiale continue in D, rezulta ca reprezinta o functie continua in D, si sumele Riemann date de (3) sunt convergente catre integrala dubla

(4)

si reprezinta prin definitie aria suprafetei S.

Definitie. Suprafata S are o arie daca integrala dubla (4) exista si este finita. Valoarea integralei duble reprezinta aria suprafetei S.

Din definitia data rezulta ca o suprafata neteda sau o suprafata formata dintr-un numar de portiuni netede, are o arie. Forma diferentiala se numeste elementul de arie al suprafetei S.

Daca suprafata S este data prin ecuatia carteziana z=f(x, y), (x, y) I D, ea poate fi parametrizata punand x = u, y = v, z = f(u, v) si se obtine

E = 1 + p², G = 1+ q², F = pq,

unde

, ,

adica

,

deci aria suprafetei S este data de

, (5)

D fiind proiectia suprafetei S pe planul xOy.

Aplicatii. 1. Vom calcula partea din suprafata interioara conului

Reprezentarea parametrica a suprafetei a carei arie trebuie calculata este

, .

Considerand u = q, v = j, avem

E = , F = 0, G = ,

de unde

,

deci

.

2. Pentru a calcula aria suprafetei (paraboloid de rotatie) care se proiecteaza pe planul xOy in interiorul cercului luam

, ,

deci aria ceruta este data de

,

unde D este discul x² + y² a².

Trecand la coordonatele polare, rezulta, in final

.

2. Integrale de suprafata in raport cu aria

Fie suprafata neteda S considerata anterior si fie functia F( x,y,z ) continua

intr-un domeniu astfel incat S .

Diviziunii = , k = , a domeniului D ii corespunde diviziunea

D , k = a suprafetei S.

Ne indreptam atentia asupra sumei

(6)

unde punctul , adica

, ,

unde () I , deci,

(7)

Definitie. Daca pentru orice sir de diviziuni () ale domeniului D cu caruia ii corespunde un sir de diviziuni () ale suprafetei S cu , sirul sumelor are limita finita, aceasta limita se numeste integrala de suprafata a functiei F (x, y, z ) pe suprafata S in raport cu aria, si se noteaza

. (8)

Daca limita exista, modul de calcul al integralei de suprafata e dat de

. (9) Aplicatie. Sa se calculeze integrala de suprafata

,

unde S este semisfera .

Consideram

, .

Deoarece

d = R² sinqdjdq

rezulta

.

3. Integrale de suprafata in raport cu coordonatele

In fiecare punct P (x, y, z ) al suprafetei S considerata mai inainte, se pot considera doi vectori normali la suprafata, si , avand sensurile opuse. Unul din vectori face un unghi ascutit cu axa Oz, iar celalalt un unghi obtuz. Vom numi fata superioara a suprafetei S in raport cu planul xOy fata lui S pentru care vectorul face un unghi ascutit cu axa Oz; fata inferioara a lui S este cealalta fata.

Exemplu. Pentru semisfera , fata superioara are ca normala exterioara la sfera iar fata inferioara are ca normala normala dirijata in sens invers, adica spre interiorul sferei.

Fie G conturul suprafetei S ( care nu este o suprafata inchisa ) si proiectia lui G pe planul xOy. Pe G se pot lua doua sensuri de parcurs. Sensul asociat fetei superioare este acela care corespunde sensului direct pe conturul C. Fetei inferioare i se asociaza sensul invers. Spunem ca astfel suprafata S este orientata fata de planul xOy.

Fie o diviziune a suprafetei S careia ii corespunde o diviziune pe planul xOy, fiind proiectia partii de suprafata pe planul xOy.

Fie

si avem , unde este cosinusul unghiului pe care-l face normala la suprafata orientata intr-un punct al ei cu axa Oz.

Fie R ( x, y, z ) o functie definita pe suprafata orientata S. Sa consideram suma

(10)

unde () este un punct oarecare de pe .

Definitie. Daca pentru orice sir de diviziuni () cu , sirul sumelor are limita finita, aceasta limita se numeste integrala de suprafata a functiei R (x, y, z ) in raport cu x si y , si se noteaza

. (11)

Deoarece

, (12)

,

si deci

, (13)

considerandu-se semnul + sau - dupa cum domeniul D are aceeasi orientare cu domeniul D sau nu.

Aceleasi consideratii pot fi extinse si la celelalte plane de coordonate.

Se obtin astfel relatiile (14) (15) Din relatiile (11), (14) si (15) rezulta

, (16)

egalitate care ne da modul de calcul al integralei de suprafata in raport cu coordonatele, care astfel se reduce la o integrala in raport cu aria. Daca functiile P, Q, R sunt continue intr-un domeniu V R³ si daca S V, integralele din (16) exista.

Observatie. Considerand campul vectorial de componente P, Q, R, definit intr-un domeniu V R³ , fiind versorul normalei la fata suprafetei in raport cu care se calculeaza integrala de suprafata (16), ea se poate scrie sub forma

, (17)

si reprezinta fluxul total al campului vectorial prin suprafata orientata S. De exemplu, daca este un camp de viteze, (17) reprezinta cantitatea de fluid de masa specifica egala cu unitatea care strabate suprafata S.

Aplicatie. Consideram integrala de suprafata in raport cu coordonatele

,

S fiind fata exterioara a sferei situata in primul octant.

Normala la sfera dirijata spre exteriorul sferei fiind , avem

,

care, cu reprezentarile

, .

conduce la

.

Prezentam in continuare, fara demonstratie, formulele lui Stokes si Gauss - Ostrogradski.

4. Formula lui Stokes

Fie suprafata S orientata, neteda, deschisa, definita de

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v), (u, v) I D,

marginita de curba inchisa neteda C, functiile f, g, h avand derivatele partiale de ordinul doi continue in D.

La suprafata orientata S corespunde un sens de parcurs pe curba C; vom alege fata suprafetei S astfel incat un observator situat pe acea fata sa vada conturul C parcurs in sens direct.

Teorema. Daca P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) sunt trei functii continue cu derivatele partiale de ordinul intai continue intr-un domeniu D R³ care contine suprafata S, atunci are loc egalitatea

, (18)

care se numeste formula integrala a lui Stokes.

Daca este un camp vectorial de componente (P, Q, R), formula lui Stokes are forma

, (19)

unde

,

avand interpretarea: circulatia campului de-a lungul curbei inchise C este egala cu fluxul rotorului campului prin orice suprafata S care are o bordura cu curba C.

5. Formula lui Gauss - Ostrogradski

Fie un domeniu D R³ marginit de o suprafata inchisa S formata dintr-o reuniune finita de suprafete netede, cu proprietatea ca orice paralela la una din axe ce trece prin interiorul lui D intersecteaza S in doua puncte.

Teorema. Daca functiile P(x, y, z ), Q(x, y, z ), R(x, y, z ) sunt continue cu derivatele partiale continue in D R³, atunci are loc egalitatea

=dxdydz, (20)

numita formula integrala a lui Gauss - Ostrogradski.

Daca este un camp vectorial al carui componente (P, Q, R) indeplinesc conditiile cerute de teorema, formula lui Gauss - Ostrogradski devine

, (21)

unde

, dw = dxdydz,

avand interpretarea: fluxul total al campului vectorial prin suprafata inchisa S este egal cu productivitatea totala a volumului marginit de suprafata S.

Daca este un camp de viteze a unui fluid, valoarea comuna data de relatia anterioara reprezinta cantitatea de fluid produsa de volumul D in unitatea de timp.