Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Probleme.

Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate

. Fie functia . Calculati derivata .

. Pentru fiecare din functiile date mai jos, determinati domeniile maxime de definitie si calculati prima derivata, :

(i).; (ii). (iii)..

. Calculati limitele urmatoare:

.

Fie si functia , definita prin . Aratati ca

.

Solutie. Fie , oarecare dar fixat. Daca alegem , atunci pentru si , putem avea (de exemplu, pentru orice ) si atunci deducem

.

Aratati ca .

Solutie. Fie oarecare. Deoarece , putem alege si pentru putem scrie

, in orice vecinatate a punctului

, de forma .

Aratati ca functia , nu are limita in punctul .

Solutie. Consideram sirul de puncte , cand . Atunci sirul valorilor , . Alegand un alt sir de puncte, de exemplu, sirul , cand atunci sirul valorilor , . Asadar, observam ca pentru doua siruri diferite, care tind catre punctul , atunci se obtin limite diferite, ceea ce contrazice unicitatea limitei functiei intr-un punct.

Aratati ca functia , nu are limita in punctul .

Aratati ca .

Solutie. Avem ; Pentru calculul celei de a doua limita vom folosi limita . Avem .

Fie functia . Sa se arate ca este continua pe .

Solutie. In orice punct diferit , este continua deoarece este raport de functii continue. In punctul , putem scrie evaluarea

, cand .

Fie functia . Sa se arate ca este continua pe .

Solutie. In orice punct diferit , functia este continua deoarece este compunere de functii continue. Din , deducem ca argumentul functiei , admite majorarea

,

Asadar, avem , cand , ceea ce arata ca este continua si in origine.

Fie functia .

Sa se arate ca este continua in orice punct din , nu este continua in origine, insa restrictia lui la orice dreapta este continua.

Solutie. In orice punct diferit , functia este continua deoarece este raport de functii continue. Aratam ca in punctul , functia nu are limita. Intr-adevar, daca alegem directia , atunci avem , cand . Fie directia , . In lungul acestei directii avem si deci, , care arata ca restrictia lui la dreptele care trec prin origine este continua.

Fie functia .

Sa se arate ca este continua in orice punct din , este discontinua in origine, insa este continua in raport cu fiecare variabila.

Solutie. In orice punct diferit , functia este continua deoarece este raport de functii continue. In punctul , functia nu are limita deoarece daca alegem, de exemplu, directia , , atunci in lungul acestei directii avem si deci, valorile lui depind de directia aleasa, ceea ce arata ca functia nu are limita unica in punctul . Asadar, cand , nu exista limita .

Avem si si atunci limitele iterate sunt egale:

.

Fie functia .

Sa se arate ca are limita in punctul, nu exista limita iterata insa limita iterata exista si este egala cu zero.

Solutie. Avem pentru , putem scrie

, cand ; , care evident nu exista si ;

Asadar,

nu exista, insa .