Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes

Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes.

Punerea problemei. Consideram de asemenea un sistem exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile B₁ , B₂ ,..., B_n­ ale caror probabilitati corespunzatoare sunt P(B₁) , P(B₂) , ...., P(B_n). Evenimentul A nu poate avea loc decat impreuna cu unul din evenimentele B₁ , B₂ ,..., B_n­ , pe care le numim cauze (sau ipoteze).

In virtutea formulei (20) probabilitatea realizarii evenimentului A va fi:

P(A) = P(B₁)P(A/B₁) + P(B₂)P(A/B₂) + .... + P(B_n)P(A/B_n) (VII 22)

Presupunem ca evenimentul A va fi realizat. Actualizarea evenimentului A va antrena o modificare a probabilitatilor cauzelor P(B₁) , P(B₂) , ...., P(B_n). Determinand probabilitatile conditionate a acestor cauze si presupunand ca evenimentul A este actualizat, in alti termeni, determinam:

P(B₁ / A), P(B₂ / A), . P(B_n / A)

Solutia problemei Cu ajutorul relatiei (19) gasim:

P(A si B) = P(B₁) P(A/B₁) = P(A) P(B₁/A)

de unde vom gasi:

P(B₁/A) =

Inlocuind pe P(A) cu expresia sa din (22) obtinem:

P(B₁/A) = (VII 23)

In mod analog, gasim: P(B₂ /A) . sau

P(B_k/A) = (VII 24)

Formulele (VII 23) sau (VII 24) se numesc formulele lui Bayes, sau teorema cauzelor.

Remarca: Din formula (24) rezulta ca in expresia probabilitatii P(B_k / A) (probabilitatea de realizare a cauzei B_k , dupa actualizarea evenimentului A) numitorul nu depinde de indicele k.

Exemplul 1: Presupunem ca inaintea unei probe, exista 4 cauze echiprobabile

B₁, B_2, B₃, B₄ .

P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = P(B₄) = 0,25

Probabilitatile conditionate ale realizarii evenimentului A sunt respectiv:

P(A/B₁) = 0,7 P(A/B₂) = 0,1

P(A/B₃) = 0,1 P(A/B₄) = 0,02

Presupunem ca dupa proba evenimentul A se realizeaza. Vom obtine, dupa formula (24)

P(B₁/A) = =

P(B₂/A) = = 0,11

P(B₃/A) = = 0,11

P(B₄/A) = = 0,02

Avem aici P(B₁) = 0,25 ; P(B₁/A) = 0,76 care este mai mare deoarece evenimentul A este realizat

P(A/B₁) = 0,7