Operatori de inchidere - multime

Operatori de inchidere - multime

Definitia 1. Fiind data o multime A, o functie C: Sub (A) Sub (A) se zice operator de inchidere pe A daca pentru orice X , Y A avem:

c₁: X C (X) .

c₂ : C (X) =C (X)

c₃: X Y implica C (X) C (Y)

O submultime X a lui A se zice inchisa daca C (X) = X; vom nota prin L multimea ordonata cu incluziunea a submultimilor inchise ale lui A.

Teorema 2. Fie C un operator de inchidere pe multimea A. Atunci ( L_C, ) este latice completa.

Demonstratie: Se verifica ca daca (A_i) _iII este o familie de submultimi inchise ale lui A atunci inf (_iII ) = C (A_i) iar sup (_iII) = C(A_i). g

Teorema 3. Orice latice completa este izomorfa cu laticea submultimilor inchise ale unei anumite multimi relative la un anumit operator de inchidere.

Demonstratie: Fie L o latice completa. Daca pentru C L definim C:Sub(L) Sub(L), C(C atunci C este operator de inchidere pe L iar asocierea a pentru a I L ne da izomorfism cautat de latici intre L si L_C. g

Definitia Un operator de inchidere C pe o multime A se zice operator algebric de inchidere daca pentru orice C A avem:

c₄ : C(C ( evident c₄T c₃ ).

Definitia 5 Fie L o latice. Un element a I L se zice compact daca avand S L pentru care sup ( S) exista si a sup ( S), atunci exista o submultime finita S S astfel incat a sup (S

Laticea L se zice compact generata daca orice element al lui L este supremul unor elemente compacte din L.

O latice completa si compact generata se zice algebrica.

Teorema 6 Fie C un operator algebric de inchidere pe o multime A. Atunci laticea L_C a submultimilor inchise ale lui A este o latice algebrica. Elementele compacte ale lui L_C sunt exact multimile de forma C (X) cu X A finita.

Demonstratie: Sa aratam la inceput ca C (X) este compacta pentru X A finita si atunci tinand cont ca C (X) = , iar C este un operator de inchidere pe multimea A si ( L_C, ) este latice completa va rezulta ca L_C este algebrica.

Fie deci X = A si C (X) C(A_i) = C(A_i ). Pentru fiecare aI X, exista o multime finita X_j A_i cu a_j I C (X_j).

Deoarece exista numai un numar finit de A_j - uri, sa zicem A_j, A_j astfel incat X_j A_j A_j, atunci a_j I C (A_j A_j).

Insa atunci X C(A_j A_j), deci X C A_j , astfel ca C(X) C (A_j) = C (A_j), adica C (X) este compacta.

Sa presupunem acum ca C (Y) nu este egala cu C (X) pentru X A finita.

Cum C (Y) = deducem ca C (Y) nu poate fi continuta in nici o reuniune finita de C (X) - uri, deci C (Y) nu este compacta. g

Definitia 7. Daca C este un operator de inchidere pe A si Y A este o multime inchisa, vom spune ca X este o multime generatoare pentru Y daca C(X)=Y. Multimea Y se zice finit generata daca ea are o multime generatoare finita X.

Multimea generatoare X pentru Y se zice minimala daca X genereaza Y (adica C (X) =Y ) si nici o alta submultime proprie a sa nu mai are aceasta proprietate.

Corolar 8. Daca C este un operator algebric de inchidere pe A, atunci elementele compacte ale lui L_C sunt exact submultimile finit generate ale lui A.

Teorema 9. Orice latice algebrica este izomorfa cu laticea submultimilor inchise ale unei multimi A relative la un anumit operator algebric de inchidere.

Demonstratie: Fie L o latice algebrica iar A L submultimea elementelor compacte ale lui L.

Pentru X A definim C (X) =. Rezulta imediat ca C este un operator algebric de inchidere pe A. Izomorfismul cautat este dat de asocierea a , a IL.