Aproximarea analitica a functiilor date tabelar

Aproximarea analitica a functiilor date tabelar

Se da tabelar o curba tehnica a carei variatie analitica nu se cunoaste. Se cere aproximarea cu o functie de forma cunoscuta, a curbei, pe considerentul minimizarii abaterii medii patratice intre punctele tabelate cunoscute si urma functiei de aproximare.

Din domeniul instalatiilor electrice se are in vedere aproximarea curbelor care descriu variatia timpului de pierderi  dupa durata de utilizare a puterii maxime t.pm. Pe baza acestor variatii se caracterizeaza pierderile de putere, energie si tensiune in retelele electrice trifazate.

Timpul sau durata pierderilor maxime reprezinta timpul conventional in care instalatia, functionand la sarcina maxima constanta are aceleasi pierderi de energie ca si in cazul in care ar functiona dupa curba de sarcina reala. Intre timpul de utilizare a puterii maxime t.pm si timpul pierderilor legaturile sunt stabilite de curbele mentionate pentru mai multe valori de factor de putere.

Cand se cunosc timpul de utilizare a puterii maxime si factorul de putere, raportat la natura formei curbelor se determina timpul de pierderi. Cu ajutorul timpului de pierderi se calculeaza puterea si energia pierdute in retele.

In vectori din programul Mathcad se incarca valorile cunoscute ale curbelor pentru diferite valori ale factorului de putere:

Modalitatea prin care se poate satisface cerinta de minimizare a abaterii medii patratice dintre punctele cunoscute si alura curbei prin care se aproximeaza functiile tabelate, consta in urmatoarele etape:

1. dupa forma de variatie a functiei tabelate se alege un polinom, sau o combinatie de functii care sa aproximeze analitic datele;

2. relatia abaterii medii patratice se numeste ca functie avand ca argumente coeficientii functiei de aproximare;

3. pentru ca abaterea medie patratica sa fie minima, se deriveaza partial functia in raport cu coeficientii deveniti variabile si se egaleaza cu zero derivatele;

4. reunite, derivatele functiei formeaza un sistem de ecuatii liniare prin a carui rezolvare se determina coeficientii functiei cu care se face aproximarea;

5. se evalueaza eroarea maxima in punctele functiei tabelate, eroare care depinde in mare masura de acuratetea datelor experimentale.

B. Procedurile enumerate mai sus se transpun in limbaj matematic pentru aproximarea cu un polinom de gradul II

Polinomul cu care se doreste a se face aproximarea:

Punctele functiei date tabelar:

Abaterea medie patratica numita ca functie:

Pentru ca abaterea medie patratica sa fie minima se deriveaza functia F(A,B,C):

Din cele trei derivate partiale se formeaza un system de ecuatii liniare care se rezolva in Mathcad, cu blocul de functii Given- Find, cu precizarea ca variabilele se initializeaza pentru aproximare:

Sistemul liniar de ecuatii se rezolva pentru fiecare set de date , iar coeficientii se numesc astfel:

Formele analitice ale functiilor folosite pentru aproximare sunt:

(exprimare vectoriala) (exprimare numerica)

Rezolvarea sistemelor de ecuatii in utilitarul de calcul numeric Mathcad nu comporta nici o dificultate, legata de implementare si de timpul de calcul. Formatul de scriere cvasi-identic cu acela de pe hartie constituie in plus un avantaj de utilizare a programului mentionat, cand se doreste efectuarea de calcule de aproximare analitica. De asemenea, functiile tabelare pot fi citite din diferite fisiere si prelucrate in sistem, pentru aproximarea analitica, atunci cand numarul lor nu permite redarea in Mathcad.

Caracterul acestei probleme de aproximare, evident, nu prezinta complexitate. Exista multe alte modalitati de calcul a functiilor analitice prin care se aproximeaza analitic functiile tabelate, insa derularea lor intr-un program de calcul numeric cu siguranta implica abilitati de programare ridicate fata de varianta definita in cazul prezent. In ceea ce priveste precizia, numarul de puncte disponibile pentru calcul, metoda abaterii medii patratice situata aici aduce avantaje asemanatoare.

Daca aproximarea curbelor tehnice se incearca a fi realizata printr-o combinatie de functii elementare (polinoame, trigonometrice, exponentiale) demersul nu difera. Trebuie doar identificat caracterul de variatie al curbei tabelate.

Bibliografie:

D. D. Micu, A. Cziker: Aplicatii ale metodelor numerice in Electrotehnica, Ed. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2002;

D. Comsa & S. Darie , V.Maier , M. Chindris : Proiectarea instalatiilor electrice industriale , Ed. Didactica si Pedagogica , Bucuresti, 1983

James F. Epperson: An Introduction to Numerical Methods and Analysis, John Wiley&Sons Ed., New-York, USA, 2001;

Octavian Cira: Lectii de Mathcad, Ed. Albastra, Cluj-Napoca, 2000;

*** Mathcad 2001, User's Guide, Mathsoft, Cambridge, Massachusetts, USA, 2001.