Forme patratice

Forme patratice.

DEFINITIA 1. Fie E un spatiu vectorial real. O aplicatie P : E R se numeste forma patratica daca exista o forma biliniara simetrica F : EE R astfel incat

P () = F (), I E .

F se numeste forma biliniara simetrica asociata formei patratice.

Exemplu. Forma patratica pentru produsul scalar real este patratul normei euclidiene, adica

() = ||||².

TEOREMA 1. Oricarei forme biliniare simetrice F : EE R ii corespunde o forma patratica P : E R, unica, definita prin (5).

Reciproc, forma biliniara simetrica asociata unei forme patratice P este unica.

Demonstratie. Afirmatia directa este evidenta.

Pentru a dovedi pe cea de-a doua, vom presupune ca exista doua forme biliniare simetrice F si F cu proprietatea (5),

P () = F (), P () = F (), I E.

Din egalitatea

F () = F () + 2 F () + F (), ,

rezulta

P () = P () + P () + 2 F (), ,

Analog,

P () = P () + P () + 2 F (), .

Din (6) si (6 ) rezulta

F () = F (), , deci F = F .

Observatia 1. Daca este data o forma patratica P , atunci forma biliniara simetrica asociata are valorile date de

F [ P () - P  () - P  ()], .

Intr-adevar, din (6) deducem (7).

Observatia 1. Daca F () = []^t_B M (F ; ) []_B, , atunci

P  () = []^t_B M (F ; ) []_B .

Este astfel indreptatita urmatoarea

DEFINITIE 1. Matricea unei forme patratice intr-o baza B arbitrara este matricea M(F ; ) a formei biliniare F asociata in acea baza B, adica

M (P ; B) = M(F ; BB).

DEFINITIA 1.6.9. O baza B = (e₁, e₂, ,e_n) se numeste ortogonala in raport cu forma biliniara simetrica F daca

F (e_i, e_j) =, i, j = 1,,n, cu d_ij simbolul lui Kronecker.

DEFINITIA 1.6.10. Fie F :R o forma biliniara simetrica si P :R forma patratica asociata . Vectorii se numesc ortogonali in raport cu F (sau cu P ), daca F ()=0.

Observatia Intr-o baza ortogonala in raport cu F avem pe rand

M (F ; )R)

F , P , cu .

DEFINITIA 1. Expresiile (9) se numesc expresia canonica a formei biliniare simetrice F si, respectiv, expresia canonica a formei patratice P . Se spune in acest caz ca formele au fost reduse la expresia canonica.