Metode generale de rezolvare a problemelor de formare si educare ale scolarului

Metode generale de rezolvare a problemelor

1. Notiunea de problema

Toate procesele de formare si educare ale scolarului mic se bazeaza pe invatare. Comportamentele cognitive logice, specifice omului se formeaza prin invatare in cadrul unui amplu si permanent proces instructiv-­educativ, care dispune de procedee si mijloace tot mai perfectionate.

Notiunea de problema, in sens larg, se refera la orice dificultate de natura practica sau teoretica ce necesita o solutionare. In sens restrans, problema din matematica vizeaza o situatie problematica a carei rezolvare se obtine prin procese de gandire si calcul. Ea presupune o anumita situatie, ce se cere lamurita in conditiile ipotezei (valori numerice date si relatii intre ele) enuntata in text, in vederea concluzionarii, prin rationament si printr-un sir de operatii, a caror efectuare conduce la rezolvarea problemei. Problema implica in rezolvarea ei o activitate de descoperire, deoarece exclude preexistenta, la nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de rezolvare, care ar transforma-o intr-un exercitiu. Un exercitiu ofera elevului datele (numerele cu care se opereaza si precizarea operatiilor respective), sarcina lui constand in efectuarea calculelor dupa tehnici si metode cunoscute.

Predarea - invatarea matematicii in ciclul primar nu se poate realiza fara activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexa, de profunzime, in care sunt exersate la nivel superior analiza si sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor imbina eforturile mentale de intelegere a notiunilor invatate, a algoritmilor de calcul formati cu structurile conduitei creative si inventive.

Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor ofera terenul cel mai fertil din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea si educarea creativitatii si a inventivitatii. Diferenta dintre a invata "rezolvarea unei probleme" si "a sti" (a putea) sa rezolvi o problema noua inseamna creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme "invatate" ofera mai putin teren pentru creativitate decat rezolvarea unor probleme noi, care la randul ei, este depasita de alcatuirea (compunerea) unor probleme.

Actul de rezolvare al unei probleme este un proces creator, dar acesta nu este o creatie din nimic, ci ne servim, in procesul rezolvarii, de un sir intreg de cunostinte, deprinderi, procedee de rezolvare, reprezentari. Cand citim o problema, cand suntem pusi in situatia de a rezolva o problema practica incepem prin a cerceta conditiile astfel incat sa izolam ceea ce cunoastem de aspecte ce urmeaza a fi gasite, cautam relatii care vor servi la aflarea necunoscutului; sansele de a ajunge la solutie vor fi cu atat mai mari, cu cat va fi mai bogat fondul de cunostinte si procedee de rezolvare de care va dispune elevul. Activitatea de rezolvare a problemelor pune elevii in situatia de a descoperi singuri modul de rezolvare, de a emite ipoteze si a le verifica, actiuni care sporesc caracterul formativ. Rezolvarea problemelor de matematica contribuie la dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gandirii, la sporirea flexibilitatii ei si la educarea perspicacitatii.

Prin rezolvarea problemelor, elevii inteleg cele mai simple raporturi dintre marimi cu care se intalnesc in viata ca: raportul dintre pretul de cost si cantitatea de marfa; dintre distanta, viteza si timp; dintre norma de lucru, durata zilei de lucru si volumul productiei; dintre perimetru si aria unei figuri geometrice si una din laturi, etc.

In cautarea caii de rezolvare a problemei se emit si se verifica o serie de ipoteze, pana se ajunge la solutia problemei care reprezinta o sinteza superioara inchiderii circuitului nervos. Schita problemei apare ca un rezultat al efortului gandirii. Procesul de rezolvare a problemelor este un proces analitico - sintetic. Analiza are un caracter general de orientare asupra continutului problemei.

Cautarea unor procedee de analiza si sinteza cat mai eficiente, pentru a conduce gandirea elevului pe cai cat mai scurte si mai sigure catre aflarea necunoscutei, constituie una din sarcinile de baza ce-i revin invatatorului.

Problema impune in rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscuta) si intrebarea problemei.

A rezolva o problema inseamna a gasi valoarea marimilor necunoscute, cu ajutorul marimilor care se cunosc. Daca la marimea necunoscuta se ajunge printr-o singura operatie avem o problema simpla, iar daca sunt necesare mai multe operatii avem o problema compusa.

Problemele compuse pot avea caracter general, ele rezolvandu-se prin anumite procedee de calcul general, dar sunt si probleme cu o structura matematica deosebita, care impun in rezolvarea lor aplicarea unor procedee speciale, probleme tipice. Nu se poate concepe posibilitatea de rezolvare a unei probleme fara ca elevii sa cunoasca operatiile care se folosesc in cadrul formularilor: cu atat mai mult, cu atat mai putin, de atatea ori mai mult, de atatea ori mai putin, dar si formularile derivate din acestea, ca: marit cu, micsorat cu, dublat, indoit, injumatatit, micsorat de atatea ori, marit de atatea ori etc.

2. Rezolvarea problemelor simple

Specific clasei I este primul tip de probleme, a caror rezolvare conduce la o adunare sau scadere in concentrele numerice invatate. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezinta un proces de analiza si sinteza in cea mai simpla forma. Problema trebuie sa cuprinda date (valori numerice si relatii intre ele) si intrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpla analiza a intrebarii problemei se ajunge la date si la cea mai simpla sinteza a datelor se ajunge la intrebarea problemei. A rezolva in mod constient o problema simpla inseamna a cunoaste bine punctul de plecare (datele problemei) si punctul la care trebuie sa se ajunga (intrebarea problemei), inseamna a stabili intre acestea un drum rational, o relatie corecta, adica a alege operatia corespunzatoare, impusa de rezolvarea problemei. Predarea oricarui nou continut matematic trebuie sa se faca, de regula, pornind de la o situatie - problema ce il presupune. Si din acest motiv, abordarea problemelor in clasa I trebuie sa inceapa suficient de devreme si sa fie suficient de frecventa pentru a sublinia (implicit, dar uneori si explicit) ideea ca matematica este impusa de realitatea inconjuratoare, pe care o reflecta si pe care o poate solutiona cantitativ.

In momentul in care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru si operatiile de adunare/scadere sau inmultire/impartire cu acestea, introducerea problemelor ofera elevilor posibilitatea aplicarii necesare si plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaste si discrimina situatiile care implica o operatie sau alta, precum si exersarea unei activitati specific umane: gandirea.

Elevii din clasa I intampina dificultati in rezolvarea problemelor simple, din pricina neintelegerii relatiilor dintre date (valori numerice), text si intrebare. Valorile numerice sunt greu legate de continut si de sarcina propusa in problema si pentru ca numerele exercita asupra scolarilor mici o anumita fascinatie, care ii face sa ignore continutul problemei.

Un alt grup de dificultati apare din pricina limbajului matematic, pe care scolarii mici nu il inteleg si, in consecinta, nu pot rezolva o anumita problema. De aceea, una dintre sarcinile importante ale invatatorului este aceea de a invata pe elevi sa "traduca" textul unei probleme in limbajul operatiilor aritmetice.

Avand in vedere caracterul intuitiv-concret al gandirii micului scolar, primele probleme ce se rezolva cu clasa vor fi prezentate intr-o forma cat mai concreta, prin "punere in scena", prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic si cu alte mijloace intuitive.

Constientizarea elementelor componente ale problemei, ca si notiunile de "problema", "rezolvarea problemei", "raspunsul la intrebarea problemei" le capata elevii cu ocazia rezolvarii problemelor simple, cand se prezinta in fata lor probleme "vii", probleme - actiune, fragmente autentice de viata. Scolarii mici trebuie mai intai sa traiasca problema, ca sa invete sa o rezolve. Este important ca elevii sa fie condusi spre recunoasterea in probleme a principalelor categorii de situatii care conduc la o anumita operatie aritmetica.

Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, trebuie aduse in atentie toate genurile de probleme care se rezolva printr-o operatie:

a) probleme simple care se rezolva prin adunare:

- suma obiectelor analoage (3 bile + 4 bile = 7 bile);

- reuniunea unor obiecte care trebuie sa fie regrupate intr-o categorie generala (3 mere + 4 pere = 7 fructe, 3 gaini + 4 rate = 7 pasari);

- suma valorilor negative (s-au spart 3 baloane si inca 4 baloane, am pierdut 3 nasturi si inca 4 nasturi).

b) probleme simple care se rezolva prin scadere:

- se cauta un rest (Am avut 8 bomboane; din ele am mancat 2. Cate au mai ramas?);

- se cauta ceea ce lipseste unei marimi pentru a fi egala cu alta (Am doua caiete in ghiozdan si trebuie sa am 5 caiete. Cate caiete imi lipsesc?);

- se compara doua marimi (Raluca are 3 timbre si Mihaela 8 timbre. Cu cate timbre are mai mult Mihaela decat Raluca?).

c) probleme simple bazate pe inmultire:

de aflare a produsului;

de repetare de un numar de ori a unui numar dat;

de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decat un numar dat, de atatea ori mai mare;

d)     probleme simple bazate pe impartire:

de impartire a unui numar dat in parti egale;

de impartire prin cuprindere a unui numar prin altul;

de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decat altul, de atatea ori mai mic;

de aflare a unei parti dintr-un intreg;

de aflarea a raportului dintre doua numere;

Conditie necesara pentru rezolvarea unei probleme simple, cunoasterea elementelor sale de structura nu trebuie sa realizeze numai cu prilejul rezolvarii primelor probleme, ci este necesara o permanenta consolidare. Pentru aceasta, se pot folosi diferite procedee:

- prezentarea unor "probleme" cu date incomplete, pe care elevii le completeaza si apoi le rezolva. (Raluca a avut 9 nasturi si a pierdut cativa dintre ei. Cati nasturi i-au ramas?)

- prezentarea datelor "problemei", la care elevii pun intrebarea. (Un copil avea 5 creioane. El a dat 2 creioane fratelui sau.)

- prezentarea intrebarii, la care elevii completeaza datele. (Cate carti au ramas?)

Introducerea problemelor se face relativ devreme, din motivele mentionate anterior. Prezentarea acestora se face gradat, trecand prin etapele:

- probleme dupa imagini;

- probleme cu imagini si text;

- probleme cu text.

Introducerea problemelor cu text este conditionata si de invatarea de catre elevi a citirii/scrierii literelor si cuvintelor componente.

In general problemele simple sunt usor intelese si rezolvate de catre elevi. Pentru depasirea si evitarea unor dificultati in rezolvarea de probleme trebuie sa se aiba in vedere:

rezolvarea unui numar mare de probleme;

analiza temeinica in rezolvarea fiecarei probleme;

prezentarea unor probleme cu date incomplete;

prezentarea unor probleme a caror intrebare lipseste;

prezentarea unor povestiri matematice;

completarea unui text cu date conform cu realitatea;

compunerea de probleme cu anumite date sau dupa scheme date.

Prin toate aceste actiuni se urmareste nu invatarea problemelor ci formarea si dezvoltarea capacitatilor intelectuale de a domina varietatea metodelor de rezolvare a problemelor.

Rezolvarea de probleme simple reprezinta primul pas pe care elevii il fac spre rezolvarea problemelor compuse. Prin acest lucru, elevii ajung sa opereze cu numere, sa faca operatii de compunere si descompunere, sa foloseasca strategii si modele mintale anticipative, se dezvolta flexibilitatea si fluenta gandirii.

3. Rezolvarea problemelor compuse. Etapele rezolvarii unei probleme.

Rezolvarea unei probleme compuse nu este reductibila doar la rezolvarea succesiva a unor probleme simple. Dificultatea unor astfel de rezolvari este data de necesitatea descoperirii legaturilor dintre date si necunoscute, de construirea rationamentului corespunzator. Aceasta e o activitate dificila, care cere un anumit efort al gandirii si o anumita experienta. De altfel, aceasta alegere a valorilor numerice nu se face numai in scopul sistematizarii lor, ci constituie desprinderea problemelor simple din cadrul problemei compuse. E vorba de un proces de analiza, care trebuie orientat catre sinteza ce urmeaza, catre intrebarea problemei.

De aceea, primul pas in realizarea demersului didactic il constituie rezolvarea unor probleme compuse, alcatuite din succesiunea a doua probleme simple, unde cea de-a doua problema are ca una dintre date, raspunsul de la prima problema.

De exemplu, se prezinta si se rezolva, pe rand, urmatoarele doua probleme simple:

1. Pe o ramura a unui pom erau 5 vrabii, iar pe alta, 3 vrabii. Cate vrabii erau in pom?

2. Doua dintre vrabiile din acel pom au zburat. Cate vrabii au ramas in pom?

Se reformuleaza apoi, construind din cele doua o singura problema:

Pe o ramura a unui pom erau 5 vrabii, iar pe alta, 3 vrabii. Doua dintre vrabiile din acel pom au zburat. Cate vrabii au ramas in pom?

In activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. In fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvatorului pe drumul si in directia solutiei problemei. Elevul trebuie sa cuprinda in sfera gandirii sale intregul "film" al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential. Pentru generalizarea rationamentului, elevii trebuie sa aiba formate capacitatile si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de a orienta logic sirul de judecari catre intrebarea problemei, necesara fiind parcurgerea urmatoarelor etape:

a) insusirea enuntului problemei;

b) examinarea (judecata) problemei;

c) alcatuirea planului de rezolvare;

d) rezolvarea propriu-zisa;

e) activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei.

In fiecare etapa, activitatile ce se desfasoara sunt variate, unele obligatorii, altele doar daca este cazul.

a) Astfel, pentru insusirea enuntului problemei, activitatile necesare sunt:

expunerea/citirea textului problemei

Se poate realiza prin modalitati diferite, dupa cum textul problemei poate fi vizualizat de elevi in manual, pe tabla, pe o plansa, intr-un auxiliar didactic, iar citirea acestuia poate fi facuta de catre de invatator, de catre unul sau mai multi elevi, de catre fiecare elev (fara voce). Este o activitate necesara si obligatorie in aceasta etapa.

explicarea cuvintelor/expresiilor necunoscute

Reprezinta o activitate necesara doar daca textul problemei contine cuvinte necunoscute elevilor. Neintelegerea de catre elevi a unor cuvinte conduce la incapacitatea acestora de a-si imagina contextul descris in problema si la imposibilitatea elaborarii unor rationamente.

discutii privitoare la continutul problemei

Sunt necesare doar in cazul in care nu toti elevii reusesc sa constientizeze si sa-si reprezinte contextul descris in problema.

concretizarea enuntului problemei prin diferite mijloace intuitive

Daca activitatea precedenta nu a condus la intelegerea textului, pot fi utilizate diverse mijloace materiale, care sa ilustreze textul, facandu-l accesibil oricarui elev.

scrierea datelor problemei

Este o activitate necesara, obligatorie, pentru ca reprezinta un pas spre esentializarea textului si pastrarea doar a informatiilor cantitative si a intrebarii problemei. Se poate realiza prin scrierea datelor pe orizontala sau pe verticala. Alegerea unuia sau altuia dintre procedee se face in functie de particularitatile clasei si complexitatea problemei.

schematizarea problemei

Se poate realiza atunci cand elevii intalnesc un nou tip de problema, pentru a facilita vizualizarea legaturilor dintre datele problemei sau dupa ce elevii au rezolvat o clasa de probleme de un acelasi tip, in vederea retinerii schemei generale de rezolvare.

repetarea problemei de catre elevi

Este o activitate necesara si obligatorie. Numarul elevilor care repeta enuntul problemei este variabil si se stabileste de fiecare invatator, in functie de complexitatea problemei si de particularitatile clasei. Repetarea se poate realiza urmarind datele in ordinea aparitiei acestora in enunt sau enuntand, la intamplare, cate una dintre date si cerand elevilor sa spuna ce reprezinta ea. Nu trebuie neglijata repetarea intrebarii problemei, ce va sta la baza urmatoarei etape de rezolvare.

b) Examinarea (judecata) problemei se poate realiza pe cale sintetica sau pe cale analitica. Ambele metode constau in descompunerea problemei date in probleme simple, care prin rezolvarea lor succesiva duc la gasirea raspunsului problemei. Deosebirea intre ele consta in punctul de plecare al examinarii: prin metoda sintetica se porneste de la datele problemei spre determinarea solutiei, iar prin metoda analitica se porneste de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor pentru acestea.

Cum mersul gandirii rezolvitorului nu este liniar in descoperirea solutiei, intampinarea unei dificultati sau un blocaj in rezolvare poate conduce la schimbarea caii de examinare. De aceea, cele doua metode se pot folosi simultan sau poate predomina una dintre ele. La varsta scolara mica, metoda sintetica de examinare a unei probleme este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor , mai ales daca ne marginim sa le prezentam probleme in care datele se leaga intre ele in ordinea aparitiei in enunt. In acest fel, exista riscul depistarii si rezolvarii unor probleme simple care nu au legatura cu intrebarea problemei. Metoda analitica, mai dificila, dar mai eficienta in dezvoltarea gandirii elevilor poate fi utilizata la clasele a III-a si a IV-a, ajutandu-i pe elevi sa vada problema in totalitatea ei, sa aiba mereu in centrul atentiei intrebarea problemei.

c) Alcatuirea planului de rezolvare se face incepand cu prima problema simpla ce se obtine din descompunerea problemei date si continua cu celelalte probleme simple, ce au putut fi depistate prin examinarea sintetica. Intrebarile acestor probleme simple constituie planul de rezolvare, ce poate fi redactat sub aceasta forma interogativa sau poate fi prezentat prin exprimari concise, enuntiative. Prima modalitate este mai la indemana scolarului mic, dar sporirea in timp a experientei de rezolvitor il va conduce spre a accepta, ba chiar a prefera, cea de-a doua modalitate.

d) Rezolvarea propriu-zisa a problemei este separata de cealalta etapa doar din ratiuni legate de timpul demersului implicat: daca examinarea are la baza rationamente si implica o activitate de descoperire, rezolvarea este de natura calculatorie si implica o activitate executorie. Aceasta etapa consta in alegerea operatiilor corespunzatoare "intrebarilor" problemei, justificarea alegerii si efectuarea calculelor. In mod obisnuit, se realizeaza in acelasi timp cu stabilirea "intrebarilor", prin alternarea acestora cu calculele corespunzatoare. Se realizeaza astfel o unitate intre ceea ce a gandit elevul si ceea ce calculeaza. Rezolvarea se incheie, cu mentionarea raspunsului la intrebarea problemei.

e) Activitatile suplimentare, dupa rezolvarea problemei, reprezinta o etapa foarte bogata in valente formative, ce trebuie sa stea permanent in atentia invatatorului si a elevilor. Desigur, dupa rezolvarea unor probleme nu se pot realiza toate aceste activitati posibile, dar si desfasurarea catorva reprezinta mult pentru dezvoltarea intelectuala a copilului.

Fara pretentia prezentarii unei liste exhaustive, printre aceste activitati se afla:

revederea planului de rezolvare

Nu inseamna o recitire mecanica a acestuia, ci sublinierea pasilor realizati in rezolvare. Mai mult, daca examinarea problemei s-a realizat sintetic, acum poate fi activata calea analitica, marcand necesitatea realizarii fiecarui pas din rezolvare.

Revederea planului de rezolvare contribuie la formarea si dezvoltarea capacitatilor de sistematizare, generalizare si abstractizare ale gandirii elevilor.

verificarea solutiei

Poate contine doua componente, dintre care prima, grosiera, permite eliminarea solutiilor neplauzibile (nu poate constitui un raspuns corect, solutia 3 muncitori si jumatate!), cu un ordin de marime complet diferit de datele problemei (daca acestea sunt mai mici decat 10, nu se poate obtine o solutie de ordinul miilor). Spre deosebire de aceasta modalitate de verificare a plauzibilitatii solutiei, bazata pe rationament, cea de-a doua modalitate este calculatorie, constand in introducerea solutiei in enuntul problemei si verificarea tuturor conexiunilor mentionate in enunt.

Verificarea solutiei confera rezolvitorului siguranta, ii sporeste incredea in fortele proprii si se constituie intr-un instrument de autocontrol utilizabil nu numai la matematica, o adevarata deprindere de munca intelectuala.

alte cai de rezolvare

De multe ori, o problema data admite mai multe cai de rezolvare. Dupa gasirea uneia dintre ele, se poate lansa solicitarea de a rezolva problema "astfel". In momentul gasirii tuturor cailor de rezolvare, acestea pot fi analizate, alegand-o pe cea mai "frumoasa" (mai eleganta, mai neobisnuita sau macar mai scurta).

In felul acesta este activata capacitatea de explorare/investigare a elevilor, implicati intr-o activitate de descoperire, care nu numai ca ii motiveaza pentru invatarea matematicii, ci si contribuie la dezvoltarea gandirii divergente a acestora. Sunt depasite astfel nivelurile inferioare de cunoastere, intelegere, aplicare ajungandu-se in zonele analizei, sintezei si evaluarii.

scrierea expresiei numerice corespunzatoare rezolvarii problemei

Reprezinta una dintre modalitatile uzuale de seriere condensata a rezolvarii problemei, asa numitul "exercitiu al problemei". Numai ca scopul sau nu este legat de calcul, ci de a evidentia, intr-o maniera sintetica, intreaga rezolvare a problemei. Deci, dupa scrierea acestei expresii numerice, nu se cere efectuarea acesteia, ci se analizeaza fiecare operatie componenta, identificand intrebarea problemei ce a condus la aceasta (de exemplu, un produs de doi factori poate reprezenta un cost al unui produs, unul din factori reprezentand cantitatea, iar celalalt pretul unitar). Scrierea expresiei numerice reprezinta un pas spre descoperirea claselor de probleme, pregateste introducerea algebrei si le poate fi de folos elevilor in activitatea de compunere a problemelor.

In acest fel, sunt antrenate operatii ale gandirii ca abstractizarea si generalizarea, contribuind la cultivarea calitatilor acesteia.

rezolvarea unor probleme de acelasi tip

Se poate realiza schimband valorile numerice ale datelor, schimband marimile ce intervin in problema sau schimband si valorile si marimile. Realizarea acestei activitati da consistenta claselor de probleme introduse de invatator si ii apropie pe elevi de activitatea de compunere a problemelor.

complicarea problemei

Nu inseamna a face ca problema data sa devina mai complicata, ci a gasi si alte intrebari posibile pentru aceasta, particularizari ale solutiei sau extinderi, eventual prin introducerea de date noi. Poate contribui la dezvoltarea gandirii divergente a elevilor, precum si la cultivarea inventivitatii si creativitatii acestora.

generalizari

Un prim pas spre generalizare s-a realizat chiar prin scrierea expresiei numerice corespunzatoare rezolvarii. Urmatorul pas il constituie expresia literala, ce stabileste tipul de problema si ii pregateste pe elevi pentru invatarea algebrei. Pentru copiii ce reusesc sa ajunga in aceasta zona, acest tip de activitate contribuie la sporirea capacitatii de abstractizare.

compuneri de probleme de acelasi tip

Este categoria de activitati ce cultiva la elevi imaginatia creatoare, ce ii transforma din rezolvitori in autori de probleme. Desi imaginatia lor nu trebuie ingradita, invatatorul trebuie sa-i atentioneze asupra plauzibilitatii problemei alcatuite, care trebuie sa fie concordanta cu realitatea inconjuratoare.

4. Metoda analitico - sintetica, metoda generala de rezolvare a problemelor

Utilizarea acestor metode se bazeaza cu deosebire pe operatiile de analiza si sinteza ale gandirii, motiv pentru care se numesc metoda analitica si metoda sintetica. Modul de prezentare si solutionare a problemelor se va face prin respectarea particularitatilor de varsta de la concret-intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de masura; decupaje si asamblari de figuri geometrice), la reprezentare grafica imagistica (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relatiilor intre marimi prin segmente, diagrame, sageti etc.), la descompunerea problemelor compuse in probleme simple, fara a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt intereseaza, ci construirea rationamentului, legatura dintre secvente. In cadrul acestor activitati, elevii sunt dirijati sa sesizeze mersul rationamentului si sa invete sa elaboreze tactica si strategia solutionarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se realizeaza, de obicei, prin metodele analitica, sintetica sau folosite simultan. Deosebirea dintre ele consta, practic, in punctul de plecare al rationamentului. Prin metoda sintezei se porneste de la datele problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice dintre acestea.

Practica a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor, uneori abatandu-le atentia de la intrebarea problemei. Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor, determinandu-i sa priveasca problema in totalitatea ei.

Analiza logica a problemei, dupa repetarea si intelegerea enuntului, se realizeaza concomitent cu formularea orala a planului de rezolvare, urmate de consemnarea in scris a acestuia prin activitate frontala sau independenta, sub variate forme: de intrebari, titluri, enunturi succinte etc. Rezolvarea poate fi scrisa prin intercalarea intrebarilor din plan cu calculul, asigurand o estetica a asezarii in pagina, care ilustreaza legatura intre consemnarea succinta a datelor enuntului, a planului gandit si a calculului realizat, cu marcarea raspunsului obtinut si generalizarea prin transpunerea problemei in expresie numerica sau formula literala.

Este oportun sa se rezolve nu mai mult de una - doua probleme intr-o ora de curs, insistand asupra rationamentului si investigand solutionarea pe mai multe cai, pentru exersarea flexibilitatii gandirii decat sa se exagereze cu solutionarea stereotipa, superficiala a mai multor probleme sau sa se consume timpul pentru o singura problema.

Metoda analitica inseamna a privi intai problema in ansamblu, apoi pornind de la intrebarea ei, a o descompune in probleme simple din care e alcatuita si a orandui aceste probleme simple intr-o succesiune logica astfel incat rezolvarea lor sa contribui in mod convergent la formularea raspunsului pe care il reclama intrebarea problemei date. Procesul de gandire care are loc in scopul precizarii problemelor simple ce alcatuiesc o problema compusa si a succesiunii lor, astfel incat intrebarea ultimei probleme simple sa coincida cu intrebarea finala a problemei date se numeste examinare sau analiza a problemei.

Rezolvarea corecta a unei probleme de aritmetica nu este posibila decat in urma unei analize profunde a datelor, analiza care sa permita elevului o serie de reformulari ale problemei, apropiindu-l astfel, din etapa in etapa de solutie.

In special la clasele mici (mai ales la clasa I) elevii se lasa absorbiti de calcul in rezolvarea problemei, uneori nereusind sa justifice logica operatiei la care a recurs. Datorita capacitatii reduse a scolarilor mici de a efectua analiza riguroasa a datelor problemei, ei recurg exclusiv la calcule numerice fara nici o motivare pe baza de rationament. Datorita si lipsei de experienta, scolarul mic intampina dificultati in analiza riguroasa a datelor.

EI analizeaza problema pas cu pas si pe masura ce desprinde o pereche de date si descopera relatia dintre ele, trece imediat la rezolvare. Acest mod de 'a judeca' o problema nu duce intotdeauna la solutie. De aceea invatatorul trebuie sa insiste in special pe stabilirea corecta a relatiilor dintre date, discutand cu elevii mai ales calea de rezolvare (judecata) problemei, rationamentul propriu-zis. Activitatea de rezolvare a problemelor necesita o succesiune de operatii logice care conduc la solutie. Aceasta succesiune de operatii logice (care conduc), nu este altceva decat schema de rezolvare a problemei, sirul de judecati cu oranduirea lor logica, ce constituie rationamentul problemei.

Matematicianul american George Polya afirma ca exista un graunte de descoperire in rezolvarea oricarei probleme. Problema ta poate fi modesta, dar daca ea iti starneste curiozitatea si-ti pune in joc facultatile inventive si daca o rezolvi prin mijloacele tale proprii, atunci poti incerca tensiunea si bucuria triumfului descoperirii.

Exemplu:

"Intr-o intreprindere lucreaza doua echipe de muncitori: prima are 6 muncitori si executa cate 18 piese pe zi, a doua are 7 muncitori si executa cate 16 piese pe zi. Sa se afle valoarea pieselor executate pe zi de cele doua echipe, stiind ca o piesa costa 48 RON."

Examinarea problemei:

Pentru a afla valoarea totala a pieselor, cunoscand valoarea unitara, ar trebui sa se stie numarul total al pieselor executate de cele doua echipe. In acest scop este necesar sa se afle intai numarul total al pieselor executate de prima echipa, apoi numarul de piese executate de a doua echipa. Numarul pieselor executate de o echipa se poate afla utilizand datele problemei, si anume, inmultind numarul pieselor executate de un muncitor cu numarul muncitorilor din echipa.

Schematic, examinarea problemei prin metoda analitica se infatiseaza astfel:

Detaliile stabilite analitic se sintetizeaza sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enuntarea problemelor simple in care s-a descompus problema data si indica succesiunea acestor probleme in procesul de efectuare a calculelor.

1. Se calculeaza numarul pieselor executate de echipa I:

18 (piese) x 6 = 108 (piese)

2. Se calculeaza numarul pieselor executate de echipa a II -a:

16 (piese) x 7 = 112 (piese)

3. Se afla numarul total de piese executate de cele doua echipe:

108 (piese) + 112 (piese) = 220 (piese)

4. Se calculeaza valoarea pieselor executate:

48 (RON/piesa) x 220 (piese) = 10 560 (RON)

Metoda sintetica

A examina o problema prin metoda sintetica inseamna a orienta gandirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date dupa relatiile dintre ele, astfel incat sa se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile si a aseza aceste probleme simple intr-o succesiune logica astfel alcatuita incat sa se incheie cu acea problema simpla a carei intrebare coincide cu intrebarea problemei date.

Exemplu:

Problema enuntata si studiata mai sus se examineaza prin metoda sintetica astfel:

1. Cunoscand numarul muncitorilor din prima echipa si numarul pieselor executate de fiecare, se afla numarul pieselor executate de intreaga echipa.

2. Analog pentru echipa a II-a.

3. Daca se afla cate piese au fost executate de prima echipa si cate de a doua, atunci se poate afla numarul total de piese executate de cele doua echipe.

4. Cunoscand numarul total de piese si valoare medie a unei piese, se poate afla valoarea totala.

(6 x 18 + 7 x 16) x 48 = (108 + 112) x 48 = 10 560 (RON)

Ambele metode, analiza si sinteza, prezinta avantaje si dezavantaje.

Astfel, folosind analiza nu scapam din vedere necunoscuta, dar s-ar putea sa ajungem la rezolvarea unei probleme auxiliare pe care sa nu o putem rezolva cu ajutorul datelor problemei. Folosirea sintezei este mai accesibila si prezinta avantajul ca atat elaborarea planului cat si realizarea lui evolueaza in acelasi sens: de la date spre necunoscuta. De aceea, sinteza este indicata mai ales rezolvitorilor incepatori. Inconvenientul metodei sintezei consta in aceea ca, pornind de la date, s-ar putea "sa ne pierdem timpul" cu rezolvari de probleme auxiliare suplimentare, care nu ne sunt utile in aflarea necunoscutei.

Din cele aratate in legatura cu metoda analizei si sintezei, s-ar parea ca cele doua metode nu pot fi folosite in rezolvarea aceleiasi probleme. Cu toate acestea, de multe ori putem incepe rationamentul printr-o metoda si sa-l continuam prin cealalta. Sau, chiar atunci cand folosim numai una dintre metode, in mod spontan folosim si cealalta metoda. Astfel, planificand rezolvarea prin metoda sintezei putem sa nu rezolvam probleme neutile, deoarece am avut in vedere necunoscuta, facand apel deci la analiza. Din motivele mai sus aratate, de multe ori se vorbeste nu de metoda analizei si de metoda sintezei, ci despre metoda analitico - sintetica. Obisnuirea elevilor cu planificarea progresiva (metoda sintezei) sau cea regresiva (metoda analizei) este deosebit de importanta pentru euristica.

In legatura cu cele doua metode generale de examinare a unei probleme, se mentioneaza faptul ca procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic, intrucat cele doua operatii ale gandirii se gasesc intr-o stransa conexiune si interdependenta, ele conditionandu-se reciproc si realizandu-se intr-o unitate inseparabila. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea in mod exclusiv a uneia sau a alteia din aceste metoda, in examinarea unei probleme intervenind ambele operatii ca laturi separate ale procesului unitar de gandire, insa in anumite momente sau situatii, una din ele devine dominanta. Astfel, descompunerea unei probleme compuse in probleme simple din care este alcatuita, constituie in esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteza. Din aceste motive, cele doua metode apar adeseori sub o denumire unica: metoda analitico - sintetica.

Metode particulare de rezolvare a problemelor

Problemele pentru a caror rezolvare se aplica un algoritm specific se numesc probleme tip. Prin identificarea tipului problemei se determina si "cheia" de rezolvare.

Metodele aritmetice sunt mai variate si difera de la o categorie de probleme la alta, adaptandu-se specificului acestora. Cele mai importante si mai frecvente sunt urmatoarele:

1. metoda figurativa (metoda grafica);
2. metoda comparatiei;
3. metoda falsei ipoteze (metoda presupunerilor);
4. metoda mersului invers (metoda retrograda);
5. probleme de miscare;
6. probleme de amestec si aliaj

2. 3. 1. Metoda figurativa (grafica)

Una dintre metode, cea mai folosita spre a-i determina pe elevi sa cunoasca enuntul problemei, sa poata sesiza relatiile dintre datele problemei si pentru a-i face sa rezolve cu mai multa usurinta, este metoda grafica.

Metoda figurativa consta in reprezentarea prin desen a marimilor necunoscute si fixarea in desen a relatiilor dintre ele sau dintre ele si marimile date in problema. Ea ne ajuta sa alcatuim schema problemei, sa tinem in atentie toate conditiile problemei, sa ne concentram asupra lor. Pentru aceasta, figura pe care o vom folosi trebuie sa insemne o schematizare a enuntului, pentru a se pastra in atentie relatiile matematice si nu toate aspectele concrete ca intr-o fotografie. Dar, la incepatori, aceasta schematizare pastreaza o legatura cu partea concreta a enuntului, atata cat sa-l poata evoca. Reprezentarea marimilor se face prin segmente de dreapta. In esenta, reprezentarea pe axa realizeaza legatura intre numere si marimi.

Limbajul grafic, materializat in reprezentarile grafice este foarte apropiat de cel notional. El face legatura intre concret si logic, intre reprezentare si concept. Intre aceste niveluri, interactiunea este logica si continua. Ea este mijlocita de formatiuni mixte tipul conceptelor figurate, al imaginilor esentializate sau schematizate, care beneficiaza de aportul inepuizabil al concretului. Imaginile mintale, ca modele partial generalizate si retinute intr-o forma figurativa, de simbol sau abstracta, il apropie pe copil de logica operatiei intelectual. Ele devin sursa principala a activitatii gandirii si imaginatiei, mediind cunoasterea realitatii matematice.

Avantajele pe care le prezinta metoda figurativa o situeaza pe primul loc in ceea ce priveste utilitatea ei:

are caracter general, aplicandu-se la orice categorie de probleme in care se preteaza figurarea si pe diferitele trepte ale scolaritatii;

are caracter intuitiv, intelegerea relatiilor dintre datele problemei facandu-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directa, miscarea si transpunerea acesteia pe plan mintal;

prin dimensiunile elementelor figurative si prin proportiile dintre ele se creeaza variate modalitati de stabilire a relatiilor cantitative dintre diferitele valori ale marimilor, se sugereaza aceste relatii, se pun in evidenta.

Pentru marimile si relatiile din problema se utilizeaza elemente grafice sau desene, respectiv:

desene care reprezinta actiunea problemei si partile ei componente;

figuri geometrice diferite: segmente de dreapta, triunghiul, patratul, dreptunghiul, cercul;

figurarea schematica a relatiilor matematice dintre datele problemei;

felurite semne conventionale, unele obisnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;

litere si combinatii de litere;

elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete etc.

Exemple:

a) Problema 1 (figurarea prin desen):

De 8 Martie, doua fetite au oferit mamei lor flori. Fetita mai mare i-a oferit 5 lalele, iar cea mica 3 lalele.

Cate lalele are acum mama, daca se stie ca mai primise 7 lalele de la sotul ei?

b) Problema 2 (figurarea prin segmente de dreapta):

La un centru de paine s-au vandut 460 de paini intermediare si albe. Stiind ca numarul painilor albe vandute este cu 60 mai mare decat cel al painilor intermediare, sa se afle cate paini intermediare si cate paini albe s-au vandut. Reprezentam numarul de paini vandute prin doua segmente a si b, a reprezentand numarul painilor intermediare si b numarul painilor albe, segmentul b este mai mare decat segmentul a exact cu diferenta dintre numarul de paini, adica 60.

460 paini

c paini albe si intermediare

Se deseneaza un al treilea segment de dreapta, c, ce reprezinta suma segmentelor a si b.

Din desen se observa faptul ca suma celor doua segmente este de fapt formata din segmentul a luat de doua ori plus cele 60 de paini.

Remarcam ca daca indepartam cele 60 de paini, raman doua segmente egale fiecare cu a, adica, cu numarul de paini intermediare vandute.

Egalam segmentele cu cel scurt:

460 - 60 = 400 (paini)

Pentru a afla numarul painilor intermediare se imparte suma la 2:

400 : 2 = 200 (paini intermediare)

Am aflat valoarea segmentului a, adica numarul painilor intermediare si pentru a afla segmentul b, adica numarul painilor albe, care este cu 60 mai mare, facem operatia de adunare.

Cate paini albe s-au vandut?

200 + 60 =260 (paini albe)

Daca adunam painile intermediare si cele albe se obtine numarul total de paini vandute. Verificare:

200 + 260 = 460 (paini) si 260 > cu 60 decat 200

Aceasta rezolvare a fost efectuata prin scadere (eliminand segmentul mic).

Aceeasi problema se mai poate rezolva si prin adaos (adaugam un segment identic cu cel de 60, insa punctat).

Se reprezinta la fel ca la primul caz de rezolvare, adica prin segmentul a numarul painilor intermediare si prin segmentul b numarul painilor albe:

460 paini

Se presupune ca numarul painilor ar fi fost egal fiecare cu cel al painilor albe. Aceasta presupune ca in segmentul c sa mai apara segmentul de 60 inca o data.

Atunci, la numarul ce reprezinta suma totala a painilor vandute se mai adauga 60.

Egalam segmentele cu cel lung:

460 + 60 = 520 (paini)

Numarul painilor albe se obtine impartind suma la 2.

Cate paini albe s-au vandut?

520 : 2 = 260 (paini albe)

Pentru a afla numarul painilor intermediare se scad cele 60 de paini deoarece sunt cu 60 mai putine.

Cate paini intermediare s-au vandut?

260 - 60 = 200 (paini intermediare)

Facand suma celor gasite se obtine totalul painilor vandute.

Verificare:

200 + 260 = 460 (paini) si 200 < 260 cu 60

c) Problema 3 (figurarea schematica a relatiilor matematice):

Intr-o curte erau curci si oi, in total 29 capete si 82 de picioare. Cate curci si cate oi erau?

Se face un desen schematic potrivit cu enuntul si nu se vor folosi segmente, ci o schita apropiata. Pe primul rand se asaza, la general, o multime reprezentata fara picioare, cea cu 29 de animale, si se va nota cu a. Pe al doilea rand vom reprezenta curcile cu cate 2 picioare si se vom nota cu b. Pe al treilea rand vom reprezenta oile si le vom desena 4 picioare, notandu-le cu c. Dar pentru ca nu stim cate sa desenam cu 2 picioare (adica numarul curcilor) si cate cu 4 picioare (adica numarul oilor), vom desena cate 2 la fiecare, pentru ca fiecare are cel putin 2 picioare.

VARIANTA I

Presupunem ca toate vietatile din curte sunt curci.

Am folosit:

29 x 2 = 58 (picioare)

Au mai ramas:

82 - 58 = 24 picioare, pe care le vom repartiza: doua la primul, doua la al doilea etc. pana cand le terminam, adica 24 : 2 = 12 - acestea fiind oile.

Restul, cele ramase numai cu doua picioare sunt curci:

29 - 12 = 17 (curci)

Verificare:

(12 x 4) + (17 x 2) = 48 + 34 = 82 (picioare)

12 + 17 = 29 (capete)

VARIANTA II

Presupunem acum ca toate animalele sunt oi, deci au cate 4 picioare fiecare, ar avea cu toate:

29 x 4 = 116 (picioare)

Diferenta, adica 116 - 82 = 34 picioare apare pentru ca exista si curci, ce au cate 2 picioare si putem afla numarul lor repartizand cate 2 picioare pe cap de animal:

34 : 2 = 17 (curci)

Facem diferenta dintre numarul de capete si cel al curcilor si aflam numarul oilor:

29 - 17 = 12 (oi)

Verificare:

(17 x 2) + (12 x 4) = 82 (picioare)

17 + 12 = 29 (capete)

d) Problema 4 (figurarea prin semne conventionale):

Pentru prepararea betonului, la fiecare galeata de ciment sunt necesare 2 galeti de apa si 5 galeti de balast.

Cate galeti de ciment, apa si balast sunt necesare pentru prepararea a 4,144 t beton, stiind ca o galeata cu beton are in medie 14 kg?

Analiza problemei:

Se figureaza partile din care se compune betonul, cu cerculete:

ciment - 1 parte

apa  - 2 parti

balast  - 5 parti

In total sunt 8 galeti sau 8 parti (la o parte de ciment, doua parti de apa si 5 parti balast):

1 + 2 + 5 = 8 (parti)

Se transforma in kg cantitatea de beton:

4,144 t = 4 144 kg

Se calculeaza cate galeti de beton reprezinta 4 144 kg de beton:

4 144 (kg) : 14 (kg) = 296 (galeti de beton)

In continuare se calculeaza de cate ori grupul de 8 galeti se cuprinde in numarul total de galeti:

296 (galeti) : 8 (parti) = 37 (galeti pentru o singura parte)

Deci, sunt necesare 37 galeti de ciment.

37 x 2 = 74 (galeti de apa)

37 x 5 = 185 (galeti de balast)

e) Problema 5 (figurarea prin litere si combinatii de litere):

Intr-o excursie s-au inscris de 4 ori mai multi baieti decat fete. Daca ar mai veni 2 fete si ar renunta 4 baieti, atunci numarul baietilor ar deveni de 3 ori mai mare decat al fetelor.

Cati baieti si cate fete erau inscrisi pe lista?

Aceasta problema poate fi rezolvata folosind litere impartite in grupe figurate cu ajutorul cerculetelor. Deoarece avem de 4 ori mai multi baieti decat fete, fiecare grupa, la inceput, are 1 fata si 4 baieti:

^{. . .}

Deoarece numarul de fete stabileste numarul de grupe, prin inscrierea a inca 2 fete vor mai aparea doua grupe si, din ultima grupa din situatia initiala, vor disparea 4 baieti care s-ar retrage. In aceasta etapa, situatia se prezinta astfel:

^{. . .}

Conform ipotezei, numarul baietilor este de 3 ori mai mare decat al fetelor, deci, dupa regrupare, se obtine:

^{. . .}

Ultimele doua situatii dau cheia de rezolvare a problemei. Din fiecare grupa care avea 4 baieti, a fost repartizat cate un baiat in cele trei grupe care contineau numai cate o fata.

Deci s-au mutat:

3 (baieti) x 3 (grupe) = 9 (baieti), care provin din 9 grupe.

Acum sunt:

9 + 3 = 12 (grupe)

care contin:

3 (baieti) x 12 (grupe) = 36 (baieti)

1 (fata) x 12 (grupe) = 12 (fete)

Asadar, la inceput, au fost inscrisi pe lista:

36 (baieti) + 4 (baieti) = 40 (baieti)

12 (fete) - 2 (fete) = 10 (fete)

Nu exista un algoritm de rezolvare aplicabil tuturor problemelor de acest fel, de aceea, problemele care se rezolva prin metoda figurativa nu le putem include strict in categoria problemelor tip. Nu putem rezolva o problema fara a se face un desen, o schita sau o figura. Indiferent ca este metoda mersului invers sau probleme de miscare, metoda reducerii la unitate sau metoda falsei ipoteze pentru rezolvarea fiecareia suntem nevoiti sa realizam un desen ca elevii sa inteleaga problema si sa gaseasca mai usor calea de rezolvare.

Cele mai frecvente probleme care se rezolva prin metoda figurativa sunt problemele in care intervin marimi "continui", care se pot reprezenta prin segmente, si anume:

a)      probleme in care se cunosc suma si diferenta;

Suma a doua numere este 95. Sa se afle numerele, stiind ca unul este cu 17 mai mare.

p