CALCULUL SOLICITARILOR TERMICE ALE CAILOR DE CURENT IN REGIM STATIONAR SI NESTATIONAR

CALCULUL SOLICITARILOR TERMICE ALE CAILOR DE CURENT IN REGIM STATIONAR SI NESTATIONAR

1 Generalitati

Caile de curent (conductele electrice) cuprind totalitatea elementelor conductoare, de diferite configuratii si dimensiuni, care fac parte din ansamblul constructiv al aparaturii electrice, iar capetele acestora determina uneori bornele de legatura in circuit. Solicitarile termice ale cailor de curent sunt determinate de caracterul proceselor interne de dezvoltare a caldurii, de sursele calorice invecinate, felul transmisiei caldurii si mediul ambiant, care joaca un rol esential.

In cazul general, la caderi mici de temperatura in sectiunea cailor de curent, se poate aproxima ca pierderile specifice (puterea disipata in unitatea de timp si pe unitatea de volum) sunt uniform distribuite, fiind egale cu o valoare medie pentru sectiunea considerata, adica [20,90,100,101,137]:

, (1)

unde J reprezinta densitatea curentului electric (), este rezistivitatea materialului conductorului la temperatura mediului ambiant, - coeficientul de temperatura si temperatura conductorului la momentul t.

Astfel, in cazul considerat se poate aproxima ca temperatura este uniforma de‑a lungul perimetrului oricarei sectiuni transversale. Aceasta ipoteza permite ca in cazul unei disipatii neuniforme de caldura de-a lungul perimetrului unei sectiuni transversale oarecare, sa se adopte o transmisibilitate termica medie pentru intreg perimetrul:

(2)

unde:este transmisivitatea termica (globala) corespunzatoare portiunii din perimetru, in []; este marimea portiunii k din perimetrul sectiunii transversale considerate, in [m].

2 Ecuatia generala pentru calculul solicitarilor termice ale cailor

de curent

Pe baza principiului conservarii energiei, utilizand expresiile (5) - (8) se obtine ecuatia bilantului termic pentru elementul de volum corespunzator coordonatei x [20,90,100,101,137]:

, (9)

sau in forma explicita:

(10)

in care fiecare termen se exprima in [] si corespunde fluxurilor termice mentionate mai sus.

Fig. 1. Fluxurile termice pentru calculul bilantului termic intr-un

segmentconductor infinitezimal, de volum, al unei cai de curent

incalzite prin efect electrocaloric si cu disipatie termica prin suprafata laterala

Ecuatia generala a bilantului termic pentru conductorul considerat conform (10) are expresia:

(11)

in care:

c- este caldura specifica (a unitatii de masa), in [];

- este densitatea conductorului, in [];

θ(x,t) - este tempreratura conductorului in [K];

x- este coordonata geometrica axiala a conductorului, in [m];

λ- este conductivitatea termica a conductorului, in [];

ρ- este rezistivitatea conductorului, in [Ω m];

J - este densitatea de curent, in [];

Α - este transmisivitatea termica globala (medie), in [];

A - este aria sectiunii transversale a conductorului cilindric, in [];

S - este perimetrul sectiunii transversale a conductorului, in [m];

- este temperatura (invariabila) a mediului ambiant, in [K].

Daca la temperatura mediului ambiant se adauga supratemperatura (cresterea de temperatura) τ, care se datoreste incalzirii conductorului prin efect electrocaloric produs de curentii care il parcurg, se obtine temperatura conductorului: sau:

atunci ecuatia (11) se mai poate scrie:

(12)

In regim stationar, cand temperatura conductorului are o valoare bine determinata (θ = = const.) independenta de x si t rezulta si si deci din (12) se obtine:

(13)

ecuatie folosita la dimensionarea barelor de curent.

Cand la regimul stationar, prin conductor se propaga un flux termic axial egalizator, temperatura θ = θ(x) si deci iar din (12) se obtine:

(14)

ecuatie ce serveste la calculul firelor fuzibile.

In regim nestationar, cand θ = θ(t), rezulta iar din (12) se obtine:

(15)

care prin integrare duce la ecuatiile exponentiale ale incalzirii si racirii in ipotezele teoriei clasice cand parametrii de material nu variaza cu temperatura:

(incalzire), (16)

(racire), (17)

unde este constanta de timp termica.

La scurtcircuit curentii fiind mult mai mari decat curentii nominali, solicitarea termica a conductorului trebuie sa dureze un timp cat mai scurt.

La solicitarea termica de scurta durata a unui conductor, cand la extremitatea acestuia se aplica brusc o mare cantitate de caldura (de exemplu, prin izbucnirea exploziva a unui arc electric), in ipoteza neglijarii pierderilor disipate in mediul ambiant si din (12) se obtine:

(20)

care reprezinta ecuatia diferentiala a difuziei caldurii (Fourier) intr-un solid, prin conductie. 0Difuzibilitatea termica α = λ / (c · ρ · d_d) caracterizeaza reactia corpului asupra redistribuirii caldurii in domeniul considerat.

3 Procesul termic stationar al unui conductor, parcurs de un curent de lunga durata si fara variatie axiala de temperatura

La un conductor cu sectiunea constanta, incalzit prin efect electrocaloric de lunga durata, se poate aproxima ca temperatura nu variaza in lungul conductorului, daca acesta este infinit lung sau la capete are o izolatie termica ideala. Cedarea caldurii prin suprafata (laterala) de racire in mediul ambiant se face fie direct de la conductor la mediu, fie prin intermediul unui strat de izolatie. Pentru cazul mentionat avem urmatoarele ipoteze de calcul [20,90,100,101,137]:

- la regim stationar (θ = const.):

;

- temperatura este constanta in lungul conductorului:

; (24)

- lipseste propagarea caldurii in lungul conductorului:

Ecuatia bilantului termic (10), cu ipotezele de calcul (24), capata forma:

(25)

in care, pentru curent continuu, din (1), avem relatia:

iar pentru curent alternativ, din (4) rezulta:

Din (26) se pot determina dimensiunile sectiunii transversale a conductorului, efectuand produsul (s·A) pentru forma data a sectiunii:

- pentru conductoare cu sectiunea circulara, cu diametrul d:

(29)

4 Procesul termic stationar al unui sistem conductor neomogen cand exista un flux termic longitudinal egalizator

In numeroase cazuri, procesele termice stationare din caile de curent se caracterizeaza prin existenta unui flux termic axial, q_x = f(x), care poate fi determinat de:

- o distributie neuniforma a surselor de caldura in masa corpului;

- o racire inegala a suprafetelor corpului;

- prezenta surselor de caldura exterioare, localizate in zonele suprafetelor de frontiera, de-a lungul axei x.

In fig. 2 se prezinta schematic, sub forma de modele, cele mai tipice sisteme neomogene termic, pentru caile de curent din circuitele aparatelor si instalatiilor electrice. Cazurile 2a si 2b sunt intalnite la legaturile de contact si la intervalele dintre doi electrozi intre care se mentine o descarcare gazoasa (stabila), de la care caldura difuzeaza in partile frontale ale electrozilor. In cazurile 2c, 2d si 2e, variatia axiala a temperaturii si prezenta fluxurilor termice axiale egalizatoare sunt conditionate de dezvoltarea neuniforma a caldurii prin efect electrotermic si de racirea diferita a suprafetelor.

O solicitare termica similara se manifesta si la cazul 2f, cand bara, de sectiune uniforma pe o anumita lungime, este ecranata termic cu un strat de izolatie. In cazul 2g, calea de curent de sectiune uniforma, poate avea si parti care vin in contact cu medii de racire care au temperaturi si caracteristici de disipatie termica diferite si .

In cazul 2h se prezinta o cale de curent de configuratie complexa, cu racirea neuniforma pe diferite portiuni, situatie frecvent intalnita in practica.

Fig. Exemple de cai de curent (liniare), neomogene termic:

a) contacte in jonctiune frontala; b)  arc electric intre contacte deschise;

c), d) si e) bare cu sectiunea variabila (in trepte) de-a lungul axei x;

f) bara de sectiune uniforma, cu izolatie pe o anumita portiune; g )bara de sectiune uniforma, cu doua segmente racite de medii diferite (α1 α2) si temperaturi inegale (θ1 θ2); h) cale de curent de configuratie complexa si racire neuniforma (α1

Solicitarea termica stationara ( t=0) a oricarei parti k din caile de curent (liniare) neomogene termic, ilustrate in figura 2, conform (10) poate fi caracterizata prin ecuatia diferentiala:

(31)

unde p_k(θ) si α_k(θ) sunt implicit functii de spatiu, deoarece temperatura variaza in lungul axei caii de curent (θ = f(x)).

5 Procesul termic stationar al unui conductor cu sectiunea constanta, cand la capatul acestuia exista o sursa calorica exterioara

Pentru calculul in regim termic stationar a distributiei temperaturii in lungul unui conductor, cu sectiunea constanta, parcurs de curentul I, in prezenta unei surse calorice exterioare aplicata la unul din capetele acestuia (fig. 2 b), obtinem:

(39)

in care: [] si .

Solutia ecuatiei (39) reprezinta functia θ(x) a distributiei temperaturii in lungul conductorului, cu originea axei x la capatul unde se aplica sursa calorica exterioara (fig. 3) [20,90,100,101,137]:

Fig. 3. Variatia temperaturii in lungul unui conductor cu sectiunea constanta,

parcurs de un curent I, cand la un capat ( x = 0 ) se aplica o sursa calorica exterioara

(arc electric, contact etc.)

(40)

in care solutia particulara:

[K], (41)

reprezinta temperatura stationara a conductorului incalzit prin efect electrotermic, de curentul de conductie, in lipsa sursei calorice exterioare.

Conditiile de frontiera sunt:

(42)

Cresterea / scaderea de temperatura (θ_m - θ_s), respectiv temperatura maxima θ_m, se pot determina din conditiile (42):

de unde:

(44)

si respectiv:

(45)

care introduse in (43) permit obtinerea expresiei finale a distributiei temperaturii in lungul conductorului:

(46)

in care I = J·A este curentul de conductie prin calea de curent, in A.

6 Studiu de caz. Algoritm pentru calculul temperaturilor in sistemul

neomogen cu n contacte frontale

Se considera un sistem neomogen de lungime infinita, compus din trei cai de curent,aflate in jonctiune frontala in cele doua sectiuni de contact (fig. 6.1).

Prin cele trei conductoare trece curentul de conductie I si considerand ca in cele doua contacte se afla doua surse identice de caldura suplimentare Se determina distributia temperaturii in lungul cailor de curent si temperaturile maxime. Date numerice:

A - intensitatea curentului de conductie:

d = 1 mm - diametrul conductoarelor din cupru;

= 0,03679 w - puterea unei surse calorice suplimentare;

= 0,4 m - distanta intre jonctiuni;

- transmisivitatea termica la suprafata conductorului cilindric;

- conductivitatea termica a cuprului;

- rezistivitatea cuprului la ;

- coeficientul rezistivitatii la .

Fig. 6.1. Sistem neomogen de lungime infinita, compus din trei cai de curent aflate

in jonctiune frontala in cele doua sectiuni de contact

Originea sistemului de axe se alege in prima sectiune de contact, din stanga. Se adopta si rezulta:

Se considera:

, B1 = 5,448 si se determina variatiile temperaturii cu relatiile:

- pentru :

,

- pentru :

^,

- pentru :

^.

Rezulta urmatoarea reprezentare grafica:

Fig. 6.2 Variatia temperaturii in lungul celor trei de curent

Studiu de caz 2

Se analizeaza un sistem neomogen de lungime infinita, compus din sase cai de curent, aflate in jonctiune frontala in cele cinci sectiuni de contact (fig. 6.3).

Fig. 6.3. Sistem neomogen de lungime infinita, compus din sase cai de curent aflate

in jonctiune frontala si parcurs de curentul I

Fig. 6.4. Variatia temperaturii in lungul celor sase cai de curent

Temperatura maxima se obtine in jonctiunea a treia (x = 0,8 m), cu valoarea numerica .

7.1 Caracteristicile solicitarilor termice tranzitorii

Printre cele mai caracteristice solicitari termice tranzitorii ale aparatelor electrice, legate de regimul lor de lucru, mentionam [20,90,100,101,137]:

- procesul incalzirii aparatelor pe durata alimentarii la retea, pana la atingerea regimului termic stationar;

- procesul racirii dupa deconectarea de la retea;

- procesul incalzirii la sarcina de scurta durata;

- procesul incalzirii la regim periodic intermitent si

- procesul incalzirii la regimul de scurtcircuit.

Pentru corpurile izotrope, cu surse interne de caldura, procesul termic nestationar se caracterizeaza prin ecuatia:

[], (47)

in care:

θ = f(x,y,z,t) este temperatura,

λ - este conductivitatea termica,

p - in [], exprima productivitatea surselor interne de caldura,

c - este caldura specifica, in [],

- este densitatea mediului, in [].

Tinand seama de convectia termica laterala, ecuatia (47) in ipoteza unidimensionala ia forma:

, (48)

in care apar parametrii:

de material c,,λ;

termici θ, , α;

geometrici x, S;

temporali t,

electromagnetici p.

7.3 Calculul solicitarilor termice nestationare, in ipotezele teoriei clasice dezvoltate

Calculul solicitarilor termice se va baza pe ipotezele teoriei clasice dezvoltate (i.t.c.d.), cand unul din parametrii mentionati, sau mai multi, vor varia mai ales cu temperatura si respectiv cu timpul.

In aceasta situatie, rezultatele vor fi mai apropiate de conditiile reale de functionare a aparatelor electrice.

In calculele privind solicitarile termice, cand rezistivitatea si transmisivitatea termica variaza liniar cu temperatura, este necesar sa se cunoasca domeniul de valabilitate a functiilor liniare ρ(τ) = ρ(1 +) si α(τ) = α(1 + γ'τ), precum si valorile coeficientilor de temperatura corespunzatori acestor functii. Se cere astfel determinarea relatiilor de calcul pentru coeficientii si γ'. Coeficientul de temperatura al rezistivitatii (α') depinde de temperatura critica () a materialului conductor si de temperatura corpului rece () prin relatia:

[]. (72)

In Tabelul 1 se prezinta coeficientii de temperatura ai rezistivitatii α' = pentru principalele metale si aliaje folosite in aparatele electrice. Din acest tabel sunt excluse aliajele cu rezistenta electrica mare, la care valoarea lui α' se poate neglija.

Tabelul 1

Pentru conductoarele rotunde, la temperaturi absolute T 700 K, cedarea caldurii prin radiatie poate fi neglijata, fenomenul preponderent fiind convectia.

In Tabelul 2 se prezinta valorile pentru λ (la 0 sC) si γ' pentru solicitarile termice variind intre θ = 100 sC si 000 sC, pentru diferite fluide.

Tabelul 2