Reguli de inferența

Reguli de inferența

Rationamentul aproximativ utilizeaza cu preponderenta doua reguli de inferenta: compozitionala si modus ponens generalizat. Prima regula utilizeaza o relatie fuzzy pentru reprezentarea explicita a conexiunii intre doua propozitii fuzzy, pe cand cea de-a doua utilizeaza enunturi fuzzy "daca - atunci".

Daca S₁ si S₂ sunt nume simbolice de obiecte, iar P₁, P₂, Q₁, Q₂ sunt proprietati ale acestor obiecte, schema simbolica de inferenta pentru ponens generalizat este:

"S₁ este Q₁; daca S₁ este P₁ atunci S₂ este P₂; S₂ este este Q₂"  (3.45)

Regula compozitionala poate fi considerata ca un caz particular al celei de mai sus. Daca R este o relatie intre S₁ si S₂, inferenta compozitionala are forma:

"S₁ este Q₁; S₁RS₂; S₂ este Q₂" (3.46)

Reprezentarea semnificatiei unei reguli de tip " daca X este A atunci Y este B" se face prin relatii derivate din logica multivalenta, initiata de Lukasiewicz si dezvoltata de Rescher sau Bolc. Logica cu valori infinite propune doua moduri pentru determinarea valorii de adevar a aplicatiei

(3.47)

Semnificatia regulii fuzzy "daca A atunci B" poate fi considerata a fi aceeasi cu a propozitiei compuse fuzzy "non A sau B". Pentru ca operatia sau se executa cu operatorul de intersectie, este nevoie de extensiile lui non A si B. Se obtine astfel o prima relatie care reprezinta implicatia fuzzy:

(3.48)

Pentru reprezentarea implicatiilor, logica fuzzy preia mai multe relatii din logica multivalenta. Cele mai importante dintre acestea sunt:

implicatia Kleene - Dienes (sau Dienes - Rescher) se bazeaza pe operatorul cu trei valori logice R_b, definit astfel:

implicatia Lukasiewicz se bazeaza pe inlocuirea valorii max(p,q) cu suma marginita = min(1, 1-p+q), obtinandu-se relatia numita R_a:

implicatia Zadeh se bazeaza pe faptul ca in logica bivalenta are aceleasi valori de adevar cu Aceasta echivalenta se exprima fuzzy astfel:

implicatia stochastica utilizeaza operatia produs pentru intersectie si se bazeaza pe egalitatea :

implicatia Goguen porneste de la observatia ca in logica multivalenta se impune ca sa satisfaca relatia Acest lucru se intampla daca definim , ceea ce da urmatoarea relatie:

(3.53)

implicatia Godel este una dintre cele mai cunoscute in logica multivalenta:

Rezulta o relatie frecvent utilizata in logica fuzzy:

(3.55)

implicatia Sharp este mai restrictiva decat Godel:

(3.57)

implicatia generala este o combinatie intre implicatiile Godel si Sharp, bazata pe formula:

unde pot fi s sau g. in termeni fuzzy, aceasta da relatia definta astfel:

(3.59)

implicatia Mamdani este tipica pentru domeniul controlului fuzzy si se bazeaza pe identitatea :

Atunci cand nu se mentioneaza altfel, vom considera in continuare in aceasta lucrare mecanismul de inferenta cu implicatie Mamdani.

Intr-o aplicatie de control fuzzy, initial are loc interpretarea semnificatiei unei reguli pentru o valoare crisp e^* a intrarii procesului. Operatia se numeste focalizare (firing) si are ca rezultat o valoare fuzzy a comenzii (iesirii controlerului), numita taietura si definita astfel:

(3.61)

unde

Focalizarea este o inferenta bazata pe regula individuala, numita uneori inferenta scalata sau inferenta maxprodus (fara a avea nimic comun cu compozitia omonima).

Pentru cazul unor reguli multiple (reprezentate simbolic astfel: "daca e este LE^(k) atunci u este LU^(k)", k = 1,.,n), interpretarea Mamdani a unei reguli este:

(3.62)

In aceasta situatie, semnificatia intregului set de reguli se defineste ca:

(3.63)

sau, cu alte cuvinte:

(3.64)

Daca functia de apartenenta a intrarii crisp fuzificate e^* este , atunci focalizarea setului de reguli poate fi exprimata, in acord cu (2.1.61), astfel:

(3.65)

Relatia (3.65) defineste inferenta bazata pe compozitie.

Daca fiecare regula se focalizeaza separat, numim metoda inferenta bazata pe regula individuala. In acest caz se obtin n taieturi de multimi fuzzy, CLU⁽¹⁾,.,CLU⁽ⁿ⁾, adica:

(3.66)

si exista un maximum al tuturor iesirilor:

(3.67)

Se observa ca rezultatul din (3.67) este acelasi cu cel din (3.65).

In concluzie, inferenta bazata pe compozitie combina mai intai toate regulile in relatia , care apoi este compusa cu intrarea fuzzy, pe cand inferenta bazata pe regula individuala focalizeaza mai intai fiecare regula cu intrarea crisp e^*, iar apoi combina intr-o singura multime fuzzy cele n taieturi obtinute.