Deformarea barelor incovoiate

DEFORMAREA BARELOR INCOVOIATE

1. Parametrii deformarii

1.1.         Parametrii fundamentali (privind deformatia unui volum elementar)

Parametrii care definesc deformarea unui volum elementar sunt deformatia specifica liniara e si de formatia specifica unghiulara g. In elementele solicitate de incovoiere pura, deformatiile unghiulare sunt nule (g = 0) iar deformatiile liniare e, masurate in lungul axului barei, variaza liniar pe inaltimea sectiunii, cu valori nule in dreptul axei neutre (care o imparte in doua zone: una comprimata, cu fibre scurtate, alta intinsa, cu fibre alungite) (fig.3.40).

Fig. 3.40

1.2. Parametrii globali (privind deformarea unui tronson elementar de baza. Parametrii globali sunt raza de curbura barei 1/s, rotirea elementara dr (rotirea elementara a doua sectiuni aflate la distanta elementara dz), rotirea specifica cu (rotirea relativa a doua sectiuni aflate la distanta unitara( (fig. 3.41).

Fig. 3.41.

1.3. Parametrii practici ai deformarii (privind deformatiile absolute ale bazei). Parametrii practici ai deformarii sunt rotirea j (rotirea absoluta a unei sectiuni) si sageata v (deplasarea, pe directia normala la axa barei, a centrului de greutate al unei sectiuni ) (fig.3.42).

Fig. 3.42                                 Fig. 3.43

1.4. Relatii intre parametrii deformarii. Deformatia specifica e este proportionala cu curbura 1/ (conform relatiei 3.24):

e =

Din fig.3.41 se deduce relatia dintre parametrii globali ai deformarii:

(3.24)

Din fig.3.43, care prezinta un tronson elementar de bara in doua pozitii - inainte si dupa deformarea barei, se deduce relatia dintre cei doi parametri practici ai deformarii:

                           (3.25)

De unde, prin derivare, considerand si relatia (3.24), rezulta:

(3.26)

care face legatura intre toti parametrii deformarii.

2. Determinarea parametrilor deformarii

2.1. Relatii intre parametrii statici si parametrii geometrici ai raspunsului si schema relatiilor; expresia curburii.

parametrul

parametrii global  =

statici parametrul

fundamental t

Parametrii                              = eE

raspunsului

parametrul

fundam. e

parametrii e = y

geometrici parametrul

global 1/r

Introducand in legea lui Hooke (relatia dintre parametrii fundamentali ai raspunsului - t si e) expresiile lor in functie de parametrii globali M si 1/r, rezulta

(3.27)

Curbura barei este proportionala cu solicitarea, masurata prin momentul incovoietor M. Produsul EI, numit factor de rigiditate la incovoiere introduce in expresia curburii atat rigiditatea materialului, prin modulul de elasticitate E, cat si rigiditatea formei sectiunii, prin momentul de inertie I al suprafetei sectiunii in raport cu axa neutra.

De remarcat faptul ca expresia rotirii specifice

w = ,

care deriva din (3.27) si (3.24), are aceeasi structura cu expresia alungirii/scurtarii specifice e la solicitarea de intindere/compresiune centrica (3.2).

2.2. Ecuatia axei elastice a barei (a axei bazei in regim de deformare liniar - elastic) Cu (3.2b) relatia (3.27 devine

(3.28)

Intrucat pentru momente incovoietoare pozitive (in prezenta carora sagetile sunt pozitive) concavitatea barei este indreptata spre sensul negativ al axei v, derivata a doua a sagetii trebuie sa fie negativa, cu aceasta observatie, relatia (3.28) devine

(3.29)

Fig. 3.44

2.3. Determinarea rotirii si sagetii prin integrarea analitica a ecuatiei axei elastice. prin integrarea succesiva a ecuatiei (3.29) se obtin expresiile rotirii,

j(z) =

si sagetii v(z)

Urmatoarea aplicatie va urmari stabilirea ecuatiei elastice a barei si determinarea expresiilor rotirii si sagetii pentru o consola incarcata cu o forta concentrata la extremitatea ei (fig.3.45)

Fig. 3.45                                 Fig. 3.46

Intr-o sectiune S, la distanta z de incastrare, momentul incovoietor are expresia

M (z) = - P (l - z) (3.30)

Cu (3.30) ecuatia axei elastice devine

(l - z)

Integrand de doua ori, se obtine pe rand :

j = (l_z - ) + C_1,

v = + C_iz + C₂

Pentru z = 0 (in incastrare), si rotirea si sageata sunt nule; de unde, C1 = 0 si C2 = 0. Epresiile generale ale rotirii si sagetii sunt deci:

j(z) =

v(z) =

La capatul liber al consolei (pentru z = l), si sageata si rotirea sunt maxime (fig.3.46):

j_max =              (3.31)

v_max =               (3.32)

2.4. Determinarea rotirii si sagetii prin metoda grinzii conjugate (fictive). In paralel cu grinda reala (fig.3.49), pentru care urmeaza sa se determine parametrii deformarii j si v, se considera      o grinda fictiva, conjugata celei reale (fig.3.50).

Intre sageata v, rotirea j si momentul incovoietor M (parametrii ai situatiei reale) exista relatia, dedusa anterior.

               (3.33)

Intre incarcarea p, forta taietoare T si momentul incovoietor M (parametri ai situatiei fictive) exista relatia dedusa in partea a III-a a cursului.

Fig. 3.49                                 Fig. 3.50

Daca

p = ;

si

iar in conditiile in care constantele de integrare sunt nule,

v = M (3.34)

si

j = T            (3.35)

Ceea ce inseamna ca, in orice sectiune a grinzii reale, sageata si rotirea sunt egale cu momentul incovoietor si forta taietoare din sectiunea corespunzatoare a unei grinzi fictive, conjugata celei reale, supusa incarcarii

p (z) =

Anularea constantelor de integrare este conditionata de un anume mod de rezemare a grinzii fictive in functie de rezemarea grinzii reale. Unei incastrari a grinzii reale (cu j = 0 si v = o) in corespunde in grinda fictiva un capat liber (caci numai intr-o astfel de situatie si T si M sunt nule); unui capat liber al grinzii reale (cu j 0 si v 0) ii corespunde in grinda fictiva o incastrare (care asigura F 0 si M 0) ; unui reazem simplu sau articulat (cu j 0 si v = 0) la capatul grinzii reale ii corespunde in grinda fictiva acelasi tip de reazem (pentru care F 0 si M = 0). Modul de rezemare a grinzii fictive este sintetizat in tabelul de mai jos.

Urmatoarea aplicatie va urmari determinarea sagetii si rotirii maxime pentru o consola incarcata cu o forta concentrata la extremitatea ei (fig. 3.51).

Fig. 3.51

T_max = ,

j_max = T_max =

M _max =

v_max = M_max =

Aceleasi rezultate s-au obtinut si prin integrarea analitica a ecuatiei axei elastice, in cadrul aplicatiei de la punctul 2.3.

2.5. Formule uzuale pentru cazuri particulare de rezemare si incarcare. Tabelul urmator prezinta expresiile actiunii maxime si sagetii maxime pentru grinda simpla rezemata si grinda incastrata in doua situatii particulare de incarcare.

3. Proiectarea rigiditatii barelor incovoiate

Functionarea corecta a unei constructii este conditionata si de o anume rigiditate a elementelor sale. Deformatii mari dauneaza exploatarii, chiar daca rezistenta este asigurata.

Proiectarea rezistentei trebuie dublata de proiectarea rigiditatii.

Conditia de rigiditate care se impune de obiecei urmareste limitarea sagetilor. Cu o sageata mare ste perceptibila numai in raport cu o deschidere relativ mica, conditia de serie sub forma

                     (3.36)

unde f este sageata maxima, l - deschiderea iar k - un coeficient care depinde de functiunea elementului, de importanta sa etc. Valorile sale curente sunt cuprinse intre 200 si 400.