ELEMENTE GEOMETRICE ALE ANGRENAJELOR CILINDRICE

ELEMENTE GEOMETRICE ALE ANGRENAJELOR CILINDRICE

In urma analizei sistematizarilor angrenajelor cu roti dintate, se poate constata ca angrenajele cilindrice sunt cele mai des utilizate; de aceea in cele ce urmeaza se va prezenta, succint, geometria angrenajelor cilindrice cu dantura dreapta si inclinata, utilizate in reductoarele de turatie.

Elemente geometrice ale angrenajelor cilindrice cu dantura dreapta

Dantura dreapta este acea dantura de angrenaj cu dinti rectilinii si orientati dupa directia generatoarei suprafetei primitive a rotii dintate.

Angrenajul roata - roata este definit ca mecanismul format din doua roti dintate, care au aceeasi cremaliera de referinta. Cremaliera de referinta a unei roti dintate este cremaliera rezultata prin marirea la infinit a numarului de dinti ai rotii; aceasta se caracterizeaza prin urmatoarele proprietati:

este situata de aceeasi parte cu roata (fig. 1);

rotile care au aceeasi cremaliera de referinta pot angrena intre ele;

conform STAS 821, profilul acestei cremaliere, denumit profilul de referinta, este standardizat prin urmatorii parametrii:

unghiul de presiune al cremalierei (unghiul de inclinare al flancului cremalierei) ;

modulul cremalierei (m - SATAS 822);

inaltimea capului dintelui ;

inaltimea dintelui ;

inaltimea jocului ;

raza de racordare .

Sinteza angrenajelor cilindrice cu dinti drepti se reduce la sinteza pofilelor intr-o sectiune plana perpendiculara pe axele paralele ale rotilor; o astfel de sectiune se va numi in continuare  angrenaj plan.

Elementele geometrice caracteristice angrenajului cilindric cu dantura dreapta sunt urmatoarele (fig. 4):

 

a  b

Fig. 1

profilul dintelui care, uzual este reprezentat de o curba evolventica;

evolventa se defineste ca acea curba plana descrisa de un punct al unei drepte, care se rostogoleste fara alunecare pe un cerc numit cerc de baza, de raza r_b;

distanta dintre axele de rotatie (a_w) ale rotilor care constituie angrenajul;

linia de angrenare (AE) este locul geometric descris de punctul de contact al profilelor conjugate in planul bazei;

Linia de angrenare a angrenajului roata - roata este o dreapta (), tangenta la cercurile de baza (r_b1 si r_b2), angrenarea fiind posibila teoretic numai pe segmentul (BD), numit segment teoretic de angrenare.

segmentul real de angrenare (BD). Profilele dintilor fiind limitate prin cercurile de cap (r_a1 si r_a2), angrenarea se efectueaza doar pe segmentul BD, numit segment real de angrenare. Conform teoremei angrenarii, dreapta , fiind si normala comuna a profilelor in contact, intersecteaza linia centrelor O₁O₂ in punctul C, numit polul angrenajului;

unghiul de angrenare ( si ), reprezinta unghiul dintre normala la profilul dintelui in punctul considerat si tangenta la cercul de rostogolire sau divizare in punctul de intersectie a normalei cu acest cerc, sau unghiul dintre normala la linia centrelor in polul angrenarii (C) si normala la profilurile dintilor in punctul de contact;

gradul de acoperire (), pentru ca angrenarea sa fie continua trebuie ca ;

pasul circular al danturii (p), numit uzual pasul danturii, reprezinta arcul de cerc de divizare, caruia ii corespund un dinte si un gol alaturat (respectiv arcul dintre axele de simetrie a profilurilor a doi dinti consecutivi), si a carui valoare e data de catul dintre lungimea cercului de divizare si numarul de dinti ai rotii dintate; modulul danturii (m), numit si pas diametral, care este catul dintre diametrul de divizare al rotii dintate si numarul de dinti ai acesteia;

grosimea dintelui (s), numita si plinul dintelui, care reprezinta arul de cerc de divizare corespunzator unui dinte.

In continuare, se va analiza fiecare parametru implicat in proiectarea geometrica a angrenajelor cilindrice cu dantura dreapta.

Analiza acestor angrenaje se efectueaza in premiza ca intre dintii acestora nu exista joc lateral.

Profilul evolventic. In fig. 2,a, se considera doua plane suprapuse (1 si 2), in miscare relativa, ale caror centroide sunt o curba oarecare si o dreapta ; in timpul miscarii centroidale , un punct M din planul 2 descrie, in planul 1, o curba numita evolventa a curbei In functie de pozitia punctului generator, se deosebesc:

evolventa normala E_n, cand se afla pe dreapta ;

evolventa alungita E_a, cand apartine semiplanului 2" (de aceeasi parte cu

evolventa scurtata E_s, cand apartine semiplanului 2' (in exteriorul curbei ).

In raport cu aceste evolvente, este numita curba de baza.

In geometria angrenajelor, o importanta deosebita are cazul particular in care curba de baza devine cerc (de baza), iar dintre evolventele cercului prezinta interes tehnic evolventa normala (fig. 2,b).

 

a  b

Fig. 2

Evolventa normala a cercului reprezinta curba descrisa de un punct (M_y) al dreptei (), care se rostogoleste fara alunecare pe un cerc (). In rationamentele care urmeaza, este convenabil ca ecuatiile parametrice ale evolventei normale a cercului sa fie exprimate prin coordonatele polare ale punctului M_y () unde punctul M_y se afla pe un cerc oarecare de raza r_y; conform fig. 3, se obtine:

, (1)

in care , deoarece dreapta M_yA se rostogoleste fara alunecare pe cercul de baza (r_b). Raza polara r_y se obtine din :

, (2)

unde este unghiul de presiune al profilului pe cercul r_y.

Numarul de dinti (z). Un angrenaj are ca element cinematic definitoriu roata dintata (fig. 4); aceasta are un numar de dinti identici (z), dispusi echiunghiular, care formeaza dantura rotii.

Raportul de transmitere (u) reprezinta raportul dintre numerele de dinti, a celor doua roti, din componenta angrenajului:

(3)

Cu indicele 1 se noteaza parametrii rotii conducatoare, iar cu indicele 2, cei ai rotii conduse.

Distanta dintre axe (a_w) reprezinta lungimea segmentului de dreapta cuprins intre centrele rotilor. Conform fig. 4, distanta dintre axele unui angrenaj (a_w) este definita de razele cercurilor de rostogolire astfel:

(4)

distanta de referinta dintre axe (a), este data de relatia:

(5)

Din relatia de invarianta pentru distanta dintre axe, se poate scrie:

(6)

Modulul cremalierei de referinta (m₀)

Pasul diametral m, pe cercul de divizare r - care se numeste modulul cercului r - reprezinta a z-a parte din diametrul de divizare notat cu d

(7)

In tehnica, se lucreaza curent cu notiunea de modul, care este o valoare standardizata prin STAS 822 (vezi tabelul 9.9). In cazul limita, cand numarul de dinti (z) tinde spre infinit (), roata dintata devine cremaliera (fig. 1 si 5). In cazul cremalierelor standardizate, flancul dintelui este inclinat cu unghiul . Spre deosebire de roata dintata, cremaliera are pasul (p₀) si, implicit, modulul (), invarianti. Cu ajutorul rotilor si a cremalierelor pot fi formate, in plan, doua tipuri de angrenaje: angrenaje roata - cremaliera (fig. 5) si angrenaje roata - roata (fig. 6).

Diametrul si raza de divizare (d, r). Stiind ca modulul reprezinta a z-a parte din diametru, pentru cercul de divizare (r), din relatia (7), se poate scrie:

, iar (8)

In functie de valoarea diametrului de divizare se vor determina si celelalte diametre (raze) caracteristice rotilor dintate cilindrice (r_b, r_f, r_a .), precum si deplasarea de profil (

Unghiul de angrenare ). Pentru a defini unghiul de angrenare se vor analiza in prealabil doua notiuni suplimentare, si anume, unghiul de presiune pe un cerc oarecare , si unghiul de presiune al profilului evolventic pe cercul de divizare

Unghiul de presiune al evolventei normale, pe un cerc oarecare (). Intersectand o evolventa normala cu un cerc oarecare de raza r_y, se obtine un punct de intersectie M_y; unghiul () dintre normala la evolventa in M_y la cercul considerat este unghiul de presiune al evolventei in punctul M_y sau unghiul de presiune al evolventei pe cercul de raza r_y (fig. 3).

Unghiul de angrenare () al angrenajului roata - cremaliera este unghiul de presiune al profilului evolventic pe cercul de divizare

. (9)

Valoarea unghiului este standardizata, si are valoarea de , asadar, la angrenajul roata - cremaliera, unghiul de angrenare coincide cu unghiul de inclinare al flancului cremalierei (fig. 5).

Unghiul de angrenare (). Unghiul de angrenare al unui angrenaj roata - roata este unghiul de presiune al profilelor pe cercurile de rostogolire. Din relatia de invarianta pentru raze se obtine

; (10)

daca si , rezulta:

. (11)

Suma deplasarilor specifice (x_s), sau suma coeficientilor deplasarilor de profil. Angrenajele reale au, in general, jocul lateral nenul, cu scopul compensarii efectelor dilatarii, deformatiilor elastice si impreciziilor de executie. De acest joc se tine seama in fazele de proiectare. In premiza jocului lateral nul, plinurile si golurile pe cercurile de rostogolire sunt reciproc egale (fig. 6), adica

, (12)

din relatia grosimii dintelui pe un cerc oarecare (v. pc. 19, rel. (30)), rezulta:

, respectiv ; (13)

prin insumarea lor rezulta:

(14)

Prin inlocuiri, in relatia (12) se obtin

. (15)

Din combinarea relatiilor (14) cu (15), rezulta urmatoarea conditie de sinteza a angrenajului exterior fara joc lateral:

, (16)

semnul superior fiind pentru danturile exterioare, iar cel inferior pentru danturile interioare. Pentru determinarea sumei deplasarilor specifice (x_s), in continuare, se va face demonstratia pentru calculul involutei pe un cerc oarecare.

Deplasare specifica a rotilor (x) sau coeficientul deplasarii de profil. Intr-un angrenaj roata - cremaliera, dreapta de divizare, fiind permanent tangenta la cercul de divizare (), are o pozitie invarianta fata de centru rotii (fig. 5); ca urmare pozitia conturului cremalierei fata de roata poate fi controlata prin reglarea distantei dintre dreapta de divizare si dreapta de referinta.

Distanta (xm), dintre dreapta de referinta () si dreapta de divizare (), este numita deplasare. Dupa cum rezulta si din fig. 5, prin variatia deplasarii, se controleaza distributia plinului si golului pe dreapta de divizare si, implicit a plinului si golului pe cercul de divizare.

In proiectarea angrenajelor, nu se utilizeaza marimea denumita deplasare (xm), ci raportul dintre deplasare si modulul cremalierei, raport numit deplasare specifica (x).

Deplasare specifica minima a rotilor (x_min) sau coeficientul minim ai deplasarii de profil. Pentru determinarea acestui parametru se foloseste fig. 7, din care rezulta:

unde . (19)

Pentru cazurile de interes practic, se obtine relatia .

Raza cercului de baza (r_b), se obtine cu ajutorul relatiilor de invarianta pentru raze, din care rezulta:

(20)

Se poate afirma ca evolventele normale, care formeaza profilul dintilor sunt definite in raport cu cercul de baza:

(21)

tot in functie de aceasta se pot determina si unghiurile polare ale evolventei normale pe oricare dintre cercurile rotii dintate (fig. 5).

Raza cercului de picior (r_f), este determinata de cercul cu diametrul tangent la razele de racordare ale dintilor rotilor dintate (fig. 4), sau altfel spus de varful danturii cremalierei (fig. 5). Conform fig. 5 se poate scrie urmatoarea relatie:

, (22)

pentru dantura exterioara, iar pentru dantura interioara rezulta

. (22')

Raza cercului de cap (r_a), este determinata de cercul cu diametrul cel mai mare, fiind astfel unul dintre principalii parametri definitorii ai unei roti dintate. Conform fig. 4, razele de cap au urmatoarele relatii de calcul:

, respectiv (23)

Raza cercului de rostogolire (r_w). Distantele de la punctul C la centrele celor doua roti O₁ si O₂ (fig. 4) sunt numite cercuri de rostogolire (r_w1 si r_w2). Aceste cercuri executa o miscare relativa de rostogolire fara alunecare si sunt tangente in polul angrenajului C; intersectia dreptei de angrenare cu linia centrelor celor doua roti O₁O₂ determinand polul angrenarii C, respectiv cercurile de rostogolire de raza r_w1 si r_w2, a caror marime poate fi determinata functie de distanta dintre axe a_w si de raportul de transmitere u:

, respectiv (24)

Razele cercurilor de rostogolire mai pot fi obtinute si din relatiile de invarianta pentru raze, relatie des utilizata in proiectarea angrenajelor:

. (25)

Pasul pe cercul de divizare (p). Dispunerea dintilor unei roti este descrisa cu ajutorul notiunii de pas. Pasul circular p, pe cercul de raza r sau pasul pe cercul r, reprezinta arcul delimitat pe cercul r de flancurile omoloage a doi dinti consecutivi (fig. 5).

. (26)

Pasul pe cercul de baza (p_b). Modul de definire este similar cu cel de la pasul pe cercul de divizare. Acesta se poate deduce din relatia de invarianta pentru pasi:

(27)

de unde rezulta:

(27')

si se poate masura concret si pe segmentul real de angrenare BD (fig. 6).

Pasul pe cercul de rostogolire (p_w). Fiind tot un pas circular, dar pe cercul de rostogolire, se poate determina cu relatia de invarianta pentru pasi:

. (28)

Grosimea dintelui pe cercul de divizare (s), reprezinta plinul unui dinte si se deduce din fig. 5:

(29)

Grosimea dintelui pe cercul de cap (s_a), se determina cu ajutorul relatiei de invarianta a grosimii dintelui pe un cerc oarecare (rel. (30)); in conformitate cu fig. 5, sunt evidente urmatoarele relatii:

(30)

Relatia (30) poarta denumirea de relatie de invarianta a grosimii dintelui pe cercul oarecare. Conform acestei relatii, se poate scrie si relatia grosimii dintelui pe cercul de cap, in care cercul oarecare devine cercul de cap ().

. (31)

Numarul de dinti (N) peste care se calculeaza cota peste dinti (v. pc. 22), se determina cu ajutorul unei relatii aproximative (fig. 8):

AB=N plinuri + (N-1) goluri

, (32)

din care se obtine:

, pentru folosit in radiani

, pentru folosit in grade. (33)

Calculul numarului de dinti de regula conduce la valori fractionare (neintregi), care se rotunjesc, de regula, la numere intregi.

Cota peste dinti (W_N). Se utilizeaza pentru controlul preciziei prelucrarii rotii dintate evolventice cilindrice cu dinti drepti. Conform fig. 8, lungimea W_N este un segment de dreapta (AB) tangent la cercul de baza. Ca urmare, sunt evidente relatiile:

AB=OA+OB=OC+OC'=CC' AB=CC'.

In consecinta,

(35)

fig. 8

Prin inlocuirile de rigoare se obtine

. (36)

Gradul de acoperire ). In conformitate cu definitia segmentului real de angrenare, rezulta ca o pereche de profile intra in angrenare in punctul B si iese din angrenare in punctul D. Pentru a se asigura continuitatea transmiterii miscarii, este necesar ca o pereche de profile sa intre in angrenare inaintea iesirii din angrenare a celeilalte perechi. Aceasta conditie este indeplinita daca:

(37)

Deci, se defineste gradul de acoperire () ca raportul dintre segmentul real de angrenare (BD) si pasul pe cercul de baza (p_b). In fig. 6 este reprezentata diagrama gradului de acoperire; deoarece , in timpul angrenarii, angreneaza fie doua perechi de dinti (angrenare bipara) - la inceputul si la sfarsitul angrenarii - fie o singura pereche (angrenare unipara).

Exprimand segmentul real de angrenare in functie de parametrii angrenajului se obtine expresia segmentului real de angrenare:

(38)

de unde, tinand seama de definitia gradului de acoperire (37), rezulta expresia:

. (39)

Parametrii geometrici ai angrenajelor cilindrice cu dantura dreapta, anterior prezentati, sunt sistematizati in tabelul 1.

Tabelul 1

Elemente geometrice ale angrenajelor cilindrice cu dantura inclinata

Dantura inclinata este denumita acea dantura de angrenaj cu dinti rectilinii si inclinati fata de generatoarea suprafetei primitive (facand un unghi cu aceasta), la dreapta sau la stanga.

Datorita gradului de acoperire relativ mic al angrenajelor cu dinti drepti, la cresterea turatiei de functionare, aceste angrenaje sunt caracterizate si prin reducerea puterii transmise. Cresterea turatiilor utilizate in tehnica a impus cresterea gradului de acoperire al angrenajelor, ajungandu-se astfel la angrenajele cilindrice cu dinti inclinati. Notatiile si proprietatile caracteristice angrenajelor cilindrice cu dinti drepti raman valabile si pentru angrenajele cilindrice cu dinti inclinati, ca urmare, in continuare, se vor prezenta principalele aspecte geometrice care deosebesc dantura inclinata de dantura dreapta.

Sectiuni plane caracteristice rotii si cremalierei de referinta. Spre deosebire de o roata cilindrica cu dinti drepti, parametrii geometrici ai unei roti cu dinti inclinati se studiaza in trei sectiuni plane: planul frontal ( - fig. 9,a), planul normal ( - fig. 9,b) si planul axial ( - fig. 9,c). Conform fig. 9, planul frontal este perpendicular pe axa rotii, planul normal este perpendicular pe un dinte al rotii, iar planul axial contine axa rotii. In cazul rotii cu dinti drepti, planul frontal si planul normal coincid.

Fig. 9

Cremaliera de referinta. Conform fig. 10, o cremaliera cu dinti inclinati este, de fapt, o cremaliera cu dinti drepti la care planul frontal formeaza cu planul un unghi

Fig. 10

Marimi plane caracteristice rotii si cremalierei cu dinti inclinati. Sectiunea frontala a unei roti dintate cu dinti inclinati fiind circulara, se prefera ca descrierea rotii sa se faca prin parametrii geometrici din sectiunea frontala, unghiul de inclinare al dintilor pe cilindrul de divizare () si latimea rotii (b).

Parametrii cremalierei fiind standardizati in sectiunea normala, parametrii frontali se determina in functie de acestia pe baza fig. 10,a, rezultand:

; (40)

. (41)

Stiind ca pasul axial (p_0x) este a z -a parte din pasul (p_z), rezulta expresia utila in calculele de proiectare

. (42)

Alte marimi frontale se obtin din conditia conservarii distantelor pe inaltimea dintelui in cele trei sectiuni; pe baza fig. 10,b, in care sectiunea normala () si sectiunea frontala () sunt rabatute cu 90^o, se poate scrie:

(43)

. (44)

Unghiul de inclinare ) pe cilindrul r_y, este unghiul format de tangenta la elice cu directia axei cilindrului. Conform fig. 11, prin desfasurarea in plan a cilindrului de raza r_y si inaltime p_z, se obtine un dreptunghi in care diagonala este desfasurata elicei, deci rezulta ca

. (45)

Fig. 11

Numarul de dinti al rotii echivalente (z_e). In calculele de rezistenta, este importanta sectiunea minima a dintelui, care se obtine intr-un plan normal pe dinte. Intr-o astfel de sectiune, o roata cu dinti inclinati defineste o dantura plana eliptica, iar cilindrul de divizare descrie o elipsa, reprezentata in fig. 12 prin linie - punct. Conform fig. 12, roata echivalenta cu dinti drepti are raza de divizare (r_e) egala cu raza de curbura maxima () a elipsei de divizare:

, (46)

unde si m_0n sunt numarul de dinti si, respectiv, modulul rotii echivalente, iar A si B sunt semiaxele elipsei de divizare.

Modulul cremalierei de referinta Modulul reprezinta portiunea din diametrul cercului de divizare care revine unui dinte. De regula, pentru ca doua roti dintate sa poata angrena e necesar sa aiba acelasi modul.

- Modulul frontal (m_0f) este dat de relatia:

(47)

in care p_f este pasul frontal masurat in planul de rotatie al rotii (planul frontal).

- Modulul normal (m_0n) este dat de relatia

(48)

in care este unghiul de inclinare al dintilor, iar p_n este pasul normal, masurat in planul perpendicular pe directia dintelui (planul normal).

Pasul elicei (p_z), care reprezinta segmentul delimitat, pe o generatoare, de punctele consecutive de intersectie ale elicei cu generatoarea, altfel spus

(49)

unde z reprezinta numarul de elice (dinti), iar p_x - pasul axial. Aceasta relatie se regaseste si in relatia (42).

Numarul de dinti (N) peste care se face masurarea, pentru cota peste dinti, se calculeaza cu relatia (33) cu deosebirea ca z devine z_e, astfel:

(50)

Cota peste dinti (W_N). Expresia cotei peste N dinti, stabilita in cazul rotii cu dinti drepti (rel. (36)), ramane valabila si pentru roata cu dinti inclinati in sectiune frontala, astfel rezulta:

(51)

Fig. 13

Tinand insa seama ca masurarea lungimii peste dinti se efectueaza in sectiune normala (fig. 13), rezulta:

. (52)

Gradul de acoperire al angrenajelor cilindrice cu dinti inclinati (). Spre deosebire de angrenajul cu dinti drepti, angrenarea unei perechi de dinti dintr-un angrenaj cu dinti inclinati nu are loc simultan, in toate sectiunile frontale, ci succesiv. Prin urmare, conform fig. 14, calculul gradului de acoperire al angrenajului cu dinti inclinati, care are segmentul real de angrenare BD, se reduce la calculul gradului de acoperire al angrenajului in plan frontal (), care are segmentul real de angrenare

. (53)

Notand cu gradul de acoperire total al angrenajului cu dinti inclinati, rezulta:

, (54)

in care:

(55)

este gradul de acoperire al angrenajului in plan frontal, care are segmentul real de angrenare BD (v. rel. (39)), iar

(56)

este gradul de acoperire axial, datorat inclinarii danturii.

Fig. 14

Centralizarea parametrilor geometrici ai angrenajelor cilindrici cu dantura inclinata este prezentata in tabelul 2.

Tabelul 2