Reducerea sistemelor de forte coplanare

Reducerea sistemelor de forte coplanare

Daca suporturile tuturor fortelor care actioneaza asupra unui solid rigid sunt situate in acelasi plan (fig 2.19) avem de-a face cu un sistem de forte coplanare.

Intrucat sistemul de referinta este arbitrar, se poate alege unul din planele sistemului de referinta plasat chiar in planul fortelor, de exemplu planul Oxy. Vectorul rezultanta va apartine planului fortelor Oxy si deoarece vectorii F_i si vectorii de pozitie r_i fata de punctul O, sunt cu toti continuti in acelasi plan, rezulta ca toti vectorii moment M_oi sunt perpendiculari pe acest plan, in cazul nostru Oxy, deci vectorul moment rezultant va fi dirijat dupa axa Oz.

In acest caz, torsorul de reducere al sistemului de forte in raport cu un punct O, continut in planul fortelor, origine a sistemului de referinta ales, va fi:

 

Acest lucru inseamna ca momentul minim MR=0. Din aceasta observatie rezulta ca un sistem de forte coplanare se reduce la o rezultanta unica fata de punctul P situat pe axa centrala.

Fie punctul P un punct de torsor minimal (M_P=0). Axa centrala va trece prin acest punct si va avea directia vectorului rezultant .

Conform teoremei momentelor:

           

dar:     M_P=0   si   , deci:

sau

                                                

Aceasta este ecuatia vectoriala a axei centrale si in acelasi timp s-a regasit expresia matematica a teoremei lui Varigon, care intareste afirmatia ca in cazul sistemelor de forte care se reduc la o rezultanta unica, momentul rezultant este egal cu momentul vectorului rezultant, lucru valabil si in cazul sistemelor de forte coplanare.

Expresia analitica a ecuatiei axei centrale rezulta din proiectarea ecuatiei vectoriale (2.51) pe axele sistemului de referinta:

sau:

Se poate ajunge la aceeasi expresie si prin aplicarea ecuatiei generale (2.43), cu particularizarile de rigoare:

      

in care este necesar ca M_z - xY + yX = 0, pentru ca ultimul raport sa conduca la nedeterminarea 0/0.

Rezulta ca si axa centrala a sistemului de forte este continuta in planul foretelor. Pozitia axei centrale fata de punctul O mai rezulta si din relatia:

/M_o/ = r R sinα = R d

de unde rezulta distanta de la O la (Δ):

d=M_O/R                         (2.54)