Analiza economica a cuplului de probleme primala-duala

Analiza economica a cuplului de probleme primala-duala

Aplicatie

Un agent economic doreste sa stabileasca varianta optima de dotare cu masini-unelte achizitionate din import. Datele referitoare la capacitatea de productie, consumul de materii prime de tip R1 - achizitionate din tara si de materii prime de tipul R2 - importate, precum si preturile unitare de achizitie a trei tipuri de masini sunt sintetizate in tabelul de mai jos:

Prin analiza cererii pentru produsul ce urmeaza a fi realizat cu aceste masini, s-a ajuns la concluzia ca volumul productiei sa atinga un nivel anual de cel putin 700 unitati fizice. In plus, disponibilul de materii prime din tara si din import este de 500 unitati fizice, respectiv 300 unitati fizice.

Solutie

Obiectivul problemei: cost total minim pentru productia realizata pe cele trei masini-unelte.

Notam x_1, x_2, x₃ cantitatea de produs realizata pe fiecare dintre cele trei masini-unelte.

Modelul matematic asociat problemei este:

Solutia optima este: x₁ =120; x₂ = 0; x₃ = 20;

Valorile variabilelor de compensare: y₁ = 0; y₂ = 40; y₃ = 0; max f(x) = 1380 u.m.

Duala problemei are forma :

Solutia optima a dualei este : u₁ = 12/5; u₂ = 0; u₃ = -1; max g(x) = 1380 u.m.

Analiza economica a primalei functie de solutia optima a dualei

Valorile variabilelor de decizie din solutia optima verifica prima restrictie ca egalitate:

5 20 = 700 (y₁ = 0);

Pretul umbra corespunzator primei restrictii (variabila de decizie din solutia optima a dualei), u₁ = 12/5, reprezinta valoarea cu care va scadea costul total de achizitie la diminuarea capacitatii anuale de productie cu o unitate (de la 700 la 699 u.f.).

Daca scaderea este mai accentuata, de exemplu daca b₁ = 690, modificarea costului total de achizitie este influentata de valoarea  noii solutii optime a problemei modificate:

max g(x) =690 (-1) = 1356, iar max f(x) = 10 24 = 1356, deoarece solutia optima a problemei in cazul in care b₁ = 690 este

Resursa R1 este resursa excedentara deoarece a doua restrictie a problemei este verificata ca inegalitate (variabila de compensare y₂ = 40). Pretul sau umbra este zero (u₂ = 0). Ramane neutilizata o cantitate de 40 u.f. din resursa R1.

Resursa R2 este resursa rara (y₃ = 0), pretul sau umbra fiind u₃ = -1. Asta inseamna ca daca se va achizitiona in plus (fata de cantitatea disponibila de 300 u.f.) inca o unitate din resursa R2, costul total de achizitie va scadea cu o unitate.

Cea mai mare importanta relativ la realizarea programului optim o are prima restrictie, legata de capacitatea anuala de productie, pentru ca pretul umbra asociat ei are cea mai mare valoare: u₁ = 12/5. Urmeaza resursa R2, in timp ce resursa R1 nu influenteaza realizarea programului optim.

Analiza eficientei activitatilor problemei primale functie de solutia optima a dualei

Se aplica teoria ecarturilor complementare si se calculeaza: .

Daca , inseamna ca prin exploatarea masinii "i " se realizeaza o productie (apreciata prin pretul umbra) care amortizeaza costul ei unitar de achizitie.

Daca , utilizarea masinii "i" nu este eficienta, deoarece pretul umbra al valorii create prin utilizarea ei nu acopera pretul unitar de achizitie.

Pentru masina M1: , asadar achizitionarea masinii M1 este eficienta.

Pentru masina M2: , deci utilizarea masinii M2 nu este eficienta.

Pentru masina M3: , astfel folosirea celei de-a treia masini este eficienta.

Concluzie

Preturile umbra ofera urmatoarele informatii suplimentare, utile analizei economice a unei probleme de programare liniara:

Masoara contributia resurselor la realizarea unui rezultat/efort optim, evaluat prin functia obiectiv;

Permit ierarhizarea restrictiilor dupa importanta lor relativa la realizarea programului optim;

Pun in evidenta constrangerile economice si tehnice care reduc performantele sistemului analizat.