Rentabilitatea si riscul portofoliului modelul markowitz

RENTABILITATEA SI RISCUL PORTOFOLIULUI MODELUL MARKOWITZ

Lichiditatea tot mai ridicata a titlurilor pe piata de capital permite combinarea lor in portofolii diversificate, in conformitate cu preferinta sau aversiunea fata de risc a oricarui investitor de capital. Evaluarea acestor portofolii se va face sub acelasi criteriu rentabilitate-risc, cu particularitatea ca, in timp ce speranta de rentabilitate este o medie a rentabilitatii sperate a titlurilor din portofoliu, riscul acestuia este o combinatie a riscurilor individuale. Aceasta combinatie poate conduce (prin diversificare) la reduceri semnificative ale riscului total al portofoliului.

În consecinta, speranta de rentabilitate a portofoliului se va situa intre cea mai mica si cea mai mare rentabilitate individuala a titlurilor din respectivul portofoliu. Situarea acestei sperante de rentabilitate mai sus sau mai jos de aceste limite (minima si maxima) este in functie de ponderile titlurilor in formarea portofoliului:

E_p = xE_i + yE_j.

Riscul portofoliului este o combinatie intre riscurile individuale ale titlurilor componente:

.

Aceasta combinatie depinde de ponderile titlurilor in formarea portofoliului, dar si de marimea si sensul covariatiei _ij dintre rentabilitatile sperate ale titlurilor din portofoliu, respectiv de coeficientul de corelatie dintre aceste rentabilitati:

_ij = _ij · _i · _j.

Astfel, un coeficient de corelatie egal cu unu (corelatie strict pozitiva, _ij = 1) conduce la cel mai mare risc posibil al portofoliului ca medie ponderata a riscurilor individuale. Acest risc nu permite nici o imbunatatire a performantei portofoliului prin modificarea ponderilor din titlu. În orice combinatie x si y, raportul E_p/ ramane acelasi (nemodificat), fara o ameliorare in sensul cresterii rentabilitatii sperate pe unitatea de risc asumata.

Un coeficient de corelatie mai scazut (o < _ij < 0,5) conduce la o ameliorare semnificativa a riscului portofoliului, ceea ce constituie in fapt situatia frecvent intalnita pe piata de capital. Aceasta caracteristica a riscului portofoliului este cea care motiveaza temeinic diferitele strategii active si pasive de gestiune a portofoliului.

O corelatie nula (_ij = 0) intre rentabilitatile unor titluri (teoretic) independente ar conduce, la limita (portofoliu echiponderat), la o reducere de 50% a riscului portofoliului. Mai mult, corelatia strict negativa (_ij = - 1) poate conduce, la limita, la eliminarea totala a riscului portofoliului. Se recunoaste usor ca ambele situatii (_ij = 0 si _ij = - 1) sunt foarte, foarte rar intalnite pe piata de capital si, in consecinta, se studiaza numai cu caracter teoretic pentru evidentierea unor limite extreme ale riscului portofoliului.

Cele mai frecvente sunt corelatiile pozitive si de slaba intensitate si asupra acestora se concentreaza preocuparile de gestiune eficienta a portofoliului. Practic, se urmaresc doua "tinte": 1) portofoliul cu varianta minimala absoluta (PVMA, cu risc minim), pentru investitorii cu aversiune fata de risc, si 2) portofoliile eficiente care la fiecare unitate de risc suplimentar asumata asigura o crestere (maxim posibila) de rentabilitate sperata, pentru investitorii cu grade diferite de preferinta a riscului.

Speranta de rentabilitate a portofoliului se modifica numai in functie de ponderile x si y ale titlurilor componente. Aceasta modificare dE_p/dx este pozitiva si constanta, egala cu E_i - E_j si liniara (direct proportionala) cu ponderea x a primului titlu in respectivul portofoliu. Cu fiecare unitate de crestere a ponderii x, rentabilitatea sperata a portofoliului se modifica (constant) cu E_i - E_j.

Riscul portofoliului se modifica atat in functie de ponderile x si y, cat si de covariatia (coeficientul de corelatie) dintre rentabilitatile sperate ale titlurilor din portofoliu. Modificarea este neliniara si admite un punct de optim, respectiv PVMA:

d/dx = 2x( + - 2_ij) + 2(_ij - ).

Punctul de optim este posibil acolo unde derivata intai a riscului portofoliului in raport cu ponderea x este egala cu zero si in care aflam ponderea optima x* a primului titlu si, complementar, ponderea 1 - x* a celui de-al doilea titlu:

x* = .

În acest punct de optim este situat portofoliul cu varianta minimala absoluta (PVMA), care separa multimea portofoliilor posibile (din combinatiile x si y) in doua submultimi: a) portofolii ineficiente, dominate, situate sub PVMA si care asociaza la fiecare crestere de risc de portofoliu o (atentie!) scadere de rentabilitate sperata si b) portofolii eficiente, dominante, situate deasupra PVMA si care asociaza la fiecare crestere de risc de portofoliu o crestere (neliniara) a rentabilitatii sperate. Cresterea marginala are si o limita superioara, acolo unde aceasta este egala cu zero si care inchide multimea portofoliilor eficiente. Se delimiteaza astfel "frontiera eficienta" a tuturor portofoliilor eficiente posibile (inclusiv cel optim) intre PVMA si

În raport cu preferinta pentru risc, investitorul de capital va alege combinatia (portofoliul) eficienta cu cea mai mare E_p* scontata. Toate celelalte combinatii posibile sau chiar titluri individuale detinute cu aceeasi speranta de rentabilitate (egala cu E_p*) vor fi insotite de riscuri mai mari si sunt deci ineficiente.

Rentabilitatea portofoliului este dependenta de rentabilitatile sperate ale titlurilor care il compun si de ponderile acestor titluri in portofoliu. Rentabilitatea portofoliului este deci independenta de covariatiile rentabilitatilor titlurilor componente (luate doua cate doua = _ij). Oricat am combina si diversifica titlurile intr-un portofoliu nu vom putea obtine o rentabilitate a acestuia mai mare decat rentabilitatea sperata cea mai mare a unuia dintre titluri.

Din fericire, nu acelasi lucru se intampla cu riscul portofoliului. Acesta este dependent atat de riscurile individuale _ii si de ponderile x_i ale titlurilor din portofoliu, cat si de covariatiile _ij dintre rentabilitatile titlurilor luate doua cate doua. Covariatiile _ij sunt definite de coeficientii de corelatie _ij specifici titlurilor din portofoliu si care au marimi mai mici decat unu (corelatii pozitive si de slaba intensitate: 0 < _ij < 1). Din aceasta caracteristica a covariatiilor _ij poate rezulta un risc al portofoliului mai mic decat media ponderata a riscurilor individuale ale titlurilor componente, risc cu atat mai mic cu cat portofoliul este mai bine diversificat. Un caz aparte il reprezinta reducerea riscului portofoliului de polite de asigurare (cu egale si cu _ij = 0), reducere direct proportionala cu numarul (N) de polite din portofoliu: . Reducerea riscului portofoliului raportat la o rentabilitate medie a portofoliului va conduce la cresterea performantei acestuia, a valorii lui, prin reducerea riscului pe unitatea de rentabilitate dorita sau invers, prin cresterea rentabilitatii scontate pe unitatea de risc asumat (_p).

Modelul Markowitz de diversificare conduce deci la identificarea acestor portofolii eficiente de titluri riscante*, care ofera maximum de rentabilitate scontata pentru o cantitate de risc asumata de investitorii de capital in functie de comportamentul lor (aversiune sau preferinta) fata de risc. Frontiera eficienta incepe cu portofoliul cu risc minim (PVMA) scontat de investitorii cu aversiunea cea mai mare fata de risc.

Cazul portofoliului de trei titluri faciliteaza intelegerea metodologiei de aplicare a modelului Markowitz la portofoliul general de "n" titluri, respectiv a metodologiei de identificare a portofoliului cu risc minim, precum si a portofoliilor de pe frontiera eficienta. În fapt, portofoliul de trei titluri ne familiarizeaza cu calculul matriceal al compozitiei in x_i a portofoliului eficient cautat.

Functia-obiectiv este minimizarea riscului portofoliului sub cateva restrictii determinate de ipotezele modelului:

a)       restrictia bugetara, prin care se cere ca tot capitalul investit sa se regaseasca in titlurile cumparate din portofoliu: Sx_i = 1;

b)      cerinta de performanta a portofoliului, respectiv o anumita rentabilitate scontata , care sa fie media rentabilitatilor sperate ale titlurilor din portofoliu: Sx_iE_i = .

Sub aceste restrictii, optimizarea functiei-obiectiv (minimizarea riscului portofoliului) se poate face prin intermediul functiei combinate Lagrange:

.

Conditia de prim ordin ("first order condition" = FOC, in engleza) pentru optimizarea functiei L (derivatele partiale ale functiei L in raport cu x_i, ₁, ₂ sa fie egale cu zero) conduce la un sistem de n + 2 ecuatii cu tot atatea necunoscute. Aflarea necunoscutelor din acest sistem, respectiv vectorul-coloana X, se poate face prin calcul matriceal, respectiv prin inversarea matricei W a parametrilor din sistemul de n + 2 ecuatii cu n + 2 necunoscute si inmultirea acesteia cu vectorul-coloana K al rezultatelor la care trebuie sa ajunga sistemul de ecuatii: X = W^-1 · K.

Cautarea portofoliului cu risc minim este similara, dar mai simplificata, prin faptul ca functia-obi-ectiv (min ) nu are decat o restrictie, si anume cea bugetara: Sx_i = 1. În consecinta, sistemul matriceal va fi format din n + 1 ecuatii cu n + 1 necunoscute: x_i si ₁.

Portofoliile eficiente conform modelului Markowitz, dar care vor avea unele ponderi de titluri negative (x_i < 0), vor fi considerate nelegitime. Initial, modelul Markowitz impunea si aceasta restrictie: x_i ³ i = 1, 2,, n. Ulterior (W. Sharpe in modelul sau diagonal), aceasta restrictie s-a relaxat, admitandu-se (teoretic si foarte rar practic) existenta unor titluri vandute la descoperire (pe debit, short sales, in engleza). Aceasta ar permite cresterea bugetului de investit prin vanzarea (fara detinere) a unor titluri ce vor fi rascumparate la rata lor de rentabilitate sperata (in fapt, un credit cu dobanda egala cu E_i a titlului short-at). Astfel de portofolii eficiente cu titluri short-ate sunt considerate nelegitime (forteaza piata sa practice rate de dobanda diferite, altele decat cele rezultate din cererea si oferta de bani).

Un prim rezultat al modelului Markowitz de diversificare a portofoliului este reducerea riscului portofoliului prin eliminarea pe frontiera eficienta a componentei specifice a riscurilor individuale ale titlurilor din portofoliu. Cea care ramane in riscul portofoliului este componenta sistematica (de piata), definita aici prin covariatia _ij dintre rentabilitatile titlurilor luate doua cate doua. În portofoliul echiponderat (x_i = ), caracterizat de o dispersie medie a celor "n" rentabilitati individuale, riscul se rezuma, pentru n → ∞, la covariatia medie:

.

Multimea acestor covariatii defineste riscul de piata al portofoliului, care este o marime intrinseca a acestuia, imposibil de modificat prin diversificare. În fapt, el defineste in mod sintetic variabilitatea pietei de capital in ansamblul ei, ca urmare a variabilitatii principalilor indicatori macro-economici: PIB, rata inflatiei etc. În modelul de piata (si mai tarziu in modelul CAPM) s-a evidentiat prin covariatia _iM si prin _i contributia variabilitatii rentabilitatii titlului "i" la formarea riscului de piata , respectiv _M = 1 si invers.

Ca urmare a acestui fapt (eliminarea riscului specific), fiecare titlu are o "replica", o referinta (bench mark, in engleza), pe frontiera eficienta mult mai performanta in criteriul de evaluare renta-bilitate risc. Drept urmare, evaluarea titlului se va face in functie de portofoliul eficient de referinta, cel care, la acelasi risc (si anume doar riscul de piata, sistematic), ofera maximum de rentabilitate. Emitentul unui titlu nu poate cere alt pret la vanzarea lui decat valoarea portofoliului eficient de referinta, deoarece investitorul de capital este liber sa aleaga intre titlul propus spre vanzare si portofoliul eficient oferit de piata de capital.

Evaluarea proiectelor de investitii adoptate de intreprinderi se face, de asemenea, la aceasta referinta a pietei de capital, la rata de rentabilitate normala pentru riscul sistematic (de piata) din acea categorie de investitii. În consecinta, valoarea lor se adauga la valoarea firmei care le adopta si nu poate determina o crestere mai mare a valorii firmei (pentru faptul ca investitia diversifica activele firmei).

CUVINTE-CHEIE

CARE ESTE PAREREA DUMNEAVOASTRA?

Cum explicati ca rentabilitatea sperata a unui portofoliu (de doua titluri) nu poate sa fie mai buna decat cea mai ridicata rentabilitate sperata a unuia dintre titlurile din portofoliu?

În ce conditii riscul unui portofoliu (de doua titluri) nu poate fi mai mic decat cel mai scazut risc al unuia dintre titlurile componente?

În ce conditii se poate obtine reducerea la jumatate a riscului portofoliului in raport cu marimea riscurilor titlurilor componente? Idem, pentru eliminarea completa a riscului portofoliului. Exemplificati asertiunile de mai sus!

Cum exprimati rentabilitatea marginala a portofoliului de doua titluri in raport cu ponderea x a primului titlu component si ce marime are aceasta?

Cum exprimati riscul marginal al portofoliului de doua titluri in raport cu ponderea x a primului titlu component si ce marimi poate avea acesta?

Care este ponderea x* a portofoliului cu varianta minimala absoluta (PVMA)?

În ce conditii puteti obtine o marime negativa a ponderii x* din PVMA si cum interpretati aceasta?

De ce riscul PVMA nu poate fi eliminat complet?

Pot exista portofolii eficiente cu pondere negativa a unuia dintre titlurile componente? Cum interpretati aceasta? Este legitim sau nu?

Care sunt limitele inferioara si superioara ale frontierei eficiente?

Ce anume motiveaza investitia intr-un portofoliu eficient mai apropiat de PVMA sau, dimpotriva, mai apropiat de limita superioara a frontierei eficiente (unde rentabilitatea marginala sperata a portofoliului se apropie de zero)?

În ce conditii evaluarea titlurilor financiare se poate face dupa criteriul "speranta de rentabilitate"? De ce a disparut relatia rentabilitate~risc din evaluarea acestor titluri?

De ce vanzarea la descoperire (short-area) unui titlu financiar permite investirea unui capital superior celui detinut initial de investitor in cumpararea celorlalte titluri? Mai mult, de ce rentabilitatea si riscul unui portofoliu raman in continuare corelate cu acesti parametri ai titlului vandut la descoperire?

Cum pot fi integrate in functia-obiectiv (de minimizare a riscului portofoliului) restrictia bugetara si cerinta investitorului de a obtine o anumita rentabilitate scontata?

Care sunt conditiile pentru optimizarea functiei-obiectiv (minimizarea riscului) si cum poate fi efectiv operationalizata aceasta optimizare?

De ce portofoliul optim diversificat de pe frontiera eficienta reprezinta o norma de evaluare (o referinta) pentru un titlu care are acelasi risc ca portofoliul de referinta?

De ce nu se remunereaza in mod normal (de catre piata) riscul specific al titlului si de ce se remunereaza numai cel sistematic de piata? Explicati aceasta intr-un portofoliu echiponderat.

Din studiile elaborate pe tema diversificarii portofoliului, aratati in ce conditii se poate obtine un portofoliu suficient de diversificat?

Exista vreun paradox intre cresterea performantei portofoliului prin diversificare si principiul de aditivitate a valorii de piata a proiectelor de investitii la valoarea firmei?