Cresterea eficientei invatarii

Cresterea eficientei invatarii

Formarea si dezvoltarea competentelor elevilor la disciplinele de invatamant reprezinta dominanta activitatii didactice.Educatorul are o ocazie nepretuita de . a realiza ceva maret .El se poate concentra asupa activitatilor cu act major in dezvoltarea elevilor care ,,asteapta rabdarea calda a cercetatorilor pentru a se desface si a incolti sub privirile lor uimite (Al.,,,,)

Cat de adac va putea sa cuprinda stadaniile educatorului procesele informationale ,psihologice si sociale ?Cat de departe va putea merge puterea de inventie?

George Polza apreciaza ca ,, tentativele de a gasii o metoda universala si perfecta n-aveau cum sa se bucure de mai mult succes decat cautarea pietrei filosofale ,despre care se preupune ca ar tansforma metodele ordinare in aur ,exista riscuri grandioase sortite sa ramana nimicsi totusi asemenea idealuri inaccesibile ii pot in pe oameni :nimeni n-a ajuns la Steaua Polara dar multi si-au gandit calea cea buna privind int-acolo"

Daca educatorul se va dedica cu sensibilitte in fata frumusetilor actului didactic .recurgand la o documentare consistenta si la crearea unui climat stimulativ ,va construi la o ascensiune spectacuoasa in plan psihologic a elevilor sai

De altfel crearea unui climat favorabil este stimulativ in activitatea de acreatie .Sunt de urmarit aici ,spre ilustrare ,acolo din ,, lui Michelangelo Buonarroti , caruia autoritatile i-au incredintat realizarea picturilor Capelei Sixtine.Acolo se poate citi :Posesorul acestui atestat este Michelangelo -sculptorul .E un om care are nevoie de blandete si incurajare pentru a realiza ceva .Daca va fi tratat cu dragoste si omenie va realiza lucruri care vor uimi lumea "[]

In perioada scolaritatii fiecare elev a avut momente de entuiasm ,stari de emulatie ,izvorate din niste activitati care au declansat adevarate atractii psihologce pentru astfel de activitati.Este de dorit ca asemenea momente sa fie cat mai frecvente .Eficienta lor este net superioara activitatilo de rutina ,ca rezultat al atactiei psihologice pe care o provoaca.

Exemplele care urmeza sunt in mare parte alese dintre cele utilizate de-a lungul anilor in activitatea didactica si care se inscriu in lumea ideilor mentionate mai sus.

Ele redau adesea ,putine cunostiinte ,rezolvandu-le ,elevul are ocazia sa-si,,,, si sa-si puna in valoare originalitatea ,perspicacitatea ,creativitatea ,spiritul artistic.

Exemplele date isi propun sa acopere o zona mai putin prezenta in literatura scolara incercand sa familiarizeze elevul cu ideile si tehnicile des utilizate in abordarea problemelor ..

Exemplul 1. Exista noua numere naturale consecutive ,fiecare fiind numar compus?

Raspuns:Exista :

10!+2;10!+3,,10!+10 unde 10!=1x2x310

Exemplul 2.Mai multi copii ,grupati in perechi au cules ciuperci .Tn fiecare pereche erau un baiat si o fata ,iar ciupercile culese de baiat erau de doua ori mai multe sau de doua ori mai putine decat cele culese de fata .Se poate intampla ca toti sa aiba impreuna 2009 ciuperci?

Raspuns Nu

Sa observam ca numarul ciuperci,or pentru fiecare pereche ,se divide prin 3.Aceasta inseamna ca numarul total al ciupercilor se divide pin 3 .Dar 2009 nu este divizibil cu 3

Exemplul 3.Fie N un numar natural si divizorii sai naturali (inclusiv 1 si numarul insusi)Atunci

Solutie: Idee daca d este un divizor al lui N atunci este un divizor al lui N .Prin urmare , sunt exact divizorii scrisi in alta ordine Hence,

Exemplul 4.Sa se demonstreze ca un numar are un numar impar de divizori naturali daca si numai daca el este patrat perfect

Solutie.Daca d este un divizor natural al lui N atunci si este tot un divizor al lui n .Deci divizorii sai se pot grupa in perechi .Un numar are un numar impar de divizori daca si numai daca exista o pereche in care cei doi divizori coincid , Therefore .

Exemplul 5.(teorema lui Lagrange) Daca n este un numar natural atunci

numarul numerelor prime cu m ,care nu-l depasesc pe m

Observatie .Demonstratia standard a relatiei date se bazeaza pe descompunerea lui n in factori primi si este foare tehnica.In acest mod ne-am departa de lumea ideilor acestui articol.

Solutie.Consideram fractiile

Considerate ca fractii ireductibile.numarul fractiilor cu numitorul d este exact

Exemplul 6.Sa se dea un exemplu de 10 fractii care sunt numere intregi astfel incat produsul oricaror doua dintre ele sa fie numar intreg.

Solutie.Alegem 10 numere prime si fractiile

Produsul oricaror doua dintre aceste fractii este

Exemplul 7.Suprafata unui cub 1x1x1 a fost acoperita complet cu sase patrate de arie totala egala cu 6 .Este obligatoriu ca toate aceste patrate sa fie identice?

Raaspuns .Nu este obligatoriu

Vom da exemplul corespunzator

Un patrat de arie 2 ,poate fi asezat cum se vede in figura 1.a pe fata uperioara a cubului si pe cate un sfert din fetele .(varfurile patratului se vor gasi in centrele acestor patru fete laterale )La fel se poate aseza un patrat pe fata de jos si pe cate un sfert din fetele laterale.Fiecare dintre cele patru regiuni ramase neacoperite poate fi acoperita cu un patrat de arie , ca in figura 1b.

Exemplul8.Un proiector lumineaza interiorul unui unghi de Se pot aseza 19 proiectoare astfel incat oricare trei sa nu fie coliniare si fiecare proiector sa lumineze numai un proiector dintre celelalte ?

Raspuns :Se poate

De exemplu le asezam in varfurile unui poligon convex cu 19 laturi si orientam suprafata luminata de fiecare asa cum se vede in Figura 2.(fiecare proiector va lumina semiplanul determinat de el si cel din stanga ,exterior poligonului )

Exemplul 9 .In sistemul solar Cainele verde sunt 2009 planete .pe fiecare dintre aceste planete este cate un astronaut care se uita la cea mai apropiata planeta.Sa se demonstreze ca daca distantele reciproce dintre planete snt diferite ,atunci exista o planeta la car nu se uita nimeni.

Rezolvare.Sa consideram doua planete A si B intre care distanta este minima.Astronautul din A priveste spre planeta B iar astronautul din B priveste spre A.Daca un astronaut de pe o planeta oarecare priveste spre planeta A sau b ,atunci exista o planeta la care nu priveste nimeni (raman 2007 planete si 2006 observatori) .In caz contrar ,excluzand din consideratii planetele A si B , obtinem un sistem format din 2007 planete pentru care este indeplinita ipoteza problemei.continuand rationamentul anterior ,vom ajunge la un sistem format din trei planete.Considerandu-le pe cele doua planete care au o distanta minima intre ele ,ramane o planeta a care nu se uita nimeni ,

Exemplul 10.Sa se demonstreze ca un poliedru convex are doua fete cu acelasi numar de laturi

Rezolvare.Consideram o fata care are cel mai mare numar de laturi ,fie acestaa n.Aceasta are n fete vecine.dar acestea pot sa aiba fiecare de la 3 la n laturi ,deci dintre ele se pot alege doua care au acelasi numar de laturi.

Exemplul 11.Din primele 3n numere naturale se aleg 2n+1 numere.sa se demonstreze ca pentru cele alese exista trei numere distincte a,b,c astfel incat 2b=a+c

Rezolvarea 1.Scriem numerele 1 ,.,3n astfel

1 4 7 3n-2

2 5 8 . 3n-1

3 6 9 3n

S-au evidentiat n coloane cu cate trei numere fiecare .daca din fiecare coloana s-ar allege cel mult doua numere ,atunci in total s-ar allege 2n numere si nu 2n+1 ca in enunt

Deci exista (cel putin) o coloana din care s-au ales cele trei numere .Acestea tei numere indeplinesc conditia problemei.

Rezolvarea 2.Dintre cele 2n+1 numere ,cel putin n+1 au aceasi posibilitate .(Daca cel mult n numere ar fi pare si cel mult n numere impare ,atunci ar fi alese cel mult 2n numere si 2n+1 numere)

Fie numere de aceasi posibilitate alese si toate cel 2n+1 numere alese.Consideram sirul .Acest sir are 2n+1+n=3n+1din multimea .Deci ,doua dintre numerele sirului sunt egale ,adica exista

(Numerele sunt intregi si diferite deoarece au aceasi paritate si diferite deoarece )

Exemplul 12.Se considera 51 de numere naturale mai mici decat 100.Sa se arate ca exista doua astfel incat unul se divide cu celalalt.

Rezolvare .Un numar natural n se scrie .Deoarece exista numai 50 de numere impare mai mici decat 100 rezulta ca dintre cele 51 de numere exista doua de forma cu a impar.Daca atunci se divide cu

Varianta.Fie cele 51 de numere din multimea .Numerele alese care sunt in multimea le inmultim cu puteri ale lui 2 pana ajung in multimea .Astfel se obtin 51de numere cuprinse intre 51 si 100.Cum intre 51 si 100 inclusiv,sunt 50 d numere ,vor exista doua de forma . care coincid, deci se divide cu .

Exemplul 13.Sa se arate ca oricum am alege 51 de numere din multimea exista doua care sunt prime intre ele.

Solutie.Orice numere consecutive sunt prime intre ele

Fie numere alese.Au ramas nealese 49 de numere .Daca printer numerele alese nu ar fi doua consecutive ,atunci intre ar fi cel putin un numar , j=1,2,.,50; in total au ramas gasi 50 numere nealese ,contradictie.

Varianta .Comparand numerele cate doua : , obtinem 50 de grupe.Atunci oricum am allege 51 de numere vom gasi doua dintr-o grupa ,deci consecutive si automat prime intre ele.

Exemplul 14.Se considera in plan o multime finite de puncte.Anumite perechi se unesc prin segmente .Sa se arate ca numarul punctelor care sunt unite cu un numar impar de puncte este par.

Solutie.a)Fiecare segment PQ este numarat de doua ori : o data pornind de la P spre Q si o data pornind de la Q spre P.Vom obtine astfel numerele impare si restul pare , fie acestea .Trebuie demonstrate ca numarul K este par.

Deoarece fiecare segment a fost numarat de doua ori !.rezulta ca este numar par .Cum sunt impare ,rezulta ca numarul 12 este par.

b) Fie n numarul segmentelor configuratiei sis a asociem fiecarui punct numarul segmentelor care il unesc cu alte puncte .

De exemplu:

Exemplul 15.Se considera patru cercuri avand ca diameter respective cele patru laturi ale patrulaterului ABCD .Sa se arate ca aceste cercuri acopera interiorul patrulaterului.

Solutie a)

Deci

b)Presupunem ca ar exista un punct S in interiorul patrulaterului ABCD ,neacoperit de cele patru cercuri .Rezulta ca unghiurile sunt strict mai mici de .

Deci contradictie

Exemplul 16.Se aleg 51 de numere din multimea .sa se arate ca exista trei numere a,b,c pentru cele alese astfel incat a+b=c

Rezolvare .1)Relatia a=b+c este echivalenta cu b=c-a

2)Fie cele 51 de numere alese .Cele 101 numere si apartin multimii deci exista doua dintre ele care coincide , adica (i.e) exista astfel incat

Observatie.In locul numerelor se pot considera numerele cu rationamentul anterior ,exista astfel incat

Exemplul 17.Sa se afle cel mai mic numar natural care poate fi exprimat ca o suma de 2002 termeni care au aceasi suma a cifrelor si o suma de 2003 termeni care au aceasi suma a cifrelor .(nu neaparat aceasi cu cea precedenta).

Raspuns 10010

Sa consideram pentru un numar natural n reprezentarile cerute.

Vom folosi faptul ca fiecare dintre numerele da acelasi rest la impartirea prin 9 ca si suma cifrelor ,notam acest rest prin r iar resturile respective pentru numerele

Atunci numerele n-2002r si n-2003s sunt multipli de 9 si deci numarul

(n-2002r) n-2003s)=2003s-2002r=2003(r+s)-4005r este multiplu de 9 =>r+s este multiplu de 9.

Daca r=s=0 ,atunci (intrucat , in acest caz , se divide cu 9 .daca atunci r+s=9 , si deci are loc cel putin una dintre inegalitatile .pentru numarul n se obtin inegalitatile respectiv .intrucat 10010=5 x 2002=4 x 2002 + 2002 x 1 iar numerele 4 si 2002 au aceasi suma a cifrelor ,rezulta ca 10010 este numarul cautat:

Exmplul 18.Intr-un sir finit de numere reale minim oricare sapte termini consecutive este negative ,iar suma oricaror unsprezece termini consecutive este pozitiva.Sa se determine numarul maxim de termini ai unui astfel de sir.

Solutie.a)Un astfel de sir nu poate contine 17 termeni

Contradictie!

b)Din a ) rezulta ca sirul are cel mult 16 termeni .Cum gasim un astfel de sir cu 16 termeni?

Notam

Conditiile din enunt se transcriu astfel:

Aceste consideratii conduc la concluzia de la a )si in plus la concluzia ca pentru 10 termeni , sirul poate exista.

Am ajuns la punctual in care se pot construe sirurile cu 16 termeni care satisfac conditiile din enunt ,alegem pentru sirurile din ultimul si inegalitati corespunzatoare.De exemplu:

etc

S-a determinat un astfel de sir si anume :

5,2,-13,5,5,5,-13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5

Exemplul 19.Orice numar natural prim cu 10 are un multiplu format numai cu cifre de 1

Solutia1.se considera sirul numerelor formate numai cu cifre de 1:

1 ;111;1111;.

si numarul natural n

prin impartirea la n sunt posibile resturile 0,1,..,n-1.Cum sirul dat are o infinitatea de termini , atunci exista doua dintre ele care dau acelasi rest prin impartirea la n ,deci diferenta lor se divide la n .

Fie ,cu i<j .Rezulta ca se divide cu n ,dar(n,10)=1 ,si deci se divide cu n .

Solutia 2.Consideram sirul

Cu rationamentul din prima solutie ,exista i<j astfel incat se divide la qn , i.e , se divide cu n

Dar (n )=1 =>

Exemplul 20.Care este numarul minim de elemente pe care trebuie sa le extragem din multimea pentru a fi siguri ca p...ele exista daca a,b astfel incat b<a<2b

Solutie .Cerinta b<a<2b ne sugereaza ca pentru un x ales sa-l consideram si pe 2x in speranta ca el poate fi mai mare decat alt numar ales.Astfel am avea in vedere ,,zonele" intre

Numerele determina in multimea urmatoarele 10 multimi

numerele : (in total 10 numere) nu indeplinesc conditia problemei.Deci trebuie alese mai mult de 10 numere .daca alegem numerele (in total 11 numere ) conditia din enunt nu este satisfacuta.Daca alegem insa 12 numere atunci sigur doua dintre ele se afla in una dintre ultimele 9 multimi:

2K=133+23+90=246-156=190 kk mai mult decat conditia 2k=10n

Sau mai putem redacta prin simplul Fapt ca ori de cate ori se poate multiplica un singur lucru ramane acelasi clasament deoarece o multime de n termini se poate scrie in acelasi mod dar nu in sens restrans .

Astfel putem zice ca ori de cate ori am inmultii aceleasi numere de n ori se va putea proceda in felul urmator:

Se da problema daca pe o multime de 10 elemente se poate scrie S=1 sau S=13

13-element impropriu

0-numar nul

Avem un n - acesta fiind elemental neutru din problema pritate ecedenta se poate scrie k o asociativitate de numere pe acelasi interval se poate

±1; ±2 3 sunt numerere de pe intervalul de mai sun care tinde la infinit sau poate la alt punct de pe axa ox.Astfel

Axa ox pe care se parcurge intervalul poate fi determinata prin doua feluri de serii:

Serie geometrica si serie algebica sau doar in interval ,ultimul folosind la determinarea numarului final.