Aplicatii la Criteriul integral al lui Cauchy

Aplicatii la Criteriul integral al lui Cauchy

. Fie seria . Deoarece , vom alege functia . Atunci, si deci, seria este convergenta.

. Studiati natura seriei . Vom alege functia . Atunci, , cand . Asadar, seria este divergenta.

. Studiati convergenta seriei armonice generalizate (seria (zeta) a lui B.Riemann), definita prin

, .

Solutie. Alegem . Atunci seria si integrala , cand , au aceeasi natura . Calculul integralei, in functie de , conduce la formulele:

Discutie: daca , atunci integrala este convergenta si deci seria converge catre functia , . Potrivit criteriului integral al lui Cauchy, rezulta imediat relatia intre integrala si seria ,  :

,

unde este sirul sumelor partiale al seriei . Asadar, avem

,

de unde deducem inegalitatile

.

Daca , prin trecerea la limita cand , cei trei membrii ai ultimei inegalitati tind, respectiv, catre limitele

.

Observatii. (i) Seria este divergenta si .

(ii). Aceasta dubla inegalitate arata ca .

(iii). Fie seria . Daca atunci seria este absolut convergenta. Daca , seria este convergenta si avem .

Se verifica usor relatia . Atunci .

(iv). Pentru valori particulare ale parametrului pot fi cunoscute valorile functiei . De exemplu, seria este convergenta si are suma egala cu  ; seria este convergenta si are suma egala cu .