Aproximarea variationala
Printre ecuatiile diferentiale de tip eliptic (asa cum este ecuatia Helholtz) exista doua clase de ecuatii interesante din punctul de vedere al microundelor: problema determinista si problema de valori proprii. Pentru aceste probleme, aproximarea variationala este foarte eficienta, garantind convergenta in conditii destul de putin restrictive. Aceasta aproximare consta in a gasi o functie care minimizeaza o anumita integrala. Aceasta functie este solutia problemei de cimp.
Fie L un operator autoadjunct si definit pozitiv. Vom avea:
a) Problema determinista
Aceasta consta in rezolvarea ecuatiei :
|
Unde este o functie de pozitie. De exemplu, pentru
si
o
distributie de sarcina electrica, rezolvarea ecuatiei (1) ne da potentialul
electric u corespunzator conditiilor la limita de tip Dirichlet sau Neumann.
Pentru moment ne vom concentra asupra conditiilor la limita omogene (
sau
). Daca
obtinem ecuatia Laplace, iar daca
atunci ecuatia (1) reprezinta o ecuatie
Helmholtz neomogena pentru o componenta vectoriala a potentialului vector, in
care f este o densitate de curent multiplicata cu
In cazul problemei deterministe, functionala ce urmeaza a fi minimizata este:
|
Unde u si f sunt presupuse functii reale. In cazul unor functii complexe, functionala utilizata este:
|
Produsul scalar utilizat este:
|
Unde W este volumul in care se calculeaza cimpul. Acest produs scalar asigura propietatea de
operator autoadjuct pentru L si de operator pozitiv definit, pentru conditiile
pe frontiera Dirichlet si Neimann care intereseaza in cursul nostru. Aceaste propietati sunt conditii necesare
pentru ca funtionala F sa-si atinga minimul pentru solutia ecuatiei (1).
In plus acest minim este:
|
Pentru produsul scalar considerat, aceasta inseamna:
|
Pentru conditiile la limita care ne intereseaza, aceasta se reduce la:
|
Aceasta integrala este proportionala cu energia inmagazinata in volumul W. Cimpul se configureaza astfel incit energia inmagazinata sa fie minima !
b) Problema valorilor proprii
Functionala (2) nu poate fi utilizata intr-o problema de valori proprii:
|
Deoarece mebrul drept in (8) nu este o functie cunoscuta. In acest caz se foloseste functionala:
|
Unde . Aceasta functionala este numita
raportul lui Rayleigh. Daca
este limita inferioara a functionalei,
obtinuta pentru
, atunci
este cea mai mica valoare proprie a
operatorului L, iar
este vectorul propriu corespunzator.
Pentru a
demonstra acest lucru, fie o functie arbitrara din domeniul de definitie
al operatorului L (
Fie a un numar real
arbitrar. In consecinta
. Dorim sa
cercetam conditiile in care F este stationara in jurul lui
. Inlocuind
|
in (9) obtinem:
|
Deoarece si h sunt fixate, F este o functie doar de a. Derivind F in raport cu a si impunind conditia ca aceasta derivata
sa se anuleze pentru
, obtinem:
|
Cu si
,
substituim
din (9) in (12) si obtinem:
|
Deoarece h este arbitrar, din (13) rezulta:
|
Relatia (14)
arata ca este
valoarea prorie , iar
este functia proprie corespunzatoare. Se
demonstraza ca daca functia
minimizeaza functionala (9) si este ortogonala
cu
|
Atunci este a doua valoare proprie
.
Asemanator, definind un spatiu Hilbert ortogonal lui
si
, se obtine
a treia valoare si functie proprie, si asa mai departe.
Deoarece minimul funtionalei (9) corespunde la cea mai mica valoare proprie, putem rescrie functionala sub forma:
|
Numaratorul este pozitiv daca operatorul L este pozitid definit. Numitorul este pozitiv ca propietate a produsului scalr, prin urmare:
|
Egalitatea in (17) se obtine doar pentru valorile si functiile proprii. In caz contrar, relatia este strict pozitiva Prin urmare o alternativa in minimizarea functionalei (90 este minimizarea :
|
Ecuatia diferentiala a carei solutie este o functie care minimizeaza o functionala se numeste ecuatia lui Euler. Prin urmare interesul nostru este de a gasi functionale a caror ecuatie Euler este ecuatia Helmholtz, ecuatia Laplace, etc..
c) Conditii de frontiera naturale
Conditiile de frontiera naturale sunt acelea pe care solutia care minimizeaza o functionala le verifia automat. Sa reconsidera functionala (2)
|
Fie functia care minimizeaza functionala F, si
o alta
functie in care
nu este
neaparat o functie din domeniul operatorului L. Derivind in raport cu a, facind apoi
, si in
final egalind derivata cu zero, obtinem:
|
Aplicind acum identitatea lui Green, (relatia (200 devine:
|
Relatia (21) trebuie sa fie valabila pentru orice h. Acest lucru se va intimpla cind vor fi satisfavute simultan relatiile:
|
(22a) |
|
(22b) |
Relatiile (220 arata ca fubctia care minimizeaza functionala (19) (functionala a carei ecuatie Euler este (22a) satisface in mod natural conditia Neumann pe frontiera. Prin urmare doar conditia de tip Dirichlet trebuie impusa explicit.
d) Metoda Rayleigh-Ritz
In literatura sunt date diverse functionale a caror minimizare ne dau o solutie a ecuatiei diferentiale care intereseaza in electromagnetism. Intrebarea care se pune in continuare este cum aflam functia care realizeaza aceasta minimizare. Cea mai cunoscuta metoda este Rayleigh-ritz.
Presupunem un sir finit de n functii:
|
Unde sunt coeficienti numerici arbitrari. Inlocuind
(23) in (2), obtinem:
|
Dorim sa
determinam acei coeficienti care minimizeaza (25):
|
Rearanjind (24)
in ordinea puterilor lui
|
Scriem k in locul lui j in a doua suma din (26) si tinem seama ca L este auto-adjunct:
|
Derivind (27) in
raport cu si egalind cu zero,
obtinem:
|
Sub forma matriciala relatia (28) devine
|
Sistemul de ecuatii
(29) se rezolva pentru a deduce coeficientii
Printr-o abordare identica, metoda se aplica si in cazul problemei de valori proprii, obtinindu-se sistemul:
|
Daca functiile de test sunt ortogonale, atunci valorile proprii
apar doar pe diagonala principala:
|
Exemplu:
Ecuatia Helmholtz (19
sau 20, cap1) corespunde la operatorul , iar functionala de
minimizat este:
|
Fie functia de test:
|
Unde functiile
din baza contin variatia spatiala a problemei, iar
sunt, in metoda elementului finit, valorile
componentei de cimp in nodurile retelei de discretizare. Urmind procedura de
mai sus obtinem sistemul de ecuatii:
| |
| |
|
Impunind conditia Rayleigh-Ritz pentru functionala
in care in loc de u apara obtinem ecuatia de valori proprii:
|
Odata alese
functiile bazei, se determina valorile proprii si vectorul propriu
Sa detaliem calculele, considerind problema unidimensionala:
|
O alegere simpla
a functiei de test este
aproximarea cubica:
|
Pentru a satisface conditiile la limita, intre coeficienti trebuie sa existe relatiile:
|
In acest caz, functia test, pusa sub forma canonica (33), este:
|
Elementele din matricile Rayleigh-Ritz :
|
pot fi acum evaluate:
|
(42a) |
|
(42b) |
|
(42c) |
|
(42d) |
|
(42e) |
Ecuatia matriciala de rezolvat va fi:
|
Cu solutia:
|
Functia test astfel calculata este:
|
Politica de confidentialitate |
![]() |
Copyright ©
2025 - Toate drepturile rezervate. Toate documentele au caracter informativ cu scop educational. |
Personaje din literatura |
Baltagul – caracterizarea personajelor |
Caracterizare Alexandru Lapusneanul |
Caracterizarea lui Gavilescu |
Caracterizarea personajelor negative din basmul |
Tehnica si mecanica |
Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice. |
Actionare macara |
Reprezentarea si cotarea filetelor |
Geografie |
Turismul pe terra |
Vulcanii Și mediul |
Padurile pe terra si industrializarea lemnului |
Termeni si conditii |
Contact |
Creeaza si tu |