Derivabilitate

Derivabilitate

Definitie

Fie si fie ;

Spunem ca functia are derivata in punctul daca si numai daca

exista.

In cazul in care are derivata in , limita din definitie se noteaza cu si se numeste derivata lui in ; daca are derivata finita in spunem ca este derivabila in .

Daca si este derivabila in fiecare punct al multimii , spunem ca este derivabila pe ; in cazul in care spunem, mai simplu, este derivabila. In acest caz, asociindu-i fiecarui punct din numarul real unic determinat se defineste o functie

functie pe care o numim derivata lui .

Derivate laterale

Definitie

Fie si fie ;

Spunem ca functia are derivata la stanga in punctul daca si numai daca

si exista.

In cazul in care are derivata la stanga in punctul , limita din definitie se noteaza cu si se numeste derivata la stanga a functiei in punctul ; daca este finita, spunem ca este derivabila la stanga in punctul .

Analog

Spunem ca functia are derivata la dreapta in punctul daca si numai daca

si exista.

in cazul in care are derivata la dreapta in punctul , limita din definitie se noteaza cu si se numeste derivata la dreapta a functiei in punctul ; daca este finita, spunem ca este derivabila la dreapta in punctul .

Folosind Teorema de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct cu limite laterale, se obtine imediat:

Teorema

Fie ; daca si , atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. Functia are derivata in punctul .
2. .
1. derivata la stanga a lui in punctul exista.
2. derivata la dreapta a lui in punctul exista.
3. =.

Daca 1. sau 2. este adevarata si daca unul (si deci toate) dintre valorile este finit, atunci este derivabila in punctul

Chiar daca nu este derivabila in dar este totusi continua in , avem cateva situatii interesante:

Definitie

Fie si continua in . Spunem ca este

a.      punct unghiular daca derivatele laterale exista, sunt diferite si macar una dintre ele este finita;

b.      punct de intoarcere daca derivatele laterale exista, sun infinite dar de semne contrare.