Ecuatiile lui Maxwell

Ecuatiile lui Maxwell

In 1864, James Clerk Maxwell a publicat teza sa "O teorie dinamica a campului electromagnetic",prezentand ecuatiile care stau la baza tuturor fenomenelor din electricitate si magnetism. Aceste ecuatii care guverneaza si comportamentul fotonilor sunt urmatoarele:

(1)

unde D este vectorul inductie electrica, E este vectorul intensitatea campului electric, B este vectorul inductie magnetica, H este intensitatea campului magnetic,este sarcina si J este densitatea de curent electric.

Deoarece se lucreaza la o frecventa fixa, atunci putem considera:

(2)

Astfel ecuatiile lui Maxwell se mai pot scrie:

(3)

Aceste ecuatii impreuna cu ecuatiile suplimentare:

(4)

definesc problema.

Tot ce tine de fizica materialului este continut de functiile functii ce se considera liniare, adica:

etc (5)

Primele calcule pentru structuri cu benzi fotonice ridica problema determinarii relatiei de dispersie . Se elimina fie componenta electrica sau magnetica din ecuatiile lui Maxwell, si cu presupunerea ca permeabilitatea magnetica este 1, va rezulta:

(6)

unde este viteza fotonilor in vid.

Cel de al diolea termen din ecuatie determina eliminarea modurilor longitudinale din spectru si asigura ca orice unda de forma

(7)

este intotdeauna o solutie pentru (6) cu conditia

(8)

Daca facem inlocuirea:

(9)

atunci vom obtine urmatoarea ecuatie:

(10)

Aceasta ecuatie ne confirma faptul ca o structura fotonica noua in care toate dimensiunile au fost expandate cu un factor a ne ofera o solutie a carei frecventa este mai mica decat cea originala cu un acelasi factor a. Astfel daca un material are o banda interzisa completa pentru frecvente de ordinul GHz - lor, frecventa va creste pe masura ce spatiile din reteaua structurii sunt micsorate. Acest rezultat este valabil cu conditia ca sa nu fie o functie de frecventa.

Urmatorul pas ar fi sa observam ca solutiile pentru un mediu periodic sunt de forma undelor Bloch si de aceea campul electric se poate dezvolta sub forma unei serii Fourier discrete:

(11)

unde g este vectorul de retea reciproc, iar cei doi vectori transversali unitate sunt definiti prin:

(12)

Fiecare dintre cele doua componente ale campului, s si p sunt transversale fata de vectorul de unda. Dezvoltarea Fourier este infinita, insa ea este trunchiata pana la valoarea (k + g) care este suficient de mare astfel incat suma sa convearga.

Astfel ecuatia (6) devine:

(13)

integrarea facandu - se peste volumul al celulei unitate.

Aceasta ecuatie este o problema generalizata de valori proprii si cu conditia ca sa nu depinda de ω poate fi rezolvata prin tehnici conventionale . Aplicand aceasta metoda, s - a calculat structura de benzi a cristalului de Yablonovite, in dezvoltarea Fourier folosindu - se cateva mii de unde plane, pana sa convearga. Astfel s - a inceput studiul materialelor fotonice cu benzi interzise, iar aceasta metoda are anumite avantaje cum ar fi:

Avem un algoritm stabil si fiabil pentru a calcula ω(k);

2. Realizarea unor programe de calcul se bazeaza pe transformarea Fourier si diagonalizarea matricilor;
3. Modurile longitudinale sunt eliminate si nu duc la probleme numerice de calcul;
4. r) poate fi arbitrar.

Exista insa anumite situatii cand acesta metoda este ineficienta:

1. Daca ε depinde de ω rezulta o ecuatie mult mai complicata a carei rezolvare presupune fixarea lui k si calculul lui ω;
2. Din punct de vedere experimental se masoara coeficientii de reflexie si transmisie la o frecventa fixa, adica toate undele Bloch trebuie sa aibe aceeasi frecventa, iar apoi sa calculam pe k si nu invers;
3. Aceasta dezvoltare de unde plane este ineficienta pentru structuri mai complexe, diagonalizarea matricei e proportionala cu numarul undelor plane la cub, din punct de vedere al timpului consumat;
4. Exista mai multi factori care trebuie luati in considerare, diferite tipuri de materiale, dimensiuni.

Aceste dificultati au fost intalnite si in cazul calculului structurii de benzi electronice, probleme care au fost eliminate prin folosirea unor tehnici mai eficiente ce pot fi aplicate si in cazul fotonilor.

Cele doua modele clasice a benzilor electronice sunt: "aproximarea electronului aproape liber" si "modelul legaturilor stranse". Aceste doua modele au ca punct de pleca-re doua idei complet diferite: primul presupune ca undele plane sunt o buna aproximare a functiei de unda a electronului, iar cel de al - doi - lea ca electronii interactioneaza puter-nic cu atomii si numai ocazional trec peste spatiul dintre un atom si urmatorul. Ambele stau la baza alor modele mai sofisticate si mai precise. Modelul "electronului aproape liber" este asemanator cu metoda undelor plane discutata mai sus. Dar exista posibilitatea ca sa gasim o analogie a modelului "legaturilor stranse" fata de benzile fotonice. Pentru a realiza acesta analogie trebuie sa reprezentam campul de unda al fotonului intr - o retea discreta de puncte in spatiul real. Cea mai dificila problema in reprezentarea ecuatiilor diferentiale intr - o retea este aproximarea derivatelor. Ecuatiile lui Maxwell mai au o proprietate de care trebuie pastrata, modurile longitudinale sunt "moduri eliminate" deoarece sunt solutii numai pentru frecvente nule.

Pornind de la ecuatia (3) impreuna cu transformarea Fourier vom obtine:

(14)

unde am presupus ca in interiorul mediului dielectric

(15)

Proprietatea "modurilor eliminate" este valabila pentru o clasa mai generala de ecuatii:

(16)

de unde rezulta

(17
Daca am alege rezulta (18)

Trebuie sa gasim si astfel incat sa aibe reprezentari simple in spatiu real, diferente de ecuatii si care sa aproximeze ecuatiile de mai sus si proprietatea modurilor longitudinale. In spatiul - k operatorii dieferentiali se transforma in:

, etc (19)

etc (20)

Astfel daca alegem:

(21)

si inlocuim in ecuatia (14) si transformam inapoi in spatiu real,

(22a)

(22b)

Am obtinut un set de ecuatii diferenta finite. In aceste ecuatii a,b,c reprezinta deplasarile fata de o distanta a de - a lungul axelor x, y, z. Daca, constanta de retea a este mica fata de lungimea de unda a radiatiei, aceste ecuatii sunt o reprezentare exacta a ecuatiilor lui Maxwell pentru o structura periodica. Toate aceste aproximari au fost facute pornind de la operatorii diferentiali, iar probelma veridicitatii lor se rezolva daca vedem ce reprezinta in spatiul pentru . In acest caz ecuatia (17) devine:

Daca calculam dispersia pentru k de - a lungul axei x, adica

(24)

vom obtine:

(25)

Cand a are valori foarte mici, aceasta relatie devine:

(26)

Ecuatiile (22) se pot rezolva folosind matrici de transfer.

Daca ω este fixa, ecuatiile (22) specifica relatia dintre campuri in diferite puncte ale zonei de esantionare.

Figura 1 Suprafata de esantionare a campurilor.

In figura 1 se observa o zona de esantionare a campurilor, in diferite puncte. Doua plane sunt marcate cu linie punctata. Pentru o frecventa fixa,daca stim forma campurilor corespunzatoare unuia din planurile marcate prin linie punctata, atunci datorita ecuatiilor (22) putem calcula campurile pentru celalat plan. De fapt, daca consideram o bucata dintr - un material pentru care cunoastem forma campurilor intr - un singur plan, atunci putem determina forma campurilor in orice punct din material. Astfel, daca stim forma campurilor pentru o frecventa fixa intr - un plan dintr - un material atunci putem "transfera" campurile prin intreaga bucata de material, prin aplicarea succesiva a ecuatiilor lui Maxwell.

Conceptul matricei de transfer este foarte simplu: daca cunoastem campurile magnetice si electrice in planul (x,y) pentru z = 0, atunci putem folosi ecuatiile lui Maxwell la o frecventa fixa pentru a gasi cimpurile in planul (x,y) pentru z = c. Sa presu-punem ca stim:

(27)

Atunci,

(28)

defineste matricea de transfer T.

Pornind de la ecuatiile (22) obtinem urmatorul rezultat:

(29)

(30)

Avem nevoie numai de doua componente pentru fiecare dintre campuri. Cea de a trei - a componenta rezulta din proprietatea "modurilor eliminate" si face parte din ecuatii:

(31)

Ecuatiile (29) si (30) definesc matricea de transfer:

(32)

unde suma se face peste toate punctele dintr - un plan.

Daca avem un material periodic care se repeta dupa L_z celule, putem calcula campurile de o parte sau de cealalta a celulei unitate, iar apoi sa calculam structura de benzi.

(33)

unde,

(34)

Deoarece matricea de transfer defineste cum trec undele printr - un material, este strans legata de coeficientii de transmisie si reflexie ai structurii.

(35)

Materialul fiind periodic, impunem conditia lui Bloch si identificam undele Bloch ca fiind vectorii proprii ai matricei de transfer. Astfel rezulta toate undele Bloch pentru o frecventa fixa.Ecuatia (36) mai are avantajul ca daca ε depinde de ω valorile proprii nu se modifica pentru ca ω a fost specificat avem o anumita valoare pentru ε.

Metodele de calcul care folosesc matrici de transfer mai au avantajul ca foosesc un numar mai mic de elemente decat ar fi necesar. Sa presunem ca avem un sistem periodic in care

(36)

celula unitate este divizata intr - o retea de 101010 puncte de esantionare. Putem sa diagonalizam ecuatiile (22) pentru a gasi frcventele proprii ale sistemului. Matricele ar avea dimensiuni de 60006000 si ar fi nevoie de niste calcule numerice foarte multe. In contrast, matricea de transfer pentru un asemenea sistem ar avea dimensiuni de 400400 reducand astfel durata de calcul.

Ecuatiile lui Maxwell se pot rezolva folosind si metoda "ordin N". Aceasta metoda se bazeaza pe urmatoarea idee: daca pornim cu un set de campuri arbitrare cu exceptia ca pentru vectorul de unda K se supun coditiei Bloch,

(37)

atunci putem folosi ecuatiile lui Maxwell pentru a determina evolutia lor in timp, putem determina chiar structura de benzi a sistemului. Astfel putem dezvolta campuri arbitrare in termeni de unde Bloch:

(37)

Daca facem transformata Fourier a acestor campuri rezulta o serie de functii delta centrate pe frecventele Bloch. Se fac anumite aproximari astfel incat daca transformam ecuatiile (22) in domeniul timp sa rezulte niste ecuatii diferente finite. Aproximarea,

(38)

da un set de ecuatii asemanatoare cu (22) care transformate in domeniul timp:

(39)

De unde rezulta ca putem determina campurile electrice si magnetice la durate de timp T si implicit structura de benzi a materialului.

Timpul necesar pentru a face calculele este proportional cu numarul de puncte si cu numarul de intervale de timp. Deoarece metoda este "ordin N", putem alege numarul de puncte N, iar intervalele de timp sunt independente de N.

O alta posibilitate de rezolvare a ecuatiilor lui Maxwell ar fi metode domeniu-frecventa. Dezvoltam campurile intr - un set de campuri armonice si scriem ecuatia lui Master pentru campul magnetic:

(40)

Ecuatia (40) este o problema de valori proprii ce poate fi rescrisa sub forma urmatoare:

(41)

undeeste operatorul diferential Hermitian, iareste a n - a valoare proprie propor-tionala cu patratul frecventei. Ecuatia (41) este rezolvata folosind o metoda prin care fiecare valoare proprie este determinata separat prin minimizarea . Pentru a gasi minimul, folosim metoda gradientului conjugat, mentinand ortogonal fata de starile joase. Metoda gradientului conjugat este cea mai eficienta deoarece sunt necesare mai putine iteratii pentru a converge. Pentru a determina directia gradientului, trebuie sa calculam numai N elemente ale matricei

(42)

Ecuatia (42) se rezolva folosind mai multe transformate Fourier rapide (FTR). Deoarece rotorul este un operator diagonal in spatiul reciproc, iar 1/ε(r) este un operator diagonal in spatiul real, fiecare dintre acesti operatori este determinat folosind transformate Fourier rapide. Astfel operatorulpoate fi diagonalizat fara a inmagazina fiecare element al matricei NN; numai N elemente ale trebuie pastrate.

Ecuatia (42) se rezolva astfel: se face transformata Fourier rapida a lui (r) pentru a obtine (G). Apoi, determinam rotorul lui (G) si definim .Transformam(G) in spatiul real si il impartim la . Notam (r) = (r)/ε(r), functie pe care o transformam inapoi in spatiul reciproc pentru a calcula ultimul rotor.

Sunt trei metode de calcul computerizat pentru a studia cristalele fotonice: domeniu-frecventa, domeniu-timp si metode "matricea de transfer". Tehnicile de calcul care utilizeaza matricea de transfer pornesc de la urmatoarea idee: pentru o frecventa fixa se realizeaza matricea de transfer care face legatura dintre amplitudinile campurilor la un capat al celulei unitate cu cele de la capatul celalalt. Rezulta astfel spectrul de transmisie si vectorii de unda din valorile proprii ai matricei. Se poate considera ca tehnicile de calcul cu matricea de transfer sunt un hibrid dintre metodele domeniu-frecventa si domeniu-timp. Calculele cu matricea de transfer sunt utilizate in special daca structura este decompozabila in componente mai simple. Metoda ordin N este din domeniu-timp, iar metoda gradientului conjugat este din domeniu-frecventa. Fiecare are anumite avantaje si dezavantaje. Metoda domeniu-frecventa calculeaza valorile proprii ale ecuatiilor lui Maxwell, iar fiecare camp calculat are o frecventa fixa. Tehnicile domeniu-timp itereaza ecuatiile lui Maxwell in timp, campurile sunt calculate la un interval fix in timp si nu la o frecventa fixa.