Formula dreptunghiurilor (metoda mediilor)

Formula dreptunghiurilor (metoda mediilor)

Formula dreptunghiurilor (metoda mediilor) se foloseste la calcularea valorilor integralelor definite in urmatoarele cazuri:

a)     functia de integrare f(x) nu permite determinarea primitivei cu ajutorul unor functii elementare;

b)     valorile functiei sunt cunoscute  doar pentru un sir finit de puncte.

Se considera functia f(x), continua impreuna cu derivata sa de ordinul I pe intervalul [a,b]. Se pune problema calcularii aproximative a integralei definite

.

Din interpretarea geometrica a integralei definite se stie, ca aceasta integrala numeric este egala cu aria trapezului curbliniu, marginit de graficul functiei y=f(x), axa Ox si dreptele x=a, x=b.

Divizam intervalul [a,b] in n subintervale egale cu ajutorul punctelor

a=x₀, x₁=x₀+h, x₂=x₀+2h,., x_n=x₀+nh=b.

Aici h b-a)/n reprezinta pasul de integrare.

Vom aproxima trapezul curbliniu cu baza pe subintervalul [x_i, x_i+1] cu un dreptunghi cu inaltimea egala cu ordonata functiei in punctul (x_i+ x_i+1)/2.

Aria acestui dreptunghi este egala cu : S_i=h*f(x_i+h/2), i=0,.,n-1.

Ca urmare aria trapezului curbliniu pe intervalul [a,b] poate fi considerata aproximativ egala cu suma ariilor dreptunghiurilor elementare:

S=S₀+S₁+.+S_n-1=h(f(x₀+h/2)+f(x₁+h/2)+.+f(x_n-1+h/2)).

De aici rezulta relatia

=h(f(x₀+h/2)+f(x₁+h/2)+.+f(x_n-1+h/2)).

Aceasta formula poarta denumirea de formula dreptunghiurilor (mediilor).

Numarul de diviziuni a intervalului [a,b] poate fi calculat astfel, ca aria obtinuta sa devieze de la aria reala cu exactitatea e data.

Se alege un numar de diviziuni. Se calculeaza valorea integralei pentru numarul dat de diviziuni apoi numarul de diviziuni se mareste si se recalculeaza valoarea integralei. Procesul se repeta pina cind valoarea absoluta a diferentei integralelor este mai mica ca e

Apriori numarul de diviziuni a intervalului [a,b] poate fi obtinut din relatia

.