Metode integrale pentru analiza Fourier

Metode integrale pentru analiza Fourier

Teoria fenomenologica a largirii liniei de difractie in cazul metalelor si aliajelor deformate plastic a fost dezvoltata acum aproape 50 de ani (Warren si Averbach 1950; Warren 1959). Aceasta teorie identifica doua tipuri de contributii la largirea liniei de difractie: una datorata dimensiunii de cristalit si una datorata deformarii. Primul tip de largire depinde de dimensiunea domeniilor de imprastiere coerenta, iar largirea datorata deformarii este cauzata de orice imperfectiune a retelei (dislocatii si diferite defecte punctiforme).

Dezvoltarea acestui camp al cercetarii a inceput atunci cand Sherrer (1918) a inteles ca dimensiunile mici de cristalitele conduc la largirea liniilor de difractie. Totusi, a trebuit sa treaca mai mult de un sfert de secol pana cand o teorie mai complexa si mult mai exacta sa fie formulata de Stokes si Wilson (1944). Ei au fost primii care au considerat deformarea retelei cristaline ca o alta sursa a largirii liniei de difractie. La putin timp teoria lor a fost imbunatatita semnificativ: Stokes (1948) a adaptat metoda deconvolutiei Fourier pentru a extrage din spectrul observat profilul fizic al liniei de difractie.

Rezultatele obtinute de Bertaut (1949) si Warren si Averbach (1950; 1952) au facut posibila o analiza mult mai detaliata a formei profilului liniei de difractie. In 1962, Wilson a introdus analiza variantei profilului, iar Ergun (1968) metoda convolutiilor succesive.

Desi metoda lui Stokes a impus limitari severe analizei, metoda Warren-Averbach de separare a largirii dimensiune-deformare a ramas cea mai putin restrictiva metoda pentru analiza largirii liniei de difractie.

Metode

Profilul observat al liniei de difractie este o convolutie a profilului instrumental g(x) cu profilul fizic f(x) (profilul probei), plus fond (Taupin 1973):

(1)

Distributia dupa lungimea de unda ω(x) si aberatiile geometrice γ(x) sunt tratate de obicei ca fiind caracteristice unui anumit instrument (profilul instrumental):

(2)

Pentru a obtine parametrii microstructurali ai probei analizate, trebuie ca profilul fizic (contributia probei) sa fie extras din profilul observat, h.

Sursele pentru contributia probei la largirea liniei de difractie sunt numeroase: dimensiunea de cristalit, imperfectiuni ale retelei cristaline (dislocatii, vacante, atomi interstitiali si substitutionali) care duc la deformarea acesteia, si defecte extinse (retele de dislocatii, stacking faults, twins, large angle boundaries, etc)

Extragerea profilului fizic din profilul observat necesita o determinare prealabila a profilului instrumental. In acest scop se poate folosi un material standard (ex LaB6) sau un material etalon propriu care sa indeplineasca anumite caracteristici: dimensiunea de cristalit cuprinsa intre 1-5 microni, lipsa defectelor structurale si puritate ridicata (ex: ZnO recristalizat la 1000 grade Celsius utilizat in aceasta lucrare la caracterizarea pulberilor de ZnO).

Daca se foloseste un standard ca LaB6, ale carei linii de difractie nu coincid cu cele ale probei analizate, este necesara modelarea analitica a parametrilor caracteristici a formei profilurilor liniilor de difractie, astfel incat profilul instrumental sa fie determinat pentru orice unghi de interes. In acest scop se foloseste relatia (Caglioti et all 1958):

(3)

Este foarte important ca functia instrumentala sa descrie in mod corect variatia caracteristica unghiulara a parametrilor instrumentali. Asimetria este modelata de cele mai multe ori de o functie Peareson-VII (Hall et all. 1977), in care variatia unghiulara a parametrului m care descrie forma functiei Pearson-VII poate fi definit ca (Howard si Snyder 1989):

(4)

Metodele de extragere a profilului fizic pot fi impartite in doua mari grupe:

- metode care presupun o deconvolutie, in care profilul fizic este extras din profilul observat folosind profilul instrumental determinat in prealabil (cea mai folosita este metoda transformatelor Fourier - Stokes 1948);

- metode care presupun o convolutie, in care profilul observat este construit si ajustat la cel obtinut experimental printr-o fitare cu functii analitice prin metoda celor mai mici patrate.

Metode integrale

1.1.1 Metoda lui Sherrer

Formula lui Scherrer stabileste ca largimea integrala a liniei de difractie in spatiul reciproc este invers proportionala cu dimensiunea aparenta : . Formula a fost obtinuta in ipoteza ca singura cauza fizica a largirii liniei de difractie este dimensiunea cristalitelor. se numeste constanta Scherrer si ia valori in intervalul .

Largimea integrala a liniei de difractie in spatiul reciproc depinde de largimea liniei de difractie in spatiul real prin relatia: .

In aceasta formula se exprima in radiani. Largimea integrala a liniei de difractie in spatiul reciproc se exprima in, daca lungimea de unda a radiatiei X incidente este exprimata in

Formula lui Sherrer devine: , in care se exprima in radiani, iar se obtine in , daca lungimea de unda a radiatiei X se exprima in .

In ipoteza ca domeniul cristalin este impartit in coloane de celule elementare, orientate in lungul vectorului de difractie si a caror lungime este variabila, . si reprezinta momentele de ordinul 3, respectiv 4, corespunzatoare functiei de distributie a lungimilor coloanelor (Langford&Wilson, 1978). In acest caz, reprezinta lungimea coloanelor mediata in volum. Aceasta interpretare este acceptata in prezent de catre specialisti si ea este raportata ca dimensiune a cristalitelor (Langford&Wilson, 1978; Scardi&Leoni, 2001).

1.1.2 Metoda Williamson-Hall (WH method)

In aceasta metoda se presupune ca largirea liniei de difractie se datoreaza dimensiunilor de cristalite (caracterizate prin lungimea coloanelor madiata in volum) si deformatiilor celulei elementare (caracterizate prin deformatia relativa ). Largimea integrala datorata dimensiunilor de cristalite se noteaza cu , iar largimea integrala datorata deformatiilor celulei elementare se noteaza cu .

Cele mai folosite formule in aceasta metoda sunt (Langford, 1992):

,

in care este largimea integrala totala in spatiul reciproc.

Pentru determinarea valorilor marimilor si se reprezinta grafic dependentele sau . Graficele acestor dependente sunt o dreapta descrisa de ecuatia , respectiv o parabola descrisa de ecuatia . Prelucrarea acestor grafice prin metoda celor mai mici patrate permite determinarea valorilor parametrilor si pentru primul caz, respectiv si pentru al doilea caz.

In figura . se prezinta determinarea dimensiunii medii a cristalitelor si a microtensiunilor cu ajutorul metodei Williamson-Hall. Analiza este facuta pentru o pulbere nanocristalina din .

Determinarea dimensiunii medii a cristalitelor si a microtensiunilor poate fi facuta si analitic, daca se cunosc largimile integrale ale profilurilor fizice pentru doua linii de difractie de ordinul 1 si de ordinul 2, pentru acelasi sistem de plane cristaline. Cele doua marimi se determina cu ajutorul ecuatiilor (7), (8) sau (9):

(7), 8), (9)

In aceste ecuatii: reprezinta largimea integrala a liniei de difractie, reprezinta dimensiunea de cristalite mediata in volum, reprezinta limita superioara a microtensiunilor, .

Ecuatia (7) se aplica in ipoteza ca profilurile liniei de difractie datorate dimensiunilor cristalitelor si microtensiunilor sunt descrise de functii de distributie Cauchy (Cauchy-Cauchy). Ecuatia (8) se aplica in ipoteza ca profilele liniei de difractie datorate dimensiunilor cristalitelor si microtensiunilor sunt descrise de functiile de distributie Cauchy, respectiv Gauss (Cauchy-Gauss). Ecuatia (9) se aplica in ipoteza ca profilele liniei de difractie datorate dimensiunilor cristalitelor si microtensiunilor sunt descrise de functii de distributie Gauss (Gauss-Gauss).

Aplicand ecuatiile (7), (8) si (9) pentru ordinele de difractie 1 si 2 ale unei linii de difractie, se obtin formulele de calcul (10) si (11) pentru calculul dimensiunilor de cristalite si a microtensiunilor.

(10) , (11)

In formulele (10) si (11): , , , .

1.1.3. Metoda Williamson-Hall modificata (MWH method

Limitarea metodei Williamson-Hall consta in faptul ca efectele de anizotropie datorate deformarilor celulei elementare nu sunt luate in considerare. Largimea integrala a liniei de difractie se datoreaza si deformarilor datorate disclocatiilor intr-un mediu elastic ..

Metoda Williamson-Hall modificata (MWH - Modified Williamson-Hall) ia in considerare natura si dependenta de directiile cristalografice a campurilor de deformatii datorate defectelor celulei elementare. Dislocatiile constituie sursa principala a deformatiilor celulei elementare (microdeformatiilor). Pentru descrierea dependentei acestora de directia se foloseste factorul de contrast. Valoarea medie a factorului de contrast a fost inclusa (Wilkens, 1970; Ungar et al., 1999) in ecuatiile . si 2 WH astfel:

,

unde este densitatea dislocatiilor, este o constanta care depinde de vectorul Burgers si de raza de taiere a dislocatiilor . Functia contine termenii superiori care depind de dislocatii (Ungar et al., 1998).

Pentru materialele cu simetrie cubica, factorul de contrast poate fi scris ca o functie simpla de indicii (Stokes&Wilson, 1944; Kivoglaz et al., 1983):

.

Valorile coeficientilor si au fost calculate cu ajutorul constantelor elastice ( sau ) pentru dislocatii elicoidale si de margine (Wilkens, 1987; Armstrong, Kalceff et al., 2004).

O notatie alternativa a coeficientului de contrast se introduce cu ajutorul relatiei , unde si (Ungar&Tichy, 1999; Ungar et al., 1999).

Daca sunt prezente defectele planare, atunci expresiile MWH trebuie corectate prin introducerea unui termen aditional:

In ecuatiile de mai sus, este probabilitatea globala a defectelor de retea, in care reprezinta probabilitatea defectelor de impachetare, reprezinta probabilitatea defectelor de ingemanare si este constanta celulei elementare.

, unde , , iar reprezinta multiplicitatea familiei de plane .

1.1.4. Metoda Warren-Averbach

Aceasta metoda se bazeaza pe analiza Fourier a profilului liniei de difractie.

Convolutiei functiilor de profil ale dimensiunilor de cristalite si ale microdeformatiilor in spatiul reciproc ii corespunde produsul transformatelor Fourier in spatiul real.

Coeficientii functiilor cosinus ai transformatei Fourier pentru profilul fizic (structural) se calculeaza cu formula:

,

in care coeficientul transfoematei Fourier care depinde de dimensiunile de cristalite este independent de ordinul de difractie, iar coeficientul transformatei Fourier care depinde de microdeformatii este dependent de ordinul de difractie.

Coeficientul Fourier care determina dimensiunea cristalitelor se calculeaza cu formula (Guinier, 1963):

,

unde  

Dimensiunea medie a cristalitelor mediata in suprafata , functiile de distributie ale lungimilor coloanelor celulelor elementare mediate in suprafata , respectiv in volum , se calculeaza cu formulele:

si

In metoda Waren-Averbach, deformatia relativa se defineste cu relatia , unde este lungimea nedeformata a coloanei de celule elementare, iar este deformatia coloanei respective.

Coeficientii Fourier care depind de deformatii se calculeaza cu relatia:

Pentru valori mici ale lui aproximatia folosita pentru calculul mediu al exponentei este data de relatia:

.

Aceasta relatie este exacta, daca deformatiile relative ...

Daca se cunosc profilele experimentale pentru doua ordine de difractie pe aceeasi famile de plane cristaline, atunci se pot determina coeficientii Fourier si .

Metoda Warren-Averbach presupune ca microdeformatiile sunt mici si sunt distribuite dupa o functie Gauss pentru toate valorile parametrului . In acest caz, separarea celor doua efecte se realizeaza cu ajutorul formulei:

.

In aproximatia data, se obtine:

,

in care reprezinta deformatia relativa patratica medie corelata cu distanta . Pentru a obtine graficul dreptei , pentru dat, se reprezinta punctele pentru reflexiile Bragg de ordinul 1 si 2 pe acelasi sistem de plane cristaline. Prelucrarea dreptei obtinute prin metoda celor mai mici patrate, permite determinarea valorilor lui si a lui - vezi figura

Daca profilul liniei de difractie, datorat dimensiunilor de cristalie, este descris de o functie Voigt, atunci coeficientii transformatei Fourier a functiei Voigt se calculeaza cu relatia:

Derivand relatia (.), se obtine:

Daca functiile de distributie ale lungimilor coloanelor sunt cunoscute, atunci se pot evalua dimensiunile medii ale cristalitelor mediate in suprafata sau volum cu formulele:

.

Integralele de acest tip pot fi calculate analitic (Prudnikov si altii, 1986):

Pentru dimensiunile de cristalie mediate in suprafata si in volum se obtin formulele de calcul:

si

Daca profilul liniei de difractie, datorat microdeformatiilor, este descris de o functie Voigt, atunci coeficientii transformatei Fourier a functiei Voigt se calculeaza cu formula:

,

iar deformatiile relative patratice medii se calculeaza cu formula:

.

Se observa ca deformatiile relative patratice medii scad cu cresterea lui . Formula de calcul a deformatiilor relative patratice medii contine un termen independent de si unul de pendent de :

, in care si

, in care

Profilul liniei de difractie al probei masurate este descris de functia care reprezinta convolutia functiilor care descriu profilul fizic si profilul instrumental:

. (3)

In ecuatia (3), .

Transformata Fourier a functiei este egala cu produsul transformatelor Fourier ale functiilor care descriu profilele fizic, respectiv instrumental: . (4)

Metoda Warren-Averbach se bazeaza pe determinarea transformatelor Fourier si din analiza profilelor liniilor de difractie masurate pentru proba standard si pentru proba analizata. Astfel se poate determina inversa transformatei Fourier a functiei si calcula . Rezultatul poate fi scris sub forma unei serii Fourier:

,

unde si sunt coeficientii functiilor cosinus si sinus, iar este lungimea coloanei formate din celule elementare si care este perpendiculara pe planele de difractie corespunzatoare liniei analizate.

Coeficientii sunt folositi pentru a determina dimensiunea mediata in plan a cristalitelor si microtensiunile celulei elementare. Daca se folosesc doua linii de difractie, corespunzatoare Se observa ca deformatiile relative patratice medii scad cu cresterea lui . Formula de calcul a deformatiilor relative patratice medii contine un termen independent de si unul de pendent de :

, in care si

, in care

Profilul liniei de difractie al probei masurate este descris de functia care reprezinta convolutia functiilor care descriu profilul fizic si profilul instrumental:

. (3)

In ecuatia (3), .

Transformata Fourier a functiei este egala cu produsul transformatelor Fourier ale functiilor care descriu profilele fizic, respectiv instrumental: . (4)

Metoda Warren-Averbach se bazeaza pe determinarea transformatelor Fourier si din analiza profilelor liniilor de difractie masurate pentru proba standard si pentru proba analizata. Astfel se poate determina inversa transformatei Fourier a functiei si calcula . Rezultatul poate fi scris sub forma unei serii Fourier:

,

unde si sunt coeficientii functiilor cosinus si sinus, iar este lungimea coloanei formate din celule elementare si care este perpendiculara pe planele de difractie corespunzatoare liniei analizate.

Coeficientii sunt folositi pentru a determina dimensiunea mediata in plan a cristalitelor si microtensiunile celulei elementare. Daca se folosesc doua linii de difractie, corespunzatoare ordinelor de difractie 1 si 2, atunci se pot determina valorile celor doi parametrii.

Pentru a evalua dispersia dimensiunilor cristalitelor, trebuie introduse functiile de distributie ale dimensiunilor de cristalite. In prezent, cele mai folosite functii de distributie sunt:

functia de distributie lognormala ;

functia de distributie gamma ;

functia de distributie propusa de York pentru fenomene de crestere normala .

Expresiile matematice ale acestor functii de distributie, precum si formulele de calcul pentru momentele de ordin n, sunt:

,

,

,

In relatiile (10), (11) si (12) :

, iar ;

este

este momentul de ordin 2.

Metoda Warren-Averbach a avut un mare succes si este inca o metoda de referinta in analiza profilului liniei de difractie. In afara limitelor pentru aproximarea expansiunii, oricum, teoria Warren-Averbach nu descrie mai degraba decat proprietatile fizice de baza ale sistemelor cristaline: fiind legate de comportarea elastica a mediului cristalin, distorsiunile de retea pot produce efecte anizotropice, iar largimea liniei nu creste monoton cu .

Concluzii

Cele mai importane avantaje care rezulta din sinteza si fitarea liniilor si spectrelor de difractie cu radiatii X prin metoda convolutiei sunt:

Profilul liniei de difractie si dependenta unghiulara a acesteia pot fi descrise folosind un numar minim de parametrii si date. Acest lucru este posibil, deoarece in procedura de rafinament sunt folosite convolutia numerica si diferentierea numerica. In acest fel, in ecuatia convolutiei poate fi utilizata o gama variata de functii.

Numarul de parametri necesari pentru a descrie modelul este mai mic decat in "modelul functiei analitice" si corelarile dintre parametrii sunt reduse semnificativ.

Cresterea complexitatii profilului liniei de difractie nu conduce automat la cresterea numarului de parametrii necesari pentru descrierea lui.

Calitatea fitarii prin metoda convolutiei este mai buna decat in celelalte metode.

Folosirea modelelor fizice pentru descrierea profilului instrumental al difractometrelor in locul functiilor empirice selectate direct, conduce la modelul parametrilor fundamentali.

Metodele lui Scherrer si Warren-Averbach permit determinarea a doi parametrii diferiti, care caracterizeaza coloana de lungime , formata din celule elementare.

Metoda lui Scherrer permite determinarea marimii medii , iar metoda Warren-Averbach permite determinarea marimii medii .

Pentru determinarea dimensiunii medii a cristalitelor, trebuie sa se emita o ipoteza referitoare la forma acestora.

In ipoteza ca forma cristalitelor este sferica, formulele (5) si (6) permit calculul diametrului mediu al sferei:

- metoda Sherrer (5)

- metoda Warren-Averbach (6)

Distributia dimensiunilor cristalitelor tinde spre o functie log-normala. In aceasta distributie exista un numar relativ mare de cristalite mici. Daca distributia log-normala este descrisa de functia:

, (7)

unde este valoarea mediana si este largimea acestei distributii, atunci diferitele valori medii ale dimensiunilor cristalitelor se calculeaza cu formulele:

(8)

(9)

(10)

1.1.5. Metoda Warren Averbach modificata

In cazul in care deformarea este cauzata de dislocatii, Wilkens a calculat deformatia medie patratica, presupunand ca dislocatiile sunt distribuite la intamplare in mod restrictiv (restricted randomly distributed):

(20)

unde b este lungimea vectorului Burgers, ρ este densitatea de dislocatii, R_e este raza efectiva(outer cut-off radius) si C este factorul de contrast al dislocatiei. Factorul de contrast depinde de orientarea relativa a liniei, a vectorului Burgers si a vectorului de difractie, ca si de constantele elastice ale materialului. Din cauza distributiei reale de dislocatii din proba este necesara medierea factorilor C ai dislocatiilor marginale si elicoidale cu sisteme de alunecare diferite si orientarea sistemului de alunecare in concordanta cu vectorul de difractie. Ungar si Tichy (1999) au aratat ca pentru cristalele cubice si hexagonale, daca distributia vectorilor Burgers este complet intamplatoare, dependenta lui de hkl poate fi calculata in mod explicit. Pentru cristalele cubice:

, (21)

unde _h00 este factorul mediu de contrast pentru reflexia h00, q este o constanta care depinde de constantele elastice ale cristalului si de tipul dislocatiei, si H²=(h²k²+h²l²+k²l²)/(h²+k²+l²)². Atat _h00 cat si q au fost calculate numeric pentru un numar de cazuri (Ungar et all 1999). In cazul cristalului hexagonal factorul mediu de contrast al unui sistem de subalunecare este dat de ecuatia (Ungar, Dragomir 2002):

(22)

aici x=(2/3)(l/(ga))², unde a este parametrul retelei in stratul compact. _hk,0, q₁ si q₂ au semnificatii analoge cazului cubic.

Prin introducerea ecuatiei (20) in ecuatia (13) si logaritmand, ecuatia (12) devine ecuatia Warren-Averbach modificata:

(23)

Este clar din ecuatia (23) ca daca deformarea este produsa de dislocatii, lnA_L trebuie reprezentat in functie de g² in loc de g². Aceasta este metoda Warren-Averbach modificata. Trebuie mentionat ca efectele stivei de defecte si de ingemanare trebuie luate in considerare in cazul acestei analize (Warren 2000). Aplicarea cu succes a acestei operatii a fost facuta de Ungar et al. (1998) prin includerea unui termen β'W(g) in ecuatia Warren-Averbach, adica prin adaugarea unui parametru in plus metodei.

Functia analitica folosita pentru descrierea profilului

Functia Gauss (G)

Expresia matematica a acestei functii este de forma:

sau

Daca functia Gauss este normata la unitate , atunci expresia matematica a acesteia devine:

, unde ,

Largimea integrala a functiei Gauss este egala cu:

.

Factorul de forma al functiei Gauss este egal cu .

In figura 6 este prezentat graficul functiei Gauss, descrisa de ecuatia cu doi parametrii: , pentru mai multe valori ale parametrului care este proportional cu largimea profilului graficului functiei la jumatatea inaltimii maxime .

Figura 6. Graficul functiei Gauss pentru diferite valori ale parametrilor

Functia Cauchy (C) sau Lorentz (L)

Expresia matematica a acestei functii este de forma:

sau

Daca functia Lorentz este normata la unitate , atunci expresia matematica a acesteia devine:

, unde , .

Largimea integrala a functiei Lorentz este egala cu:

Factorul de forma al functiei Lorentz este egal cu .

In figura 7 este prezentat graficul functiei Cauchz (Lorentz), descrisa de ecuatia pentru mai multe valori ale parametrului , care este proportional cu largimea profilului graficului functiei la jumatatea inaltimii maxime .

Figura 7. Graficul functiei Cauchy-Lorentz pentru diferite valori ale parametrilor

Nota. In ipoteza ca profilul liniei de difractie masurate pentru o proba reprezinta convolutia profilelor instrumental si fizic (Taupin, 1973): , largimea integrala a profilului liniei de difractie se poate calcula cu formulele:

(9), daca toate profilele au forma descrisa de functia Cuachy;

(10), daca toate profilele au forma descrisa de functia Gauss.

Functia Lorentz modificata

Expresia matematica a acestei functii normate la unitate este de forma:

, unde si

Functia Lorentz intermediara

Expresia matematica a acestei functii normate la unitate este de forma:

,unde si .

In majoritatea cazurilor liniile de difractie masurate sunt descrise bine cu ajutorul functiilor Cauchy sau Gauss (Klug si Alexander, 1974; Zoung si Wiles, 1982). In unele cazuri, pentru descrierea profilului liniilor de difractie cu radiatii X sau cu neutroni, trebuie sa se foloseasca functiile Voigt sau pseudo-Voigt (Wertheim si altii, 1974) sau functia Pearson-VII (Hall si altii, 1977).

Functia Pearson VII

Expresia matematica a acestei functii normate la unitate este de forma:

,

unde si

Functia pseudo-Voigt

Reprezinta o combinatie liniara a unei functii Lorentz cu o functie Gauss , avand aceeasi largime la jumatatea inaltimii maxime si se defineste cu expresia matematica:

,

Functia depinde de doi parametrii care caracterizeaza profilul liniei de difractie: .

 

Largimea integrala a functiei , normata la unitate, este egala cu inversul valorii maxime a acestei functii: .

Daca functia este multiplicata cu o constanta (intensitatea integrala), atunci largimea integrala se calculeaza cu formula:

Functia pseudo-Voigt inlocuieste perechea de parametrii , care caracterizeaza functiile Lorentz si Gauss, cu perechea de parametrii , care caracterizeaza functia pseudo-Voigt.

In programul FulProff expresia matematica folosita pentru functia Pseudo-Voigt este de forma:

in care si sunt parametrii de fitare. In acest caz, , iar reprezinta valoarea unghiului la care este centrata functia. Parametrul reprezinta contributia functiei Lorentz la functia pseudo-Voigt.

Constrangerile impuse functiei pseudo-Voigt sunt urmatoarele:

Largimile tuturor functiilor la semiinaltime au aceeasi valoare.

.

Contributiile functiei Lorentz pentru radiatiile si sunt egale.

Functia Voigt (V)

Reprezinta convolutia unei functii Gauss cu o functie Lorentz:

,

in care functiile Lorentz si Gauss au largimile la jumatatea inaltimii maxime egale: .

Expresia matematica a functiei Voigt folosita uzual (Langford, 1978) este:

,

unde . Functia complexa de eroare se defineste cu formula , in care este conjugata functiei complexe de eroare.

Largimea integrala a functiei Voigt se calculeaza cu formula (Schoening, 1965: (9a)

Halder si Wagner (1966) au propus o formula aproximativa de calcul care permite calculul rapid al largimii integrale:

(10a).

In cazul in care profilele sunt descrise de doua functii Voigt sau de o functie Voigt si o alta functie, largimea integrala se calculeaza cu formulele (9) si (10)

Functia Voigt este o functie care depinde de largimea integrala a functiei Lorentz si de largimea integrala a functiei Gauss :

,

unde .

In figura 9 este prezentat graficul functiei Voigt, descrisa de ecuatia , unde si pentru mai multe valori ale parametrilor si .

Figura 8. Graficul functiei Voigt pentru diferite valori ale parametrilor si (Curba neagra corespunde graficului functiei Gauss , iar cea rosie - graficului functiei Lorentz