OPERATII ALGEBRICE
I. NOTATII ALE MULTIMILOR UZUALE
N - multimea numerelor naturale
Z - multimea numerelor intregi
Q - multimea numerelor rationale
R - multimea numerelor reale
C - multimea numerelor complexe
unde
este multimea
matricelor patratice de ordin n peste multimea A, unde
- multimea
matricelor inversabile de ordin peste A, unde
, mai precis
- multimea cu m
linii si n coloane peste multimea A, unde
- multimea functiilor definite pe multimea A
cu valori in A, unde A este o multime nevida oarecare
- multimea functiilor bijective (inversabile)
definite pe A cu valori in A
- multimea permutarilor de grad n
Daca este un numar intreg care nu este patrat perfect,
iar
este o solutie fixata a
ecuatiei, notam:
Daca , multimea intregilor GAUSS.
Daca, deci avem:
Numarul intreg de este liber de patrate, adica un numar intreg diferit de 1 care nu se divide prin patratul nici unui numar prim.
Orice numar care nu este un patrat perfect poate fi scris in mod
unic sub forma
, unde
este un intreg liber de patrate
Pentrunotam cu
multimea radacinilor de ordinul n al
unitatii, adica:
unde
Pentru, fixat, notam:
II. OPERATII ALGEBRICE - INTRODUCERE SI EXEMPLE
Def.: Fie M o multime nevida. Numim OPERATIE ALGEBRICA pe multimea M (sau LEGE DE COMPOZITIE INTERNA pe M) o functie definita pe MxM cu valori in M:
care asociaza
fiecarui cuplu un unic element
Elementul se citeste x compus cu y' sau x operat cu y'
In algebra se
folosesc notatiile ' (aditiva) si
''(multiplicativa)
Exemple:
a)
adunarea
pe N, care este aplicatia:
b)
scaderea
pe Z, care este aplicatia:
c)
inmultirea pe R, care este
aplicatia:
d)
adunare pe care este aplicatia:
e)
reuniunea pe multimea a partilor unei multimi M care este
aplicatia:
In
cazul unei multimi finite o operatie
algebrica
pe M poate fi definita si prin ceea ce numim TABLA
OPERATIEI. Este vorba de un tablou de tipul:
Nota:
la intersectia 'liniei' i cu
'coloana' j se afla elementul
III. PARTEA STABILA
Def.: Fie M o multime nevida pe care este definita o
operatie '. O
multime nevida H a lui M se numeste PARTE A LUI M
STABILA
se numeste OPERATIE
PE H INDUSA DE OPERATIA * de pe M
Exemple:
a) submultimea Z este o parte a lui R stabila fata de adunare, deci adunarea pe Z este indusa de adunarea din R
b) submutimea 2Z a numerelor intregi pare este o pare a lui Z stabila fata de adunare dar si fata de inmultire
IV. ASOCIATIVITATE, COMUTATIVITATE, DISTRIBUTIVITATE
Def.: o operatie algebrica * ' pe o multime M se numeste ASOCIATIVA daca:
Exemplu: adunarea si
inmultirea pe fiecare din multimile sunt operatii
comutative.
Pe , cu
, adunarea este comutativa, dar inmultirea nu este
comutativa caci
.
Def.: Fie * ' si ' doua operatii pe aceeasi multime M.
Spunem ca operatia * ' este DISTRIBUTIVA LA STANGA fata de
operatia o ' daca:
Spunem ca operatia * ' este DISTRIBUTIVA LA DREAPTA fata de operatia o ' daca:
Spunem ca operatia * ' este DISTRIBUTIVA fata de operatia o ' daca este distributiva atat la stanga cat si la dreapta, adica sunt verificate ambele conditii (1) si (2).
Exemplu: pe P(M) operatia ' este distributiva fata de cea de
':
V. ELEMENT NEUTRU, ELEMENTE SIMETRIZABILE
Def.: spunem ca operatia * ' pe o multime M are
ELEMENT NEUTRU daca existaa.i.
Elementul
cu aceasta proprietate se numeste ELEMENT NEUTRU
fata de
Exemple:
a) adunarea pe C are elementul neutru O
b) adunarea pe C are elementul neutru 1
c)
compunerea functiilor pe F(A)
are elementul netru = functia identica a multimii A, definita
prin
PROPOZITIE: daca o operatie pe o multime are element neutru, acesta este unic.
Demonstratie: Fiedoua elemente neutre pentru operatia * '. Atunci:
Def.: Fie * ' o operatie pe multimea M. Daca exista (respectiv
) astfel incat
(respectiv
spunem ca
este ELEMENT NEUTRU LA STANGA (respectiv ca
este ELEMENT NEUTRU LA DREAPTA) pentru operatia
Exemplu: scaderea pe R definita prinare elementul neutru la dreapta
intrucat
.
Def.: Daca * ' este o operatie pe multimea M, avand elementul neutru e,
spunem ca un element este SIMETRIZABIL fata de operatia * ', daca
exista
cu proprietatea
. Elementul
se numeste SIMETRICUL
lui x fata de
Exemple:
a)
fata de adunarea pe R,
fiecare elementeste simetrizabil, avand simetricul
b) fata de inmultire pe Z, elementele simetrizabile sunt 1 (avand simetricul 1) respectiv -1 (avand simetricul -1)
Notatii:
In notatia aditiva simetricul elementului x se noteaza cu -x ' si se numeste opusul lui x.
In
notatia multiplicativa simetricul lui x se noteaza cusau
si se
numeste inversul lui x (iar
x se numeste element inversabil).
PROPOZITIE: Daca * ' este o operatie
pe multimea M, asociativa si cu element neutru, iar este un element simetrizabil, atunci simetricul
al lui x este unic determinat.
Demonstratie: Fie doua simetrice ale lui x si e elementul netru.
elementul simetrizabil
este unic
PROPOZITIE: Fie M o multime pe care este data o operatie * ', asociativa si cu element neutru. Atunci:
multimea(a elementelor simetrizabile din M fata de
operatia * ' si avem egalitatea
daca, iar
, avem
si
Def.: Fie * ' o operatie algebrica pe multimea
M avand elementul neutru la stanga (respectiv la dreapra
). Elementul
se numeste SIMETRIZABIL LA STANGA (respectiv SIMETRIZABIL
LA DREAPTA) daca exista
(respectiv
) astfel incat
(respectiv
).
Politica de confidentialitate |
![]() |
Copyright ©
2025 - Toate drepturile rezervate. Toate documentele au caracter informativ cu scop educational. |
Personaje din literatura |
Baltagul – caracterizarea personajelor |
Caracterizare Alexandru Lapusneanul |
Caracterizarea lui Gavilescu |
Caracterizarea personajelor negative din basmul |
Tehnica si mecanica |
Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice. |
Actionare macara |
Reprezentarea si cotarea filetelor |
Geografie |
Turismul pe terra |
Vulcanii Și mediul |
Padurile pe terra si industrializarea lemnului |
Termeni si conditii |
Contact |
Creeaza si tu |