Operatii algebrice

OPERATII ALGEBRICE

I. NOTATII ALE MULTIMILOR UZUALE

N - multimea numerelor naturale

Z - multimea numerelor intregi

Q - multimea numerelor rationale

R - multimea numerelor reale

C - multimea numerelor complexe

unde

este multimea matricelor patratice de ordin n peste multimea A, unde

- multimea matricelor inversabile de ordin peste A, unde, mai precis

- multimea cu m linii si n coloane peste multimea A, unde

- multimea functiilor definite pe multimea A cu valori in A, unde A este o multime nevida oarecare

- multimea functiilor bijective (inversabile) definite pe A cu valori in A

- multimea permutarilor de grad n

Daca este un numar intreg care nu este patrat perfect, iar

este o solutie fixata a ecuatiei, notam:

Daca , multimea intregilor GAUSS.

Daca, deci avem:

Numarul intreg de este liber de patrate, adica un numar intreg diferit de 1 care nu se divide prin patratul nici unui numar prim.

Orice numar care nu este un patrat perfect poate fi scris in mod unic sub forma, unde este un intreg liber de patrate

Pentrunotam cu multimea radacinilor de ordinul n al unitatii, adica:

unde

Pentru, fixat, notam:

II. OPERATII ALGEBRICE - INTRODUCERE SI EXEMPLE

Def.: Fie M o multime nevida. Numim OPERATIE ALGEBRICA pe multimea M (sau LEGE DE COMPOZITIE INTERNA pe M) o functie definita pe MxM cu valori in M:

care asociaza fiecarui cuplu un unic element

Elementul se citeste x compus cu y' sau x operat cu y'

In algebra se folosesc notatiile ' (aditiva) si ''(multiplicativa)

Exemple:

a)     adunarea pe N, care este aplicatia:

b)     scaderea pe Z, care este aplicatia:

c)     inmultirea pe R, care este aplicatia:

d)     adunare pe care este aplicatia:

e)     reuniunea pe multimea a partilor unei multimi M care este aplicatia:

In cazul unei multimi finite o operatie algebrica pe M poate fi definita si prin ceea ce numim TABLA OPERATIEI. Este vorba de un tablou de tipul:

Nota: la intersectia 'liniei' i cu 'coloana' j se afla elementul

III. PARTEA STABILA

Def.: Fie M o multime nevida pe care este definita o operatie '. O multime nevida H a lui M se numeste PARTE A LUI M STABILA FATA DE daca

se numeste OPERATIE PE H INDUSA DE OPERATIA * de pe M

Exemple:

a)              submultimea Z este o parte a lui R stabila fata de adunare, deci adunarea pe Z este indusa de adunarea din R

b)             submutimea 2Z a numerelor intregi pare este o pare a lui Z stabila fata de adunare dar si fata de inmultire

IV. ASOCIATIVITATE, COMUTATIVITATE, DISTRIBUTIVITATE

Def.: o operatie algebrica * ' pe o multime M se numeste ASOCIATIVA daca:

Exemplu: adunarea si inmultirea pe fiecare din multimile sunt operatii comutative.

Pe , cu , adunarea este comutativa, dar inmultirea nu este comutativa caci .

Def.: Fie * ' si ' doua operatii pe aceeasi multime M. Spunem ca operatia * ' este DISTRIBUTIVA LA STANGA fata de operatia o ' daca:

Spunem ca operatia * ' este DISTRIBUTIVA LA DREAPTA fata de operatia o ' daca:

Spunem ca operatia * ' este DISTRIBUTIVA fata de operatia o ' daca este distributiva atat la stanga cat si la dreapta, adica sunt verificate ambele conditii (1) si (2).

Exemplu: pe P(M) operatia ' este distributiva fata de cea de ':

V. ELEMENT NEUTRU, ELEMENTE SIMETRIZABILE

Def.: spunem ca operatia * ' pe o multime M are ELEMENT NEUTRU daca existaa.i. Elementulcu aceasta proprietate se numeste ELEMENT NEUTRU fata de

Exemple:

a)     adunarea pe C are elementul neutru O

b)     adunarea pe C are elementul neutru 1

c)     compunerea functiilor pe F(A) are elementul netru = functia identica a multimii A, definita prin

PROPOZITIE: daca o operatie pe o multime are element neutru, acesta este unic.

Demonstratie: Fiedoua elemente neutre pentru operatia * '. Atunci:

Def.: Fie * ' o operatie pe multimea M. Daca exista (respectiv ) astfel incat (respectiv spunem ca este ELEMENT NEUTRU LA STANGA (respectiv ca este ELEMENT NEUTRU LA DREAPTA) pentru operatia

Exemplu: scaderea pe R definita prinare elementul neutru la dreapta intrucat .

Def.: Daca * ' este o operatie pe multimea M, avand elementul neutru e, spunem ca un element este SIMETRIZABIL fata de operatia * ', daca exista cu proprietatea . Elementul se numeste SIMETRICUL lui x fata de

Exemple:

a)       fata de adunarea pe R, fiecare elementeste simetrizabil, avand simetricul

b)       fata de inmultire pe Z, elementele simetrizabile sunt 1 (avand simetricul 1) respectiv -1 (avand simetricul -1)

Notatii:

In notatia aditiva simetricul elementului x se noteaza cu -x ' si se numeste opusul lui x.

In notatia multiplicativa simetricul lui x se noteaza cusau si se numeste inversul lui x (iar x se numeste element inversabil).

PROPOZITIE: Daca * ' este o operatie pe multimea M, asociativa si cu element neutru, iar este un element simetrizabil, atunci simetriculal lui x este unic determinat.

Demonstratie: Fie doua simetrice ale lui x si e elementul netru.

elementul simetrizabil este unic

PROPOZITIE: Fie M o multime pe care este data o operatie * ', asociativa si cu element neutru. Atunci:

multimea(a elementelor simetrizabile din M fata de operatia * ' si avem egalitatea

daca, iar, avem si

Def.: Fie * ' o operatie algebrica pe multimea M avand elementul neutru la stanga (respectiv la dreapra ). Elementulse numeste SIMETRIZABIL LA STANGA (respectiv SIMETRIZABIL LA DREAPTA) daca exista(respectiv ) astfel incat (respectiv ).