Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » matematica
Statica sistemelor de corpuri

Statica sistemelor de corpuri

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI

1. Generalitati

Prin sistem se intelege un ansamblu de corpuri sau puncte materiale care interactioneaza intre ele. In acest capitol se vor studia atat sistemele de puncte materiale cat si sistemele de rigide.

Metodele generale de rezolvare care se vor aborda ulterior vor fi aceleasi atat pentru sisteme de puncte materiale cat si pentru sisteme de rigide.

2. Statica sistemelor de puncte materiale

2.1. Tipuri de forte

Prin sistem de puncte materiale se intelege o multime de puncte A_i care interactioneaza mecanic. Fie vectorii de pozitie ai acestor puncte, raportati la originea O a sistemului de axe de coordonate, prezentat in figura 1.

Fig.1

Sistemul de puncte materiale din figura 1 este supus actiunii a doua categorii de forte :

Forte exterioare , care provin din interactiunea sistemului cu alte sisteme de puncte materiale. Forta este rezultanta fortelor active si a celor provenind din inlocuirea legaturilor exterioare ale punctului material A_i .

Forte interioare , ( i,j = 1,2 . n ; cu ) care provin din interactiunea reciproca a punctelor materiale ce formeaza sistemul. Dupa cum s-a mai precizat anterior , aceste forte se pot exercita de la distanta sau prin intermediul legaturilor interioare.

Potrivit principiului actiunii si reactiunii , fortele interioare sunt doua cate doua egale in modul si direct opuse. Pentru o pereche de puncte A_i si A_j se poate scrie :

, sau (1)

Momentul unei perechi de forte interioare va fi :

(2)

In relatia (2) s-a tinut seama ca vectorii si sunt coliniari ( vezi fig.1).

Observatie

Cele doua forte interioare si nu se echilibreaza, deoarece actioneaza asupra a doua puncte materiale diferite, chiar daca vectorul lor rezultant si momentul rezultant sunt echivalente cu zero.

2.2. Echilibrul sistemelor de puncte materiale

Se considera un sistem de puncte materiale actionat de un sistem de forte exterioare cu

i = 1. n , si un sistem de forte interioare cu j = 1.n, iar .

Sistemul de forte care actioneaza asupra sistemului de puncte materiale este in echilibru daca toate punctele materiale continua sa ramana in repaus dupa aplicarea sistemului de forte interioare si exterioare.

Altfel spus, sistemul de puncte materiale este in echilibru static daca fiecare punct din sistem se afla in repaus dupa aplicarea fortelor.

Pentru a studia echilibrul se izoleaza fiecare punct material, introducandu-se cele doua tipuri de forte care au fost definite in § 2.1.

Conditiile necesare si suficiente de echilibru ale punctelor materiale A_i sunt :

; i,j = 1,2.n ; (3)

Aceste n relatii vectoriale constituie sistemul fundamental de ecuatii de echilibru care s-a obtinut din analiza echilibrului fiecarui punct material. Din acest motiv relatiile (3) reprezinta formularea analitica a teoremei izolarii punctelor materiale.

Teoremele generale ale staticii sistemelor de puncte materiale

Teoremele generale ale staticii punctelor materiale sunt prezentate sintetizat in schema bloc din figura 2.

Fig.2

2.3.1. Teorema izolarii punctelor materiale

Teorema izolarii punctelor materiale are expresia analitica data de relatiile (3) si are urmatorul enunt :

,,Un sistem de puncte materiale este in echilibru daca si numai daca rezultanta fortelor exterioare si interioare aplicate fiecarui punct material al sistemului este nula.'

Se disting doua tipuri de probleme privind echilibrul sistemului :

fiind date pozitiile de echilibru ale punctelor materiale se cere sa se determine fortele care actioneaza asupra sistemului

fiind date fortele care actioneaza asupra sistemului de puncte materiale, se cere sa se determine pozitia de echilibru a intregului sistem

Conditiile vectoriale de echilibru (3) sunt echivalente cu 3n ecuatii scalare, obtinute in urma proiectarii acestor relatii vectoriale pe axele sistemului de referinta.

Pozitia de echilibru a sistemului este determinata prin cunoasterea pozitiei fiecarui punct material.

2.3.2. Teorema solidificarii

Aplicarea ecuatiilor (3) la rezolvarea problemelor de echilibru este dificila datorita numarului mare de forte interioare . Pentru a elimina din calcul aceste forte se insumeaza toate ecuatiile de echilibru ale celor n puncte materiale. Obtinem astfel :

(4)

Deoarece fortele interioare sunt doua cate doua egale si opuse , rezulta ca suma dubla este nula, adica :

(5)

Se deduce prima conditie necesara ca un sistem de puncte materiale sa fie in echilibru, prin introducerea relatiei (5) in (4). Obtinem astfel :

(6)

Inmultind vectorial la stanga ecuatiile (4) cu si adunandu-le , rezulta :

(7)

Analizand relatia (7) se constata ca termenul al doilea este egal cu zero, deoarece contine suma momentelor fortelor interioare in raport cu punctul O.

Rezulta astfel cea de a doua conditie necesara ca un sistem de puncte materiale sa fie in echilibru si anume ca suma vectoriala a momentelor exterioare sa fie nula :

(8)

Relatiile (6) si (8) reprezinta expresiile analitice ale teoremei solidificarii , care se enunta astfel : daca un sistem de puncte materiale se afla in echilibru de repaus atunci el poate fi considerat ca un sistem rigid de puncte in echilibru static.

Daca sistemul de puncte materiale este nedeformabil, atunci conditiile de echilibru exprimate prin relatiile (6) si (8) sunt necesare si suficiente.

2.3.3. Teorema echilibrului partilor

Se considera ca sistemul celor n puncte materiale este format din mai multe subsisteme. Aplicand terorema izolarii punctelor materiale se constata ca echilibrul fiecarui punct A_i impune echilibrul oricarui ansamblu de puncte ce apartin sistemului. O parte din fortele interioare ale sistemului vor deveni forte exterioare pentru subsistem, iar alte forte aplicate sistemului nu vor mai actiona asupra subsistemului analizat.

Astfel din sistemul de puncte materiale A_i , i =1,2.n, aflat in echilibru se izoleaza un subsistem ale carui ecuatii de echilibru sunt:

(9)

Analizand relatiile (9) se constata ca ele sunt incluse in relatiile (4).

Teorema echilibrului partilor se enunta astfel :

Daca un sistem de puncte materiale se afla in echilibru sub actiunea unor forte, atunci orice parte din acest sistem va fi de asemenea in echilibru sub actiunea fortelor corespunzatoare acestei parti.

3. Statica sistemelor de rigide

Generalitati

O masina , o instalatie , o constructie sau un utilaj reprezinta sisteme de corpuri considerate rigide , supuse la legaturi prin intermediul carora pot sa-si transmita actiuni reciproce .In fig.3 s-au reprezentat pentru exemplificare :

a) un dispozitiv de ridicat

b) o presa mecanica

c) o frana cu saboti

d) un mecanism biela-manivela

e) un sistem de grinzi drepte

Fig.3.b

Fig.3.a

Fig.3.d

Fig.3.c Fig.3.e

Studiul miscarii mecanice sau al echilibrului static ( repaus ) se face in raport cu un rigid ales ca reper. In problemele tehnice acest reper este fundatia unei constructii sau batiul unei masini sau utilaj. Sistemele de rigide pot avea o configuratie invariabila geometric (fixa) de exemplu structura metalica a unei macarale , sau o configuratie variabila , de exemplu un mecanism . Conditia de invariabilitate geometrica pentru un sistem de rigide aflat in plan este:

L 3 n (10)

unde : L - numarul legaturilor simple ideale

n - numarul rigidelor

daca : L < 3 n (11)

atunci sistemul de rigide este un mecanism , avand gradul de mobilitate G dat de relatia :

G = 3n - L (12)

Legaturile exterioare si interioare dintre elementele sistemului vor suprima un numar de grade de libertate. Fiecarui grad de libertate suprimat ii va corespunde o necunoscuta scalara introdusa dupa inlocuirea legaturilor.

In functie de numarul necunoscutelor introduse si notate cu N si numarul ecuatiilor scalare de echilibru notate cu E, vom deosebi trei situatii distincte conform schemei bloc in figura 4.

Fig.4

3.2. Metode folosite in studiul echilibrului sistemelor de rigide

Studiul echilibrului sistemelor de rigide se poate efectua utilizand urmatoarele metode :

1 . Metoda izolarii ( separarii ) corpurilor

2 . Metoda solidificarii

3 . Metoda echilibrului partilor

3.2.1 Metoda izolarii corpurilor

Metoda are la baza teorema izolarii corpurilor , care se enunta astfel :

Un sistem de corpuri se afla in echilibru sub actiunea unor forte date si de legatura daca si numai daca fiecare corp al sistemului se afla in echilibru .

Aplicarea metodei necesita parcurgerea urmatoarelor etape :

Se izoleaza fiecare corp din sistem , considerat rigid si se introduc trei tipuri de forte :

a) forte date

b) forte provenite din inlocuirea legaturilor exterioare

c) forte provenite din inlocuirea legaturilor interioare . Fortele provenite din inlocuirea legaturilor interioare trebuie sa respecte principiul actiunii si reactiunii , astfel pe cele doua rigide cuplate prin legatura interioara se introduc , dupa ce s-au separat , forte de legatura egale si de sens contrar si .

Se scriu conditiile de echilibru pentru fiecare rigid izolat sub forma :

(14)

La care se adauga , daca este cazul, inecuatiile :

(15)

(16)

Pot fi determinate urmatoarele necunoscute : forte de legatura exterioare si interioare si parametri geometrici independenti care determina pozitia de echilibru .

Fie sistemul de rigide din fig.5 , legate intre ele prin articulatii in punctele C si D , iar de exterior prin articulatia plana din A si reazemul simplu din B.

Fig.5

Considerand sistemul de rigide in plan , separand rigidele si inlocuind legaturile obtinem schema de calcul din fig.6.

Fig.6

Pentru fiecare corp izolat, considerat rigid se vor scrie ecuatiile vectoriale de echilibru (14) obtinandu-se :

Pentru corpul (I) :

(16)

Pentru corpul (II) :

(17)

Pentru corpul (III) :

(18)

Observatii

Cele 6 ecuatii vectoriale constituie conditiile necesare si suficiente ca un sistem de rigide sa fie in echilibru.

Scrierea acestor ecuatii reprezinta teorema izolarii corpurilor , iar procedeul aplicat reprezinta metoda izolarii corpurilor.

Metoda solidificarii

Metoda se bazeaza pe teorema solidificarii , care se enunta astfel : " daca un sistem de rigide se afla in echilibru sub actiunea unor forte date si de legatura , atunci el poate fi considerat ca un singur rigid aflat in echilibru , obtinut prin solidificarea sistemului .

Metoda consta in considerarea sistemului ca un singur rigid solicitat de forte date si de legatura , pentru care se scriu si se rezolva ecuatiile de echilibru :

(19)

Necunoscutele care se pot determina cu aceasta metoda sunt :

fortele provenite din inlocuirea legaturilor exterioare

parametrii care determina pozitia de echilibru a sistemului

Prin aplicarea metodei solidificarii , sistemul de corpuri din figura 5 devine solidul rigid prezentat in figura

Fig.7

Daca adunam toate relatiile vectoriale (16) , (17) si (18), care au fost deduse in § 3.2.1. obtinem :

(20)

Ecuatiile (20) exprima faptul ca sistemul de rigide se afla in echilibru sub actiunea fortelor exterioare ( date si de legatura).

Ecuatiile (20) reprezinta relatiile cantitative ale teoremei solidificarii.

Observatii

1.Prin metoda solidificarii pot fi determinate numai fortele din legaturile exterioare deoarece fortele din legaturile interioare nu apar in ecuatiile scalare de echilibru .

2.Daca sistemul de corpuri solidificat are o configuratie invariabila (fixa) , ecuatiile de echilibru ( 20 ) sunt suficiente.

3.Daca aceasta configuratie este variabila ( mobila ) ecuatiile de echilibru nu mai sunt suficiente.

Spre exemplu sistemul format din doua bare de greutate neglijabila AC si BC articulate in C si actionate in A si B de fortele date ( fig.8 , a ) , nu ramane in echilibru desi conditiile (20) sunt indeplinite. Daca configuratia sistemului se rigidizeaza prin introducerea unei bare articulate de cele doua bare in D si E , fig.8, b , sistemul va fi in echilibru .

Fig.8, a Fig.8, b

3.2.3.Metoda echilibrului partilor

Metoda are la baza teorema echilibrului partilor care se enunta astfel : daca un sistem de corpuri se afla in echilibru sub actiunea fortelor date si de legatura , atunci o parte oarecare din sistem considerata ca un rigid va fi de asemenea in echilibru sub actiunea fortelor care actioneaza asupra aceleasi parti .

Prin aplicarea metodei echilibrului partilor sistemului de rigide din fig. 5 se obtine schema de calcul din fig. 9 unde este prezentat subsistemul format din corpurile (I) si (II).

Fig.9

Pentru schema de calcul din figura 9 ecuatiile vectoriale de echilibru sunt :

(21)

Recomandari privind utilizarea celor trei metode

Daca se cere determinarea tuturor fortelor de legatura ( exterioare si interioare ) ale sistemului de corpuri , atunci se va utiliza metoda izolarii corpurilor . In acest caz ecuatiile obtinute prin metoda solidificarii constituie ecuatii de verificare.

Daca se cer numai valorile reactiunilor din legaturile exterioare , se va utiliza metoda solidificarii .

Daca se cer valorile anumitor forte de legatura ( exterioare sau interioare ) se va aplica metoda echilibrului partilor fie separat fie in combinatie cu celelalte metode , selectandu-se ecuatiile care cuprind necunoscutele cerute.

Aplicatia 1

Cunoscand incarcarile si dimensiunile pentru sistemul de bare din fig.10, a , sa se calculeze reactiunile din legaturile exterioare .

Fig.10, a

Fig.10, b

Rezolvare

Aplicand metoda izolarii corpurilor , se obtine schema de calcul din fig.10, b .

Pentru bara CD putem scrie :

a M_iC = 0 ; N_B 2 l - 2P l - 3P l = 0 ; T N_B = 5/2 P

a F_iy = 0 ; V_C + N_B - 3P = 0 ; T V_C = P/2

a F_ix = 0 ; H_C = 0

Pentru bara AC , ecuatiile scalare de echilibru sunt :

a F_ix = 0 ; H_A = H_C = 0

a F_iy = 0 ; V_C- V_A - P = 0 ; T V_A= 3P/2

a M_iA = 0 ; V_C 2l - P l - M_A = 0 ; T M_A = 2P l

Pentru verificare se aplica metoda solidificarii scriindu-se ecuatiile:

a M_iA = 0 si a F_ix = 0 , a F_iy = 0

Aplicatia 2

In fig.11, a este reprezentat un dispozitiv de avans cu piston si placa de apasare la o masina de debitat busteni . Cunoscand forta de apasare dezvoltata in piston si greutatea a busteanului , sa se determine forta in resort cand sistemul este in echilibru .

Fig. 11, a

Rezolvare

Se utilizeaza metoda izolarii corpurilor , obtinandu-se schema de calcul din fig.11, b.

Fig.11, b

Pentru corpul ( 1 ) putem scrie :

Pentru corpul ( 2 ) avem :

Aplicatia 3

Se considera frana cu sabot din fig.12, a. Cunoscand dimensiunile a, b, c, r, R, si coeficientul de frecare m dintre sabot si tamburul de raza R, se cere forta minima F_min pentru franarea greutatii .

Fig.12, a

Rezolvare

Aplicand metoda echilibrului partilor obtinem schemele de calcul din fig. 12, b.

Fig.12, b

Pentru BC avem :

Pentru troliu se obtine :

a M_iO = 0 ; mNR + P r = 0 ;

de unde :

Aplicatia 4

In fig. 13 a , este schematizat un mecanism biela-manivela . Cunoscand ca OA = AB = l si ca barele sunt de masa neglijabila , sa se determine reactiunile din O si B precum si unghiul q pentru pozitia de echilibru a sistemului actionat de fortele in A si in B.

Fig.13, a

Rezolvare

Pentru determinarea reactiunilor exterioare se aplica metoda solidificarii obtinandu-se reprezentarea din fig. 13, b.

Fig. 13, b

Pentru fig. 13, b , avem :

Pentru determinarea pozitiei de echilibru , definita de unghiul q , se aplica metoda echilibrului partilor . Astfel izoland subsistemul format din bara AB si culisa B se obtine reprezentarea din fig.13,c.

Fig.13, c

Pentru reprezentarea din figura 13,c avem :

Aplicatia 5

Schema unei prese mecanice este indicata in fig.14, a . Cunoscand elementele geometrice a b , forta motoare F_M , si neglijand frecarile din articulatii si greutatile barelor CE si CD , sa se determine forta de presare P