Serii cu termeni oarecare

Serii cu termeni oarecare

Exercitiul 1. Aratati ca urmatoarele serii

i ii

verifica criteriul lui Abel, deci sunt convergente.

Exercitiul . Aratati ca seria alternanta verifica criteriul lui Leibniz. Aceasta serie este convergenta si are suma egala cu .

Exercitiul . Exista serii convergente care nu verifica criteriul lui Abel-Dirichlet. Astfel in seria,

,

permutand primul termen cu al doilea, al treilea termen cu al patrulea, etc. rezulta seria

.

Seria este convergenta pentru (din criteriul Leibniz).

Daca , atunci seria este divergenta si in acest caz spunem ca seria este semiconvergenta.

Daca , atunci seria este convergenta si deci seria este absolut convergenta.

Daca , atunci seria este divergenta.

Vom arata ca seria este convergenta odata cu seria si cele doua serii au aceeasi suma.

Fie si , sirurile sumelor partiale asociate celor doua serii. Atunci,

si si deci, seriile au aceeasi suma.

Seria este convergenta pentru , totusi, ea nu verifica conditiile criteriului lui Abel-Dirichlet, deoarece orice alegere am considera pentru sirul din criteriul mentionat, totusi, nu este monoton.

Exercitiul 4. Seria este convergenta intrucat verifica conditiile criteriului lui Leibniz. Aratati ca suma seriei este egala cu .

Avem identitatea:  , .

Sirul sumelor partiale , se poate scrie sub forma

de unde rezulta ca

Exercitiul 5 Aratati ca seria este convergenta si are suma egala cu .

Exercitiul 6. Seria este divergenta deoarece .

Intr-adevar, presupunand ca , atunci din identitatea

,

folosind marginirea sirului , deducem ca . Cum insa

,

deducem ca si deci,

Atunci, din identitatea rezulta ca , ceea ce conduce la o contradictie.

Exercitii propuse

. Sa se arate ca seria , este convergenta si sa se determine suma sa.

Indicatie. Se verifica cu usor ca seria data, avand termenul general , este convergenta. Fie . Atunci si, in consecinta, termenul general al seriei poate fi scris sub forma .

Cu aceasta observatie, sirul sumelor partiale , asociat seriei, are expresia

.

Suma seriei se obtine prin trecerea la limita a sirului . Avem .

. Sa se arate ca seria , fixat, este convergenta si sa se determine suma sa.

Indicatie. Vom scrie termenul general al seriei si fixat, sub forma , unde . Cu notatia

, unde fixat,

obtinem si . Asadar, sirul sumelor partiale asociat seriei , are expresia

.

si suma seriei este egala cu .

. Fie seria numerica , fixat. Aratati ca daca seria este convergenta atunci seria este convergenta oricare ar fi .

Indicatie. Deoarece seria , este convergenta atunci sirul sumelor partiale asociat seriei este marginit ; deci, exista a.i. . Tinand seama de ipoteza, putem scrie , .Atunci si din criteriul lui Dirichlet, rezulta convergenta seriei .

. Fie sirul a.i. , . Atunci seria

, este convergenta

Indicatie. Termenul general al seriei , se poate scrie sub forma , unde . Fie , sirul sumelor partiale asociat seriei. Atunci avem

.

Deoarece , atunci sirul sumelor partiale este convergent avand limita .

Asadar, seria data este convergenta si are suma egala cu .

. Sa studieze natura seriei , unde .

Indicatie. Se aplica criteriul raportului; deoarece , atunci nu putem preciza natura seriei. Potrivit criteriului lui Raabe avem, .

Discutie: Daca , atunci seria este convergenta ; daca seria este divergenta ; daca , atunci nu putem preciza natura acestei serii cu acest criteriu.

. Sa se arate ca seria , este convergenta si are suma egala cu .

Indicatie.Convergenta se deduce usor, de exemplu, comparand seria data cu seria convergenta . Scriind termenul general al seriei sub forma , atunci seria data se desface intr-o diferenta de doua serii convergente. Avem

.

(s-a folosit  ; (vezi, exercitiul (7))).

. Fie functia , , periodica cu perioada . Se cere:

(a). Sa se scrie seria Fourier asociata ;

(b). Sa se arate ca seria Fourier este convergenta pentru orice catre functia .

(c). Aratati ca .

Solutie. (a). Seria Fourier asociata functiei periodice , are forma

,

unde

 ;

;

(in calculul integralelor am folosit faptul ca este functie para).

(b). Deoarece este continua pe atunci, potrivit teoremei lui Dirichlet, seria fourier este convergenta in orice punct si avem

, . (*)

(c). Daca inlocuim in relatia (*), atunci obtinem

,

de unde rezulta relatia din enunt.

. Sa se arate ca seria , este convergenta si are suma egala cu .

Solutie. Convergenta seriei rezulta din criteriul lui Leibniz. Termenul general al seriei se poate scrie sub forma

.

Vom observa ca seria data se poate scrie cu ajutorul diferentei a doua serii convergente sub forma:

.

Se stie ca seria , este convergenta si are suma egala cu .

Pentru a calcula suma seriei numerice , vom considera seria de puteri (uniform convergenta in )

, .

Aceasta serie poate fi integrata termen cu termen pe orice interval continut in si avem

.

Dupa efectuarea calculelor, obtinem

.

Deoarece seria numerica , este convergenta (din criteriul lui Leibniz) atunci daca in ultima relatie luam valoarea , deducem

.

Asadar, avem

.

. Studiati convergenta seriei de numere complexe (discutie dupa )

.

Indicatie. Seria data are termenul general Vom studia seria cu termenul general

.

Seria, are aceeasi natura cu seria al carui termen general este si vom scrie . Din criteriul raportului, aplicat seriei , obtinem

.

Daca atunci si conform criteriului raportului, seria este convergenta si in consecinta, seria este convergenta si atunci rezulta ca seria este absolut convergenta.

Daca atunci nu este satisfacuta conditia necesara de convergenta (termenul general al seriei nu tinde la zero, ) si deci, seria este divergenta.

Daca , atunci seria are termenul general egal cu   . In acest caz vom aplica criteriul lui Abel-Dirichlet, cu alegerea

si

Aratam ca sumele partiale , sunt marginite in ansamblu:

Deci , pentru orice si in consecinta, seria este convergenta.