Volumul tetraedrului

Volumul tetraedrului

In demonstrarea formulei de calcul a volumului tetraedrului vom porni de la "Principiul lui Cavalieri"

Principiul lui Cavalieri

Se dau doua corpuri si un plan. Sa presupunem ca orice plan paralel cu planul dat si care intersecteaza unul dintre corpuri, intersecteaza si pe celalalt, iar sectiunile transversale au aceeasi arie. Atunci cele doua corpuri au acelasi volum.

Principiul lui Cavalieri este cheia calcularii volumelor.

Diferite metode de a defini volumul tetraedrului

Vom calcula volumul tetraedrului pornind de la volumul prismei triunghiulare

Teorema3

Volumul oricarei prisme este egal cu produsul dintre inaltime si aria bazei.

Demonstratie

Fie A aria bazei si h inaltimea prismei date sa consideram un paralelipiped dreptunghic cu aceeasi inaltime h si cu aria bazei A, care sa aiba baza in acelasi plan cu planul bazei prismei date. Stiu ca toate sectiunile transversale in ambele prisme au arii egale . Conform Principiului lui Cavalieri asta inseamna ca ele au acelasi volum. Deoarece volumul paralelipipedului dreptunghic este A·h teorema este demonstrata.

Teorema 4

Daca doua tetraedre au aceeasi inaltime si aceeasi arie a bazei, iar bazele lor sunt in acelasi plan, atunci ele au acelasi volum.

Demonstratie

Ne bazam pe urmatoarea definitie si teorema: "O sectiune transversala printr-o prisma este intersectia prismei cu un plan paralel cu baza. Toate sectiunile transversale ale unei prisme triunghiulare sunt congruente cu baza".

Plecand de la aceasta rezulta ca toate sectiunile transversale in cele doua tetraedre au aceeasi arie. Din Principiul lui Cavalieri rezulta ca volumele tetraedrelor sunt aceleasi.

Teorema 5

Volumul unui tetraedru este de trei ori mai mic decat volumul unei prisme triunghiulare cu aceeasi baza si aceeasi inaltime.

Demonstratie

Fie dat tetraedrul [VABC] in care

se considera triunghiul ABC - baza si

VH -inaltime. Sa aratam ca

Se construieste prisma triunghiulara

cu baza [ABC] si cu VB muchia laterala.

Aceasta prisma este [ABCVED] si are muchiile laterale [EA], [VB], [DC]. Triunghiul [VDE]este a doua baza a prismei, iar VH este inaltimea prismei, deci V_[ABCVED] = S_ABCVH

Notand cu P- prisma si t- tetraedrul t'- poliedrul [VACDE] avem P = t + t'

Dar poliedrele t si t' au fata [VAC] comuna si nu au puncte interioare comune; deci V_P=V_t + V_t'

Poliedrul t' este o piramida cu varful V si baza [ACDE] este descompus de planul (VAD) in doua tetraedre:

Tetraedrul t₁ cu varful V si baza triunghiul [ADE]

Tetraedrul t₂ cu varful V si baza triunghiul [ADC] . Asadar t'= t₁ t₂

Dar tetraedrele t₁ si t₂ au fata comuna DVAD si nu au puncte comune, deci Vt'=Vt₁+Vt₂

si prin urmare V_P= Vt + Vt₁ + Vt_2. Cele trei tetraedre t, t₁, t₂ sunt insa echivalente .

Intr-adevar tetraedrul t cu baza [ABC] si varful V este echivalent cu tetraedrul t₁­ considerat cu baza triunghiul [VED] si cu varful A, deoarece bazele lor sunt triunghiuri congruente si situate in plane paralele, iar varful fiecarui tetraedru planului bazei celuilalt tetraedru (V in planul bazei lui t₁ si A in planul bazei lui t).Astfel, tetraedrele au inaltimi egale ( ca segmente de drepte paralele cuprinse intre plane paralele). Deci Vt= Vt₁ (1)

De asemenea, tetraedrul t₁ considerat cu baza [ADC] si varful V este echivalent cu tetraedrul t₂ considerat cu baza [ADC] si varful V intrucat au acelasi varf si bazele situate in acelasi plan, deci au aceeasi inaltime VH', iar , deci: Vt₁=Vt₂ (2)

Din (1) si (2) Vt = Vt₁ = Vt₂

Dar V_P = Vt + Vt₁ + Vt₂ V_P =3Vt Vt =

Reciproc: Se poate arata ca volumul prismei este de trei ori mai mare decat volumul tetraedrului.

Definitie: Volumul prismei [ABC . A'B'C' . ] notat cu V_{[ABC . A'B'C' . ]}este produsul dintre aria bazei [ABC . ] si lungimea inaltimii corespunzatoare acestei baze.

Teorema 6

Daca [ABCDEF] este o prisma triunghiulara, atunci volumul ei este de trei ori mai mare decat al tetraedrului [ABCD].

Demonstratie

Fie si tetraedrele [BDEF] si [BCDF]. Orice punct M

situat in interiorul prismei sau pe frontiera [ABCDEF]

este situat si in interiorul sau pe frontiera(cel putin)

unuia dintre tetraedrele [ABCD], [BDEF], [BCDF]

si reciproc.

Multimile Int[ABCD], Int[ BDEF], Int[BCDF] sunt oricare doua disjuncte. Asadar are loc:

V_[ABCDEF]= V_[ABCD]+V_[BDEF] + V_{[BCDF] .} Dar tetraedrele [DABC] si [BDEF] au bazele congruente, si inaltimile de aceeasi lungime pentru ca d(D,(ABC))=d(B,(DEF)), deci V_[ABCD]= V_[BDEF]

Tetraedrele [BDEF] si [BCDF] au varful comun D si bazele [BEF], respectiv[BCF] - triunghiuri congruente rezulta deci ca V_[BDEF]= V_[BCDF]. Prin urmare V_[ABCDEF] = 3V_[ABCD].

Teorema 7

Fie [ABCD] un tetraedru . Daca unghiul muchiilor opuse [AB] si [CD] este j, iar distanta dintre aceste drepte este d, atunci volumul V al tetraedrului [ABCD]este dat de formula:

.

Demonstratie

Se considera punctele E si F astfel incat ABCE si BCDF sa fie paralelograme. S-a format astfel prisma triunghiulara [CDEBFA] avand bazele [ECD] si [ABF].

Ariile acestor baze sunt date de:

Fie MN perpendiculara comuna a dreptelor AB si CD

Se constata usor ca MN BF (BF CD), deci MN (AB) si MN (CDE) deoarece (ABF) (CDE), atunci V_[CDEBFA]= S·d = , unde d este distanta dintre planele (ABF) si (CDE), adica este distanta dintre AB si CD . Rezulta : .

Definitie : Volumul tetraedrului [ABCD] notat V_[ABCD] este produsul dintre aria unei fete si lungimea inaltimii corespunzatoare acelei fete.

Teorema 8

Intr-un tetraedru produsul dintre aria unei fete si lungimea inaltimii corespunzatoare nu depinde de alegerea fetei.

Demonstratie

Ducem inaltimile fetelor (ABC) si (DBC)

AM=a₂; DN=a₁ si inaltimile tetraedrului

AQ=h₁; DP=h₂. Sa demonstram egalitatea produselor a₁h₁ si a₂h_{2 .}

Pentru aceasta vom constata congruenta unghiurilor (QAM) si (PDN)

Dreptele MQ si ND sunt perpendiculare pe BC (ND fiind inaltime si MQ din una din reciprocele teoremei celor trei perpendiculare) . Deci MQ ND. La fel MA NP . Inseamna ca (AMQ)s (PND). Atunci si complementele lor sunt congruente: (MAQ ) s (NDP)

m( (MAQ)=a

Exprimam in doua moduri cosinusul unghiului a

, dar cum in tetraedru oricare doua fete au o muchie comuna, oricare ar fi fata fete au o muchie comuna, oricare ar fi fata aleasa cu inaltimea corespunzatoare, produsul dintre aria fetei cu lungimea inaltimii dusa pe ea este acelasi. In concluzie, volumul tetraedrului este invariant la alegerea unei fete ca baza.

Teorema 9: (Proprietatea de aditivitate pentru volume)

Fie un tetraedru [ABCD] si un plan ce contine muchia AB si taie muchia CD intr-un punct interior M, atunci: V_[ABCD]=V_[ABCM] + V_[ABMD]

Demonstratie

Se observa ca S_BCM + S_BMD = S_BCD

Inmultim aceasta relatie cu , unde AA₁ (ACD)

Consecinta 1 Daca este un punct in interiorul triunghiului [BCD] are loc relatia:

V_[ABCD]=V_[ABCM]+V_[ACMD]+V_[ADMD]

Demonstratie

Daca MB CD= si cu teorema anterioara obtinem:

V_[ABCD]=V_[ABCN] +V_[ABND] = V_[ABMC] +V_[AMCN] +V_[ABMD] +V_[AMND] = V_[ABMC] + V_[ACMD] + V_[ABMD]

Consecinta 2 Daca M este un punct in interiorul tetraedrului [ABCD], atunci:

V_[ABCD]=V_[MABC]+V_[MACD]+V_[MDAB]+V_[MBCD]

Demonstratie

Dreapta AM , interioara, intersecteaza fata (BCD) in N.

Se aplica consecinta 1 pentru tetraedrele [ABCD] si [MBCD]

Teorema 10

Daca lungimile muchiilor unui tetraedru [ABCD] sunt AB=l; AC=m; CD=a; DB=b; BC=C, atunci pentru volumul V_t=V_[ABCD] are loc relatia:

144V²=(-a² -l² + b² + m² + c² + n² )a² l² +

(a² + l² - b² - m² + c² + n² )b² m² +

(a² + l² + b² + m² - c² - n² )c² n² -

(a ²b ²c² +a² m² n² + b² l² n² + c² l² m² )

Teorema 11

Intr-un tetraedru [ABCD] volumul V=V_[ABCD] satisface formula:

3CD·V =2S_BCD·S_ACD·sin( (DC)).

Demonstratie

Fie AE (BCD) si EF CD AF CD

Se observa ca :

2S_ADC·sin( (AFE))=CD·AF·sin( (AFE))=CD·AE; sin( (AFE))= ,deci:

S_BCD·(2S_ADC·sin( (AFE)) = S_BCD·(CD·AE) = 3CD·V 3CD · V = 2S_BCD · S_ACD · sin( (DC))