Proiectarea filtrelor digitale FIR cu faza liniara de tip trece jos, folosind metoda ferestrelor Kaiser

Proiectarea filtrelor digitale FIR cu faza liniara de tip trece jos, folosind metoda ferestrelor Kaiser.

Proprietatile filtrului sunt:

Lungimea filtrului N=28;

Frecventa de taiere f_t=2 kHz;

Frecventa de esantionare f_s=16 kHz.

Pentru fereastra Kaiser se da

unde

(2)

iar

(3)

Perioada de esantionare este

(3')

a_m reprezinta amplitudinea oscilatiilor in banda de oprire; Acest coeficient este

(4)

Δ_f reprezinta latimea zonei de tranzitie pentru filtrul trece jos. Intre lungimea filtrului (N), amplitudinea oscilatiilor in banda de oprire (a_m) si latimea zonei de tranzitie pentru FTJ (Δ_f) exista relatia

(5)

Se va considera ca a_m=25dB si, deci, vom lucra cu a doua ramura a lui .

Se considera cunoscute

(6)

si

(7)

Mai intai, se va calcula ω_0K prin intermediul calculului lui I₀(x) (din aceasta suma se vor lua in considerare doar primii douazeci de termeni), si apoi h(n). Cei doi vectori vor fi apoi inmultiti si va rezulta un nou h(n) (cu elementele h(i), i=0N-1).

Functia de transfer in z asociata filtrului trece jos este

(8)

Programul MATLAB, ce realizeaza calculul functiei de transfer si prin intermediul caruia se realizeaza raspunsul la impuls si caracteristicile de frecventa, este

clear all; close all;

fs=16e+3;ft=2e+3;wt=2*pi*ft/fs;

am=25;N=28;

beta=0.5842*(am-21)^0.4+0.07886*(am-21)

for i=0:N-1,

t=i-(N-1)/2;

c(i+1)=beta*sqrt(1-(2*t/(N-1))^2);

end

for i=0:N-1,

woK(i+1)=Izero(c(i+1))/Izero(beta);

end

for i=0:N-1,

if i~=(N-1)/2

h(i+1)=1/4*(sin(wt*(i-(N-1)/2)))/(wt*(i-(N-1)/2));

else

h(i+1)=1/4;

end; %if

end; %i

h=h.*woK;

h=figure;

stem(h);grid;

for i=1:N

num(1,i)=h(i);

den(1,i+1)=0;

end

den(1,1)=1;

h=figure

dimpulse(num,den);grid;

h=figure;

w=[10:10:250000];

[mag,phase]=dbode(num,den,1/fs,w);

subplot(211); plot(w/2/pi,mag); grid;

subplot(212); plot(w/2/pi,phase); grid;

Coeficintii numaratorului, respectiv numitorului (in ordine descrescatoare a puterilor lui z), sunt:

Num=[-0.0146 -0.0069 0.0080 0.0222 0.0256 0.0123 -0.0145 -0.0415 -0.0503 -0.0260 0.0339 0.1162 0.1952 0.2435 0.2435 0.1952 0.1162 0.0339 -0.0260 -0.0503 -0.0415 -0.0145 0.0123 0.0256 0.0222 0.0080 -0.0069 -0.0146]

Den=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0].

Prin rularea programului se vor obtine urmatoarele caracteristici

Fig.1.a

Fig.1.b

Fig.1.c

Schema de implementare pentru filtrul trece jos (intrare de tip impuls) este:

Fig.2

In urma simularii se va obtine raspunsul la impuls al sistemului

Fig.3

Ne intereseaza, de asemenea, si raspunsul sistemului la un semnal sinusoidal discret, de frecvente 1kHz, respectiv 10 kHz. Schemele bloc corespunzatoare celor doua cazuri sunt foarte asemanatoare, acesta fiind motivul pentru care numai prima dintre ele va fi prezentata.

Fig.4

Caracteristicile obtinute( raspunsurile sistemului la intrare de tip sinusoidal ) sunt:

Fig.5.1

La scara mai mare se obtine

Fig.5.2

Fig.6.1

La scara mai mare se obtine

Fig.6.2

Daca se amplaseaza un osciloscop la intrare se poate vizualiza semnalul sinusoidal de intrare. Forma acestuia este mult influentata de perioada mare de esantionare.

In cele doua grafice care urmeaza, vor fi prezentate la scara normala, respectiv la scara marimea de intrare.

Fig.7.1

Fig.7.2