Algebre libere

Algebre libere

Fie K o clasa de algebre de acelasi tip t

Definitia 1. O algebra A de acelasi tip t se zice libera pentru K daca exista o multime X A astfel incat

i) [X] = A.

ii) Daca B I K si f : X B este o functie, atunci exista un morfism  f : A B astfel incat f este restrictia lui f la X ( adica f _X = f ).

In acest caz vom spune ca multimea X genereaza liber pe A (sau ca A este libera pentru K peste X) iar elementele lui X se vor zice generatori liberi ai lui A.

Sa notam faptul ca morfismul fdin ii) daca exista el este unic cu proprietatea respectiva astfel ca pentru orice B I K avem:

Lema 2. Exista o corespondenta bijectiva intre Hom (A, B) si B

Lema 3. Daca A este libera pentru K, atunci A este libera si pentru HSP(K).

Demonstratie: Este suficient sa demonstram ca daca A este libera pentru K, atunci A este libera pentru H(K), S(K) si P(K). Sa probam lucrul acesta de exemplu pentru H(K) (pentru celelalte facandu-se analog).

Fie deci B I H (K) si f : X B o aplicatie. Cum BIH(K) exista C I K si un morfism surjectiv s C B (exista deci si o aplicatie s : B C astfel incat ss = 1_B).

X A

f f f′

s^′

B C

s

Cum A este libera pentru K, [X]=A si exista un unic morfism f′:A C a.i f′ _x = s′f. Atunci notand f = sf′, f^″ _x = f (deoarece pentru xIX, f^″(x) = s(f′(x))= =s(s′(f (x))) = ss′(f (x)) = f(x)).g

Lema 4. Daca A_i   este libera pentru K peste X_i (i=1,2)si X₁ X₂ , atunci A₁ A₂.

Demonstratie: Fie f : X₁ X₂ o bijectie. Exista atunci morfismele  f: A₁ A₂ si f:A₂ A₁ astfel incat f = f si f = f.Observam ca f f extinde pe f f =1 si cum si 1_A extinde pe 1 deducem ca f f =1_A .

Analog f f=1_A, adica A₁ A₂ . g

O algebra A libera pentru K este determinata pana la un izomorfism de cardinalul oricarei multimi de generatori liberi. De aceea, pentru un cardinal a, vom nota prin F_K(a) una din algebrele izomorfe din K ce are o multime de generatori liberi de cardinal a (sau prin F_K (X) daca multimea X cu X a este specificata).

Propozitia 5. Fie K o clasa de algebre de acelasi tip t, A o algebra de acelasi tip t si congruenta Q (K) definita prin Q(K) =

Daca A este libera pentru K peste X, atunci = A Q ( K ) este libera pentru K peste = iar I SP (K).

Demonstratie: I SP (K).

Daca p : A A Q(K) = este morfismul bijectiv canonic, atunci p(X) = este in mod evident o multime de generatori pentru .

Pentru a verifica proprietatea de prelungire, fie B I K si f : B o aplicatie. Vom nota cu singurul morfism de la A la B ce extinde aplicatia f p : X B

Atunci A Ker ( ) ( A ) B, adica Q ( K ) Ker . Conform celei de a doua teoreme de izomorfism, exista un morfism : B astfel incat p = . Acesta este morfismul cautat (adica = f) deoarece pentru x = x Q (K) I ( cu x I X ) avem () =( p(x ) ) == f ( p(x ) ) =f (). g

Fie A o algebra de tip t iar a un ordinal.

Definitia

i) Proiectiile p_g : A^a A sunt polinoame de grad a peste A pentru orice g < a

ii) Daca q₁, q₂, , q_nsunt polinoame de grad a peste A, atunci si  f_i(q₁, , q_n) : A^a A, f_i (q₁, , q_n) (a) = f_i (q₁ (a), , q_n(a)) pentru a I A^a este polinom de grad a peste A (1 i t

iii) Polinoamele de grad a peste A sunt numai acelea ce se obtin printr-un numar finit de aplicari a lui i) sau ii).

Definitia 7.

i) Simbolurile (x_{g g<a} sunt simboluri polinomiale de grad a si pentru orice algebra A de tip t acestea induc polinoame de grad a _g<a

ii) Daca q₁, , q_n sunt simboluri polinomiale care induc polinoame de grad a q₁, , q_n pe A, atunci f_i (q₁, , q_n) este un simbol polinomial de grad a si induce polinomul de grad a f_i (q₁, , q_n) pe A.

iii) Simbolurile polinomiale de grad a pe A sunt numai acelea ce se obtin printr-un numar finit de aplicari ale lui i) si ii).

In practica se inlocuiesc x₀, x₁, x₂   prin x, y, z si se omite ' . ' de la polinoame sau de la simbolurile polinomiale ori de cate ori este posibil.

Polinomul p de pe o algebra A indus de un simbol polinomial p este unic determinat.

Definitia 8. Pentru oricare doua simboluri polinomiale q si r de grad a (peste algebre de tip t) simbolul q = r se zice identitate care este satisfacuta in clasa K (de algebre de tip t) daca pentru orice algebra A I K polinoamele induse q si r de pe A sunt identice.

In particular daca K = vom zice ca A satisface identitatea q = r.

Teorema 9. Fie A, B algebre de tip t, q un simbol polinomial de grad a iar f : A B un morfism de algebre de tip t

Atunci pentru orice u I A^a, f u I B^a iar f (q (u)) = q (f u).

Demonstratie: La inceput sa presupunem ca q = . Atunci x_g induce proiectia de ordin g de pe A si B si avem: f (p_g(u) = f (u (g)) = (f u) (g =p_g (f u).

Fie acum a i t) si q₁, , q_n simboluri polinomiale pentru care enuntul este adevarat.

Atunci pentru u I A^a : f (f_i(q₁, , q_n(u)) = f (f_i (q₁(u), , q_n(u))) = = f_i(f (q₁(u), , f (q_n(u))) = f_i (q_i (f u), , q_n(u))) = f_i (q₁, , q_n) (f u). g

Lema 10. Fie (A_i)_iII o familie de algebre de tip t si q un simbol polinomial ce induce q_i pe A_i pentru fiecare i I I. Atunci polinomul indus pe A_i de q este functia q : (A_i)^a A_i astfel incat pentru a I (A_i)^a si a_i I (A_i)^a definit de  a_i(g) = (a(g)) (i) avem (q (a)) (i) = q_i (a_i) pentru orice i I I.

Demonstratie: x_g induce ( p_g ) _Ai pe A_i deci (q (a)) (i) = (p_g)_Ai (a_i) = a_i (g) = (a (g)) (i), adica q (a) = a (g), deci q = p_g

Presupunem ca pentru j = 1, 2, , n_i, qⁱ induce q^j_k pe A_k pentru fiecare k I I si induce q^j peA_k definit pe q^j : (A_k)^a A_k, unde pentru fiecare a I (A_k)^a si a_k I (A_k)^a este definit pe a_k (g) = (a (g)) (k), (q^j (a)) (k) = q^j_k (a_k). Atunci polinomul de pe A_k indus de f_i (q¹, , qⁿ) este definit prin ((f_i (q¹, , qⁿ)) (a)) (k) = (f_i (q¹(a),, qⁿ (a))) (k) = f_i q¹_k (a_k), , qⁿ_k (a_k)) = (f_i (q¹_k, , qⁿ_k)) (a_k), unde a_k I (A_k)^a a_k(g) = (a(g) (k)).g

Corolar 11. Daca orice algebra dintr-o clasa K satisface o identitate va fi satisfacuta de orice algebra din varietatea generata de K.

Demonstratie: Daca (A_i)_iII este o familie de algebre din K iar q₁ = q₂ este o identitate astfel incat pentru orice i I I, A_i satisface identitatea q₁ = q₂ atunci tinand cont de cele stabilite in lema precedenta, deducem ca A_i satisface q₁ = q₂ astfel ca orice algebra din P (K) va satisface identitatea q₁ = q₂. Analog se demonstreaza ca orice algebra din H(S(P(K))) satisface identitatea q₁ = q₂.g

Corolar 12. Daca toate algebrele subdirect-ireductibile ale unei varietati K satisfac o identitate, atunci acea identitate este satisfacuta de orice algebra din K. g

Fie acum t un tip de similitudine si a > 0 un ordinal.

Prin algebra P^a t) a simbolurilor polinomiale de grad a si tip t intelegem algebra ce are ca multime subiacenta multimea tuturor simbolurilor polinomiale de grad a si tip t pe care definim operatiile fundamentale f_i prin : f_i (q₁, , q_n) = =f_i (q₁, , q_n ) pentru orice 1 i t

Lema 13. Fie A o algebra de tip t si i I A^a. Atunci [] = =.

Demonstratie: Fie T = .

Atunci, pentru orice g < a, s (g) = P_g (s), deci T.

De asemenea, daca 1 i t) si q₁, , q_n sunt simboluri polinomiale de grad a si tip t, atunci f_i (q₁ (s), , q_n (s)) = f_i (q₁, , q_n) (s) I T astfel ca T este o subalgebra a lui A ce contine si cum orice algebra a lui A ce contine contine de asemenea si pe T, deducem ca [ = t.g

Lema 14. Daca A este o algebra de tip t si A = [] unde a I A^a, atunci exista q_a I Con (P^a t)) astfel incat P^a t q_a A.

Demonstratie: Definim f: P^a t A prin f(q) = q(a). Deoarece pentru orice 1 i t), f (f_i (q₁, , q_n)) = f (f_i (q₁, , q_n)) = f_i (q₁, , q_n)) (a) = f_i (q_i (a), , q_n (a)) =f_i (f (q₁), , f (q_m)) deducem ca f este morfism de algebre de tip t

Pentru u I A exista q astfel incat q (a) = u si astfel f (q) = q (a) = u.

P^a t Ker f A ( deci vom considera q_a = Ker f I Con (P^a t g

Lema 15. Fie A si B algebre de tip t, a I A^a, b I B^a

Atunci exista un morfism f : [] B astfel incat f a = b daca si numai daca pentru oricare doua simboluri polinomiale q₁, q₂, q₁ (a) = q₂(a) T q₁(b) = =q₂(b).

Demonstratie: T' . Deoarece a I ^a, atunci avem q₁ (b) = =q₁ (f a) = f(q₁ (a)) = f (q₂ (a)) = q₂ (f a) = q₂ (b).

' '. Definim f : [] B prin f (q (a)) = q (b) pentru orice  q I P^a t). f este corect definita.

De asemenea, (f a) = f (a (g)) = f (P_g (a)) = P_g (b) = b (g), deci f a = b. Deoarece pentru orice 1 i t), f (f_i (q₁ (a), , q_n(a))) = f (f_i (q₁, , q_n) (a)) = =(f_i (q₁, , q_n)) (b) = f_i (q₁ (b), , q_n (b)) = f_i(f (q₁ (a), , f (q_n(a)) pentru oricare q₁, , q_n I P^a t) deducem ca f este si morfism.g

Teorema 1 Daca K este o varietate netriviala, atunci F_K (a) exista pentru orice cardinal a > 0.

Demonstratie: Fie S = {a I A^a A I K, A = []} si pentru fiecare a I S, q_a I Con (P^a t

Cum K este varietate, deducem ca B = (P^a t q_a I K.

Pentru fiecare g < a fie x_g I B definit prin x_g (a) = x_g q_a

Atunci subalgebra C a lui B generata de apartine lui K si aratam ca (x_{g g<a} sunt distincte. Sa presupunem prin absurd ca exista g g < a g g astfel incat x_g= x_g. Cum K este netriviala, exista o algebra in K ce contine elementele distincte u₁ si u₂. Astfel, exista a₀ I ^a astfel incat a₀ (g )= u₁ si a₀ (g ) = u₂. Insa  [] I K si [] = [], adica a₀ I S. x_g = x_g T x_g (a₀) = x_g(a₀) T x_g q_a = x_g q_a T (x_g, x_g I q_a T P_g(a₀) = P_g(a₀) T u₁ = a₀ (g )= = P_g(a₀) = P_g(a₀) = a₀ (g ) = u₂ - absurd, deci a

Sa aratam acum ca genereaza liber pe C pentru orice g < a

Pentru AIK si aIA^a este suficient sa aratam ca exista un morfism g : C A astfel incat g (x_g) = a (g) pentru orice g < a

Daca definim x I ^a definit prin x (g) = x_g pentru g < a atunci avem x I ^a definit prin x (g) = x_g pentru g < a si y_a I ^a definit prin y_a(g ) = x_g (a) pentru orice g < a.

Daca q₁ si q₂ I P^a t) si q₁ (x) = q₂ (x), atunci q₁ (a) = q₂ (a). Intr-adevar, pentru fiecare g < a, y_a (g) = x_g (a) = x_g q_a p_q(x_g) = (p_q x) (g), adica y_a=p_q x.  (q_i (x)) (a) = q_i (y_a) pentru i = 1, 2, deci q₁ (x) = q₂ (x) T q₁ (y_a) = q₂ (y_a) T q₁ (p_q x) = q₂ (p_q x). Atunci avem p_q(q₁ (x)) = p _q(q₂ (x)).

Dar q₁ (a) = q₂ (a). Atunci deducem existenta unui morfism f : [] = =C A astfel incat f x = a, adica f (x_g) = a (g) pentru fiecare g < a g

Teorema 17. (Birkhoff). O clasa de algebre K este varietate daca si numai daca exista o multime W de identitati astfel incat K este exact clasa algebrelor ce satisfac toate identitatile din W

Demonstratie: '. Totul rezulta din aceea ca identitatile sunt pastrate atunci cand trecem la imagini homomorfice, subalgebre si produse directe.

Astfel, algebrele formate in acest mod plecand de la algebre din K trebuie sa satisfaca toate identitatile din W si conform ipotezei trebuie sa faca parte din K.

' T '. Fie W multimea tuturor identitatilor ce sunt satisfacute de orice algebra din K.

Deoarece orice algebra din K satisface toate identitatile din W, mai avem de aratat ca daca algebra A verifica toate identitatile din W, atunci A I K.

Pentru aceasta sa presupun ca A a si sa consideram algebra libera F_K (a) Daca a = 0, atunci in mod evident A I K.

Pentru o multime de generatori liberi ai lui F_K(a) si =A.

Daca q₁ q₂ sunt din P^a t) si q₁ (x) = q₂ (x) pentru x I (F_K (a ^a cu x ( g ) = x_g , atunci (deoarece genereaza liber pe F_K (a)) polinoamele induse de q₁ si q₂ sunt identice pentru orice algebra din K, deci q₁ = q₂ I W

Astfel A satisface identitatea q₁ = q₂. Atunci exista un morfism surjectiv de la F_K(a) la A.

Insa H (K) K si F_K a I K, deci A I K g

Corolar 18. Fie K o clasa de algebre de acelasi tip t si W o multime de identitati care sunt satisfacute de orice algebra din K.

Atunci o algebra A face parte din varietatea generata de K dacaa si numai daca A satisface orice identitate din W

Demonstratie: Fie K₁ varietatea generata de K si W multimea identitatilor ce sunt satisfacute de orice algebra din K₁.

Cum K K T W W

T '. Fie A I K₁; A satisface orice identitate din W

'. Fie A K₁; exista o identitate p = q in W ce nu este satisfacuta de A. Insa W W deci p = q I W si A nu satisface p = q - absurd!g