Algebre si morfisme

Pentru o multime nevida A si un numar natural  n definim A^° = iar pentru n > 0,

Definitia 1.1. Prin operatie algebrica n - ara pe multimea A intelegem o aplicatie  f : Aⁿ A. (n va purta numele de rangul lui f ).

O operatie f : A^° = A se zice operatie nula, f : A A se zice operatie unara, f : A A se zice operatie binara.

Prin tip de similitudine (sau simplu tip) intelegem un m - uplu de numere naturale, t = (n₁ , n₂ , n_m) (m se va numi ordinul lui t si vom scrie m = 0 (t

Prin algebra de tipul t = (n₁ ,n₂ , n_0(t ) intelegem o pereche A = (A , F) unde A este o multime nevida (numita universul algebrei A) iar F este un 0 (t) - uplu de operatii pe A ( f₁ , f₂ , ,f_{0 (t} ) astfel incat pentru 1 i t), f_i este operatie n_i - ara pe A.

Observatie

. De obicei pentru toate algebrele de acelasi tip t vom folosi aceeasi notatie f_i pentru operatia n_i - ara, 1 i t

. Prin algebra vom intelege doar universul sau (fara a mai specifica de fiecare data operatiile) iar cand vorbim in general de o algebra de tip t vom intelege o algebra A de tipul (n₁, n ₂, , n_{0 ( t}

. A da o operatie nula pe A revine de fapt la a pune in evidenta un element al lui A.

Definitia 1.2. O algebra A = (A, F) se zice unara daca toate operatiile sale sunt unare si monounara daca are o singura operatie unara.

A se zice grupoid daca are o singura operatie binara, finita daca A este multime finita si triviala  daca A are un singur element.

Exemple

. Grupurile. Un grup este o algebra (G , , ^-1 , 1) cu o operatie binara ' ', una unara ' ' si alta nula 1 I G astfel incat sa fie verificate identitatile:

G: x (y z) = (x y) z

G: x x = x

G: x x ^-1 = x ^-1 x = 1

Un grup se zice comutativ (sau abelian) daca mai verifica in plus si identitatea:

G: x · y = y · x

. Semigrupurile si monoizii. Prin semigrup intelegem un grupoid in care (G₁) este verificata iar prin monoid o algebra (M , , 1) cu o operatie binara ' ' si una nula 1 I M astfel incat (G₁) si (G₂) sunt verificate.

. Inelele. Un inel este o algebra (A , + , , - , 0) unde ' + ' si ' ' sunt operatii binare pe A, ' - ' este o operatie unara iar 0 I A este o operatie nula astfel incat:

A: (A , + , - , 0 ) este un grup abelian

A: (A , ) este semigrup

A: Sunt verificate identitatile:

x (y + z) = x y + x z

(x + y) z = x z + y z

Prin inel unitar intelegem o algebra (A, +, , - , 0, 1) astfel incat (A, + , , - ,0) este un inel, 1I A este o operatie nula astfel incat (G₂) este verificata.

. Semilatici. Din punct de vedere al algebrei universale, prin semilatice  intelegem un semigrup (S , ) ce satisface pe (G₄) si legea de idempotenta:

S₁: x x = x

Latici. Din punct de vedere al algebrei universale, prin latice intelegem o algebra (L, ) cu doua operatii binare  si astfel incat sunt verificate identitatile:

L₁: Legea de comutativitate:

(a) x y = y x

(b) x y = y x

L₂ : Legea de asociativitate:

(a) ( x y ) z = x ( y z )

(b) (x y ) z = x ( y z )

L₃ : Legea de idempotenta:

(a)   x x = x

(b) x x = x

L ₄ : Legea de absorbtie:

(a)   x ( x y ) = x

(b) x ( x y ) = x

O latice marginita este o algebra (L , , , 0 , 1) astfel incat (L , ) este latice, 0, 1 I L sunt operatii nule astfel incat sunt verificate identitatile:

x

x

Definitia 1.3. Fie A si B doua algebre de acelasi tip t O aplicatie f : A B se zice morfism de algebre de tip t (sau simplu morfism) daca pentru orice 1 i t) si a, a, , aI Aⁿ avem: f(f_i( a₁ , a₂ , ,a)) = f_i(f(a₁) , , f (a)).

Exemple:

1. Cvasigrupurile si loop-urile

Un cvasigrup este o algebra impreuna cu trei operatii binare care satisface urmatoarele identitati

Q₁:  x (x · y)y

(x · y) / yx

Q₂:  x ·(x y)y

(x / y) · yx

Un loop este un cvasigrup impreuna cu identitatea, i.e., o algebra care satisface (Q₁), (Q₂) si (G₂).

Module peste un inel fix

Fie R dat ca inel. Un R-modul (stang) este o algebra unde "+" este binara, "-" este unara, "0" este nula, si fiecare f_r este unara, astfel ca urmatoarele au loc:

M₁: este un grup abelian

M₂: f_r(x+y) f_r(x) + f_r(y), pentru rIR

M₃: f_r+s(x) f_r(x) + f_s(x), pentru r, s I R

M₄: f_r(f_s(x)) f_rs(x), pentru r, s I R.

Fie R dat ca inel cu identitatea. Un R-modul unitar este o algebra care ca mai sus satisface (M₁)- (M₄) si

M₅: f₁(x) x.

Algebre peste un inel

Fie R dat ca inel impreuna cu identitatea. O algebra peste R este o algebra astfel ca au loc urmatoarele:

A₁: este un R-modul unitar

A₂: este un inel

A₃: f_r(xy) (f_r(x)) · y x · f_r(y) pentru rIR

4. Algebre Boole

O algebra Boole este o algebra impreuna cu doua operatii binare, o operatie unara si doua operatii nule care satisfac:

B₁: este o latice distributiva

B₂: x

x

B₃: x x

x x

Algebrele Boole au fost descoperite ca rezultat al investigatilor Boole de la baza legilor judecatii corecte.

De atunci a devenit centrul pentru ingineria electrica, stiinta computerelor, multimea teoriei axiomatice, modul teoretic si pe de alta parte domeniu al stiintei matematicii.

5. Algebre Heyting

O algebra impreuna cu trei operatii binare si doua nule este o algebra Heyting daca sunt satisfacute:

H₁: este o latice distributiva

H₂: x

x

H₃: x x

H₄: x y y y

x (x y) x y

H₅: x (y z) (x y) (x z)

(x y) z (x z) (y z)

Acestea au fost introduse cu ajutorul lui Birkhoff sub diferite nume algebre Brouwerian si cu diferite notatii (v : u pentru u v).

6. Algebre post n-valuente

O algebra impreuna cu doua operatii binare, o operatie unara si doua operatii nule este o algebra post n-valuenta daca aceasta satisface fiecare identitate satisfacuta de algebra P_n= unde este o multime total ordonata cu 0<n-1<n-2<..< 2 < 1, si 1′ = 2, 2′ = 3, ., (n-2)′ = n-1, (n-1)′ = 0 si 0′=1.

In figura de mai jos operatia unara "′ " este descrisa cu ajutorul sagetii:

7. Algebre cilindrice de dimensiune n

Daca avem dat nIw, atunci o algebra (A, ,′, c,, c_n-1, 0, 1, d, d,, d) impreuna cu doua operatii binare, n+1 operatii unare si n²+2 operatii nule este o algebra cilindrica de dimensiune n daca satisface urmatoarea, unde 0 i, j, k n

C₁: este o algebra Boole

C₂: c_i 0

C₃: x c_ix

C₄: c_i(x c_iy) (c_ix) (c_iy)

C₅: c_ic_jx c_jc_ix

C₆: d_ii

C₇: d_ik c_j (d_ij d_jk) daca i j k

C₈: c_i (d_ij x) c_i (d_ij x 0 daca i j.

Cilindrul algebric a fost introdus cu ajutorul lui Tarski si Thompson pentru a sustine versiunea algebrica  a predicatelor logice.

8. Ortolatici

O algebra impreuna cu doua operatii binare, o operatie unara si doua operatii nule este o ortolatice daca sunt satisfacute:

Q₁: este o latice marginita

Q₂: x x

x x

Q₃: (x y)' x' y'

(x y)' x' y'

Q₄: (x')' x

O latice ortomodulara este o ortolatice care satisface

Q₅: x y x x' y) y.

Observatie: Cand vom afirma ca 'f : A B este morfism' vom subintelege ca A si B sunt universurile a doua algebre de acelasi tip t iar f este morfism de algebre de tip t

Exemple

. Fiind date doua grupuri ( G, ^. ,^-1 , 1 ) si ( G′, ^. , ^-1 , 1 ) prin morfism de grupuri vom intelege o aplicatie f : G G′ astfel incat pentru x, y I G sa avem f ( x y ) = f ( x ) f ( y ), f(x) = (f (x)) si f( 1 ) = 1. (Se arata ca pentru ca f sa fie morfism de grupuri este suficient doar ca f(x y) = f(x) f(y) pentru orice x, y I G).

. Daca (S, ) si (S ) sunt doua semilatici atunci prin morfism de semilatici intelegem o functie f : S S astfel incat pentru orice x, y I S, avem f(x y)=f(x) f(y).

. Daca (L , ) si (L′ , ) sunt doua latici f : L L este morfism de latici daca f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) si f (x y) = f (x) f (y) pentru orice x, y I L.

In cazul laticelor marginite prin morfism de latici marginite intelegem un morfism f de latici si care in plus mai verifica conditiile f ( 0 ) = 0 si f ( 1 ) =1

Evident, compunerea a doua morfisme de algebre de acelasi tip este de asemenea morfism.

Despre morfismele i : A B ce sunt injectii, vom spune ca sunt scufundari iar despre acele morfisme f : A B cu proprietatea ca exista g : B A astfel incat  gf = 1_A si fg = 1_B vom spune ca sunt izomorfisme (in care caz vom scrie A B

Se probeaza imediat ca daca morfismul f : A B este o bijectie, atunci f:B A este de asemenea morfism astfel ca izomorfismele sunt exact morfismele bijective.

Izomorfismele f : A A se zic automorfisme.

Observatie: Pentru doua algebre A si B de acelasi tip, vom nota prin Hom (A, B) multimea morfismelor de la A la B.

Definitia 1.4. Fie A o algebra de tip t iar B A o submultime nevida a sa. Vom spune ca B este subalgebra a lui A daca pentru orice 1 i t) si (b₁,b₂,...,b_n ) I B avem ca f_i(b₁,b₂,...,b_n) I B.

Evident, subalgebrele lui A (impreuna cu restrictiile operatiilor lui A la ele) sunt algebre de acelasi tip t. Daca B A este subalgebra a lui A vom scrie B A.

Daca f : A B este morfism de algebre atunci f (A) este subalgebra a lui B iar daca B A, incluziunea 1_B,A : B A este morfism daca si numai daca B este subalgebra a lui A.

Definitia 1.5 Fie A o algebra si S A o multime nevida. Daca exista o cea mai mica subalgebra a lui A (fata de incluziune) ce contine pe S, atunci aceasta se va nota prin [S] si se va numi subalgebra lui A generata de S (elementele lui S se vor numi generatori ai lui A).

Observatie: Daca A si B sunt algebre de acelasi tip, S A este o multime nevida pentru care exista [S], atunci daca f, g : [S] B sunt morfisme astfel incat f _S = g _S deducem ca f = g.

Sa consideram acum operatorul: Sg : Sub(A) Sub (A), Sg(X) = [X] pentru fiecare X A.

Teorema 1.6. Fiind data o algebra A, atunci operatorul Sg definit mai inainte este un operator algebric de inchidere pe A.

Demonstratie: Faptul ca Sg  este operator de inchidere rezulta imediat. Pentru fiecare X A definim: E(X) = X f(a₁,..,a_n) f este o operatie n-ara pe A si a₁,.,a_nIX si recursive Eⁿ(X) pentru nIN prin E⁰(X) = X si Eⁿ⁺¹(X) = E(Eⁿ(X)).

Cum X E(X) E²(X) deducem ca Sg (X) = X E(X) E²(X) , astfel ca daca a I Sg (X), atunci aIEⁿ (X) pentru un anumit nIN, adica pentru o anumita submultime finita Y X, a I Eⁿ(Y). Atunci  a ISg (Y), adica Sg este un operator algebric de inchidere. g

Corolar 1.7. Daca A este o algebra, atunci L_Sg (laticea subalgebrelor lui A) este o latice algebrica (vom nota aceasta latice prin Sub [A] pentru a o distinge de laticea Sub (A)  a submultimilor lui A).

Teorema1.8. (Birkhoff si Frink) Daca L este o latice algebrica, atunci exista o algebra A astfel incat L sa fie izomorfa cu laticea Sub [A].

Demonstratie: Exista o multime A si un operator algebric de inchidere C pe A astfel incat L L_c.

Pentru fiecare submultime finita B A si b I C (B) definim o operatie n-ara (n = ) f_B,b pe A astfel:

f_B,b(a₁, ,a_n)=

Vom nota tot prin A algebra astfel obtinuta.

Atunci f_{B, b} ( a₁, , a_n ) I C ( ), deci pentru X A, Sg (X) C(X). Pe de alta parte C (X) = si pentru B finita, C(X) = , b I C(B) Sg (B) Sg (X) ceea ce implica C(X) Sg (X), deci C(X) Sg (X). Atunci L_c Sub [A]. g