Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » matematica
Proprietati ale functiilor elementare

Proprietati ale functiilor elementare

Proprietati ale functiilor elementare

1. Functii polinomiale

Definitie: Functia f: R → R, f(x)= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+..+ a₁x¹+ a₀x⁰ se numeste functie polinomiala de gradul n de coeficienti a_i R, n N, a_n0 si variabila x.

In functie de gradul polinomul asociat, functia are proprietati de monotonie, convexitate si concavitate, bijectivitate si continuitate diferite, de aceea in prezenta lucrare, la aceasta sectiune voi prezenta cazul functiiilor de gradul I , II si functia putere cu exponent natural ca si cazuri particulare a functiei polinomiale.

1.1 Functia liniara sau functia de gradul I.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)= ax+b se numeste functie de gradul I de coeficienti a,b R. In tabelul de mai jos regasim principalele caracteristici:

Functia	f: R → R, f(x) = ax+b unde a,b R a0
Intersectia cu axele De coordonate Ox si Oy	G_fOx: f(x)=0 x=A(,0) Ox G_fOy: x=0 f(0)=b B(0,b) Oy
Convexitate si concavitate	Si convexa si concava in acelasi timp.
Paritate	Cand b = 0 functia este impara, G_f fiind simetric fata de O(0,0), in rest nu se pune problema.
Monotonia functiei	a< 0	x	- +
		f(x)=ax+b	+↓ ↓ ↓ 0 ↓ ↓ ↓ -
	a >0	x	- +
		f(x)=ax+b	- ↑ ↑ ↑ 0 ↑ ↑ ↑ +
Semnul functiei	x		- +
	f(x)=ax+b		Semn opus a 0 acelasi semn a
Continuitate	G_f este o dreapta continua
Bijectivitate	Da

Observatie: In cazul a=0 functia este constanta, Gf fiind o dreapta ││Ox.

1.2. Functia de gradul II.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)= ax²+bx+c se numeste functie de gradul II de coeficienti a,b,c R. cu a≠ 0.

Functia	f: R → R, f(x)= ax²+bx+c, a,b,c R. cu a≠ 0.
Calculul discriminantului ∆	∆=b²-4ac
	∆ >0		∆=0			∆<0
Varful parabolei	V() Daca a > 0 V - punct de minim Daca a < 0 V - punct de maxim		V() Ox Daca a > 0 V - punct de minim Daca a < 0 V - punct de maxim			V() Daca a > 0 V - punct de minim Daca a < 0 V - punct de maxim
Intersectia cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 A₁(x₁,0) si A₂(x₂,0) Ox G_fOy: x=0 f(0)=c C(0,c) Oy		G_fOx: A₁=A₂= V() Ox G_fOy: x=0 f(0)=c C(0,c) Oy			G_fOx= Gf nu intersecteaza axa Ox G_fOy: x=0 f(0)=c C(0,c) Oy
Monotonia functiei de gradul II	x = axa de simetrie a Gf		x = axa de simetrie a Gf			x = axa de simetrie a Gf
	a > 0		x		- -b/2a +
			f(x)		+ ↓ ↓ -∆/4a ↑ ↑ +
	a < 0		x		- -b/2a +
			f(x)		+ ↑ ↑ -∆/4a ↓ ↓ +
Semnul functiei	x	- x1 x2 +	x	- x1 = x2 +		x	- +
	f(x)	sgn(a) 0 -sgn(a) 0 sgn(a)	f(x)	sgn(a) 0 sgn(a)		f(x)	sgn(a) sgn(a) sgn(a)
Bijectivitate	NU
Continuitate	Gf este o curba continua numita parabola

1.3 Functia putere cu exponent numar natural.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)=xⁿ cu n N* se numeste functie putere cu exponent numar natural.

In tabelul de mai jos voi reda principalele atribute ce caracterizeaza aceasta functie:

Functia	f: R → R, f(x)=x^2k, n N*		f: R → R, f(x)=x^2k+1, n N*
Intersectia cu axele de coordonate Ox si Oy	O(0,0)		O(0,0)
Paritate	f(-x)=f(x) functie para		f(-x)=-f(x) functie impara
Simetria graficului G_f	G_f simetric fata de Oy		G_f simetric fata de O
Convexitate si concavitate	Convexa pe R		Concava pe (-,0) Convexa pe [0,+) O(0,0) punct de inflexiune
Puncte remarcabile pe graficul functiei	(-1,1), (0,0), (1,1)		(-1,-1), (0,0), (1,1)
Ordonarea puterilor pe (0,1) si (1, )	Pentru 0< x < 1 xⁿ⁺¹< xⁿ Pentru x > 1 xⁿ⁺¹> xⁿ		Pentru 0< x < 1 xⁿ⁺¹< xⁿ Pentru x > 1 xⁿ⁺¹> xⁿ
Monotonia functiei	x	- -1 0 1 +	x	- -1 0 1 +
	x^2k	+↓ 1 ↓ 0 ↑ 1 ↑ +	x^2k+1	+↑ - 1 ↑ 0 ↓ 1 ↓ +
	Strict descr. pe (-,0) Strict cresc. pe [0,+) (0,0) punct de minim		Strict crescatoare pe R (0,0) punct de inflexiune
Semnul functiei	x	- 0 +	x	- 0 +
	x^2k	+ + + + + 0 + + + + +	x^2k+1	+ - - - - 0 + + + + +
Continuitate	G_f este o curba continua		G_f este o curba continua

2. Functia putere cu exponent numar intreg negativ.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)=x^-n cu n N* se numeste functie putere cu exponent numar intreg negativ.

Functia	*f: R → R, f(x)=* n N*		*f: R → R, f(x)= ,* n N*
Intersectia cu axele de coordonate Ox si Oy	Nu taie axele de coordonate		Nu taie axele de coordonate
Paritate	f(-x)=f(x) functie para		f(-x)=-f(x) functie impara
Simetria graficului G_f	G_f simetric fata de Oy		G_f simetric fata de O
Convexitate si concavitate	Convexa pe R*		Concava pe (-,0) Convexa pe [0,+) O(0,0) punct de inflexiune
Puncte remarcabile pe graficul functiei	(-1,1), (1,1)		(-1,-1), (1,1)
Comportament asimptotic	x=0 asimptota verticala y=0 asimptota orizontala		x=0 asimptota verticala y=0 asimptota orizontala
Ordonarea puterilor pe (0,1) si (1, )	Pentru 0< x < 1 xⁿ⁺¹< xⁿ Pentru x > 1 xⁿ⁺¹> xⁿ
Monotonia functiei	x	- -1 0 1 +	x	- -1 0 1 +
		0 ↑ 1 ↑⁺│⁺↓1 ↓ 0		0 ↓ -1 ↓_-│⁺↓1 ↓ 0
	Strict cresc. pe (-,0) Strict descresc. pe [0,+)		Strict descrescatoare pe R*
Semnul functiei	x	- 0 +	x	- 0 +
		+ + + + + │ + + + + +		+ - - - - │ + + + + +
Continuitate	G_f este o curba continua pe (-,0) si pe (0,+)		G_f este o curba continua pe (-,0) si pe (0,+)
Bijectivitate	Nu		Da

3. Functia radical de ordinul n.

Definitie:

a) Functia f: R → R, f(x)= , nN*, se numeste functia radical de ordin impar.

b) Functia f: [0,+) → [0,+), f(x)= nN*, se numeste functia radical de ordin par.

Functia	f: [0,+) → [0,+), f(x)= n N*		f: R → R, f(x)= , n N*
Intersectia cu axele de coordonate Ox si Oy	O(0,0)		O(0,0)
Paritate	Nu		f(-x)=-f(x) functie impara
Simetria graficului G_f	Nu		G_f simetric fata de O
Convexitate si concavitate	Concava pe [0,+)		Convexa pe (-,0 Concava pe [0,+)
Puncte remarcabile pe graficul functiei	(0,0), (1,1)		(-1,-1), (0,0), (1,1)
Monotonia functiei	x	- 1 +	x	- -1 0 1 +
		0 ↑ ↑ 1 ↑ ↑ +		-↑ - 1 ↑ 0 ↑ 1 ↑ +
	Strict cresc. pe [0,+)		Strict crescatoare pe R
Semnul functiei	x	0 +	x	- 0 +
		0+ + + + + + + + +		- - - - - 0 + + + + +
Continuitate	G_f este o curba continua		G_f este o curba continua
Bijectivitate	Da		Da
Functia inversa	f^-1: [0,+) → [0,+), f^-1(x) = x²ⁿ		f: R → R, f^-1(x) = x²ⁿ⁺¹

4. Functia putere cu exponent rational.

Definitie: f: (0,+) → R, f(x)= unde m Z, n N* cu n≥2, se numeste functia putere cu exponent rational.

Observatii:

1. Daca m,n ≥2 atunci are sens x > 0, in acest caz proprietati asemanatoare cu a functiei cu exponent natural.

2. Daca m = 1 atunci se obtine functia radical de ordinul n.

3. Daca m < 0 in acest caz functia manifesta proprietati asemanatoare cu a functiei cu exponent intreg negativ.

In graficul de mai jos am efectuat un studiu comparativ al comportarii functiilor:

x² (albastru), x^3/2(rosu), x³(verde), x^-3/2(negru) .

Concluzii:

1. Pentru x > 1 si m,n N* rezulta > 1

2. Pentru 0 < x < 1 si m,n N* rezulta < 1

3. Pentru x > 1 si r₁< r₂cur₁,r₂ Q atunci x ^r1< x ^r2

4. Pentru 0 < x < 1 si r₁< r₂cur₁,r₂ Q atunci x ^r1> x ^r2

Functia exponentiala.

Definitie: Fie a > 0, a ≠ 1. Functia f: R → (0,+),f(x) = a^x, se numeste functie exponentiala de baza a.

Studiul functiei se face pentru doua cazuri, in functie de baza a.

Functia	f: R → (0,+),f(x) = a^x 0 < a < 1	f: R → (0,+),f(x) = a^x a > 1
Intersectia cu axele de coordonate	G_fOx = Ø G_fOy = A(0,1)	G_fOx = Ø G_fOy = A(0,1)
Semnul functiei	a^x > 0 x R	a^x > 0 x R
Convexitate si concavitate	Convexa	Convexa
Monotonie	Strict descrescatoare	Strict crescatoare
Comportament asimptotic	y = 0 asimptota orizontala la	y = 0 asimptota orizontala la
Continuitate	Gf este o curba continua	Gf este o curba continua
Bijectivitate	Da	Da
Functia inversa	f^-1: (0, + → R; 0 < a < 1 f^-1 (x)= log_a x	f^-1: (0, + → R; a > 1 f^-1 (x)= log_a x

Exemplu: f₁: R → (0,+), f(x) = 4^x (grafic culoare albastra) si f₂: R → (0,+),f(x) = 4^-x (grafic culoare rosie)

6. Functia logaritmica.

Definitie: Fie a > 0, a≠1. Functia f: (0, +) → R definita prin f(x)= log_a x, se numeste functie logaritmica in baza a.

Functia	f: (0, + → R; 0 < a < 1 f(x)= log_a x		f: (0, + → R; a>1 f(x)= log_a x
Intersectia cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x=1 A(1,0) Ox Gf nu taie axa Oy		G_fOx: f(x)=0 x=1 A(1,0) Ox Gf nu taie axa Oy
Convexitate si concavitate	Convexa		Concava
Monotonie	Strict descrescatoare		Strict crescatoare
Semnul functiei logaritmice	x	0 1	x	0 1
	log_a x	- 0 + + + +	log_a x	+ 0 - - - -
Bijectivitate	Da		Da
Functia inversa	f^-1: R → (0, + f^-1(x) = a^x cu 0 < a < 1		f^-1: R → (0, + f^-1(x) = a^x cu a > 1
Comportament asimptotic	Axa Oy este asimptota verticala la		Axa Oy este asimptota verticala la

Exemplu: f₁: R → (0,+), f₁(x) = log₄x (grafic culoare albastra) si f₂: R → (0,+),f₂(x) = log_1/4x (grafic culoare rosie)

7. Functii trigonometrice directe.

7.1. Functia sinus.

Definitie: Functia f: R → [-1;1] desrisa de forma analitica f(x)=sinx se numeste functia sinus.

Proprietati	pe [0.2Π)		pe R
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x₁=0 si x₂= Π O(0,0) si B(Π,0) Ox G_fOy: f(0)=0 O(0,0) Oy		G_fOx: f(x)=0 x=kΠ B_k(kΠ,0) Ox G_fOy: f(0)=0 O(0,0) Oy
Paritate	Nu se pune problema		Impara
Simetria graficului	Nu se pune problema		Gf simetric in raport cu O(0,0)
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	x	0 Π/2 Π 3Π/2 2Π	-f.strict crescatoare. -f.strict descrescatoare.
	f(x)	0 ↑ 1 ↓ 0 ↓-1 ↑ 0

Marginire. Valori extreme	Functie marginita -1≤ f(x) ≤ 1 Max f(x) =1 = f(Π/2) Min f(x) =-1 = f(3Π/2)		Functie marginita -1≤ f(x) ≤ 1 Max f(x)=1=f(Π/2+2kΠ Min f(x)=-1= f(3Π/2+2kΠ
Convexitate si Concavitate	-concava pe [0,Π] -convexa pe Π,2Π] x Π punct de inflexiune		-concava pe -convexa pe x Π+2kΠ puncte de inflexiune
Continuitate	continua		Continua
Rezolvarea ecuatiei	x₁=0 si x₂=Π		x _1,k=2kΠ si x _2,k=Π+2kΠ
Semnul functiei	sinx >0 pentru x є (0,Π sinx <0 pentru x є (Π,2Π		sinx >0 pentru x є (2kΠ Π+2kΠ sinx <0 pentru x є (Π+2kΠ,2Π+2kΠ
Bijectivitate	Nu		Nu
Restrictii bijective

Observatii:

Daca x₁,x₂єR, atunci are loc inegalitatea lui Jensen:

7.2. Functia cosinus.

Definitie: Functia f: R → [-1;1] desrisa de forma analitica f(x)=cosx se numeste functia cosinus.

Proprietati	pe [0.2Π)		pe R
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x₁= Π/2 si x₂= 3Π /2 B(Π/2,0)) si D(3Π/2,0) Ox G_fOy: f(0)=1 A(0,1) Oy		G_fOx: f(x)=0 x₁= Π/2+2kΠ si B_k(Π/2+2kΠ,0) D_k(3Π/2+2kΠ,0) Ox G_fOy: f(0)=1 A(010) Oy
Paritate	Nu se pune problema		para
Simetria graficului	Nu se pune problema		Gf simetric in raport cu axa Oy
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	x	0 Π/2 Π 3Π/2 2Π	-f.strict descrescatoare. -f.strict crescatoare.
	f(x)	1 ↓ 0 ↓ -1 ↑ 0 ↑ 1

Marginire. Valori extreme	Functie marginita -1≤ f(x) ≤ 1 Max f(x) =1 = f(0 Min f(x) =-1 = f(Π		Functie marginita -1≤ f(x) ≤ 1 Max f(x)=1=f(2kΠ Min f(x)=-1= f(Π+2kΠ
Convexitate si Concavitate	-concava pe [0,Π/2] si [3Π/2,2Π -convexa pe [Π/2,3Π/2 x Π/2 si x=3Π/2 puncte de inflexiune		-concava pe -convexa pe
Continuitate	Continua		Continua
Rezolvarea ecuatiei	x₁=Π/2 si x₂=3Π/2		x _1,k=Π /2+2kΠ si x _2,k=3Π /2+2kΠ
Semnul functiei	cosx >0 pentru x є (0,Π/2) si pe (3Π/2,2Π cosx <0 pentru x є (Π/2,3Π/2		cosx >0 pentru x є cosx <0 pentru x є
Bijectivitate	Nu		Nu
Restrictii bijective

Observatii:

Daca x₁,x₂є(-Π/2,Π/2) atunci are loc inegalitatea lui Jensen:

7.3. Functia tangenta.

Functia f:R- R, descrisa de f(x)= se numeste functia tangenta. Aceasta este o functie periodica de perioada principala T₀=Π.Prin urmare studiul acestei functii se va realiza pe un interval de lungime Π. Prezint in cele ce urmeaza principalele proprietati in tabelul de mai jos.

Graficul functiei f(x) = tg x

Proprietati	pe (-Π/2.Π/2)		pe D
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x₁=0 O(0,0) s G_fOy: f(0)=0 O(0,0) Oy		G_fOx: f(x)=0 x=kΠ B_k(kΠ,0) Ox G_fOy: f(0)=0 O(0,0) Oy
Paritate	Impara		Impara
Simetria graficului	Gf simetric in raport cu O(0,0)		Gf simetric in raport cu O(0,0)
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	x	Π/2 Π/4 0 Π/4 Π/2	-f.strict crescatoare.
	f(x)	-↑ -1 ↑ 0 ↑ 1 ↑

Marginire. Valori extreme	Functie nemarginita x= Π/2 si x=Π/2 asimptote verticale		Functie nemarginita x= asimptote verticale
Convexitate si Concavitate	-concava pe (-Π/2,0) -convexa pe [0,Π/2) x=0 punct de inflexiune		-concava pe -convexa pe x kΠ puncte de inflexiune
Continuitate	continua		Curba discontinua
Rezolvarea ecuatiei	x₁=0		x _k=kΠ
Semnul functiei	tgx >0 pentru x є (-Π/2,0) tgx <0 pentru x є (0,Π/2)		tgx >0 pentru x є tgx <0 pentru x є
Bijectivitate	Da		Nu
Restrictii bijective

7.4. Functia cotangenta.

Functia f:R- R, descrisa de f(x)= se numeste functia cotangenta. Aceasta este o functie periodica de perioada principala T₀=Π. Prin urmare studiul acestei functii se va realiza pe un interval de lungime Π, acesta fiind (0, Π ). Prezint in cele ce urmeaza principalele proprietati ale functiei in tabelul de mai jos.

Proprietati	pe (0.Π)		pe D
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x= Π/2 A(Π/2,0) Ox G_fOy: f(x)=0 nu are solutie, deci nu avem punct de intersectie cu Oy		G_fOx: f(x)=0 x= Π/2 kΠ B_k(Π/2 kΠ,0) Ox G_fOy: Nu avem punct de intersectie cu Oy
Paritate	Nu		Impara
Simetria graficului	Nu		Gf simetric in raport cu O(0,0)
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	x	0 Π/2 Π	-f.strict descrescatoare.
	f(x)	↓ 0 ↓ -
	↓- f.strict descresc.
Marginire. Valori extreme	Functie nemarginita x=0 si x=Π asimptote verticale		Functie nemarginita x= k Π asimptote verticale
Convexitate si Concavitate	-convexa pe (0,Π/2 -concava pe [Π/2,Π x=Π/2 punct de inflexiune		-concava pe -convexa pe x Π/2+kΠ puncte de inflexiune
Continuitate	Continua		Curba discontinua
Rezolvarea ecuatiei	x= Π/2		x _k= Π/2+kΠ
Semnul functiei	ctgx >0 pentru x є (0,Π/2) ctgx <0 pentru x є (Π/2, Π		ctgx >0 pentru x є ctgx <0 pentru x є
Bijectivitate	Da		Nu
Restrictii bijective

Observatie: Intre functiile tangenta si cotangenta ale aceluiasi argument avem urmatoarea relatie de legatura : tgx*ctgx=1 pentru x si x cu k

Graficul functiei f(x) = ctg x

8. Functii trigonometrice inverse

8.1. Functia arcsinus. Functia sinx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arcsinx: definita de arsiny=x daca si numai daca sinx=y. Graficele functiilor arcsinx si sinx sunt simetrice fata de prima bisectoare.

Principalele proprietati ale functiei arcsinx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox G_fOy: f(0)=0 arcsin0= 0 O(0,0) Oy
Paritate	impara
Simetria graficului	In raport cu O(0,0)
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	- f.strict crescatoare pe
Marginire. Valori extreme	Functie marginita Min f(x)= Max f(x)=
Convexitate si Concavitate	-convexa pe 0,1 -concava pe [-1 0 x=0 punct de inflexiune
Continuitate	Continua
Rezolvarea ecuatiei	arcsinx= 0 x= 0
Semnul functiei	arcsinx0 pentru arcsinx0 pentru
Bijectivitate	Da
Functia inversa	sinx:

Graficul functiei f(x) = arcsin x

8.2. Functia arccosinus. Functia cosx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arccosx: definita de arccosy=x daca si numai daca cosx=y. Graficele functiilor arccosx si cosx sunt simetrice fata de prima bisectoare. Principalele proprietati ale functiei arcsinx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x= 1 A(1,0) Ox G_fOy: f(0)=0 arccos0= C(0, ) Oy
Paritate	Nu
Simetria graficului	In raport cu C(0, ) Oy
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	- f.strict descrescatoare pe
Marginire. Valori extreme	Functie marginita Min f(x)= 0 Max f(x)=
Convexitate si Concavitate	-concava pe 0,1 -convexa pe [-1 0 x=0 punct de inflexiune
Continuitate	Continua
Rezolvarea ecuatiei	arccosx= 0 x= 1
Semnul functiei	arccos0 pentru x [-1,1]
Bijectivitate	Da
Functia inversa	cosx:

Graficul functiei f(x) = arccos x

8.3. Functia arctangenta. Functia tgx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arctgx: definita de arctgy=x daca si numai daca tgx=y. Graficele functiilor arctgx si tgx sunt simetrice fata de prima bisectoare. Principalele proprietati ale functiei arctgx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati	R
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox G_fOy: f(0)=0 arctg0= 0 O(0,0) Oy
Paritate	Impara
Simetria graficului	In raport cu O(0,0)
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	- f.strict crescatoare pe R
Marginire. Valori extreme	Functie marginita x= asimptota verticala la + x=- asimptota verticala la -
Convexitate si Concavitate	-convexa pe -,0 -concava pe [0, +) x=0 punct de inflexiune
Continuitate	Continua
Rezolvarea ecuatiei	arctgx= 0 x= 0
Semnul functiei	arctgx < 0 pentru x -,0 arctgx > 0 pentru x 0, )
Bijectivitate	Da
Functia inversa	tgx:

Graficul functiei f(x) = arctg x

8.4. Functia arccotangenta.Functia ctgx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arcctgx: definita de arcctgy=x daca si numai daca ctgx=y. Graficele functiilor arcctgx si ctgx sunt simetrice fata de prima bisectoare. Principalele proprietati ale functiei arctgx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati	R
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: Graficul nu taie axa Ox G_fOy: f(0)= C(0, ) Oy
Paritate	Nu
Simetria graficului	In raport cu C(0, ) Oy
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	- f.strict descrescatoare pe R
Marginire. Valori extreme	Functie marginita y=0 asimptota orizontala la + y= asimptota orizontala la -
Convexitate si Concavitate	-concava pe -,0 -convexa pe [0, +) x=0 punct de inflexiune
Continuitate	Continua
Rezolvarea ecuatiei	arcctgx= 0 nu are solutie
Semnul functiei	arcctgx > 0 pentru x R
Bijectivitate	Da
Functia inversa	ctgx:

Graficul functiei f(x) = arcctg x

9. Functii speciale. In continuare prezint o serie de functii a caror proprietati sunt utile si prezente in programa de gimnaziu si liceu.

9.1. Functia valoare absoluta

Definitie: Functia f:R descrisa de f(x)=max(x,-x)= se numeste functie modul sau functie valoare absoluta. Aceasta se mai noteaza si astfel: f(x)=

Proprietati:

Teorema modulului

1. ; = 0 x=0;

2. Daca x,y R atunci ;

3. Daca x,y R atunci ;

4. Daca x,y R atunci pentru

Din punct de vedere grafic functia valoare absoluta se prezinta astfel:

Proprietati	R
Intersectia graficului cu axele de coordonate	G_fOx: = 0 x=0; G_fOy: = 0
Paritate	Para =
Simetria graficului	In raport cu Oy
Monotonia functiei ↑- f.strict cresc. ↓- f.strict descresc.	f.strict descrescatoare pe (-,0) f.strict crescatoare pe (0,)
Marginire.	Functie marginita inferior
Convexitate si Concavitate	-convexa pe R
Continuitate	Continua
Rezolvarea ecuatiei	= 0 x=0;
Semnul functiei
Bijectivitate	Nu

9.2. Functia caracteristica a unei multimi.

Definitie: Functia f:A descrisa de f_A(x)= se numeste functie caracteristica multimii A.

Teorema: Fie A,B submultimi ale unei multimi E.

Atunci A=B daca si numai daca f_A(x)= f_B(x);

Observatie: A demonstra ca doua multimi sunt egale e echivalent cu a demonstra ca functiile lor caracteristice sunt egale.

Amintim aici functia lui Dirichlet f(x)= este periodica avand ca perioada orice numar rational.(sau functia caracteristica a multimii Q care este o functie para, marginita, surjectiva)

9.3. Functia parte intreaga, functia parte fractionara.

Definitie: Functia f: R Z data de legea f(x)= unde reprezinta cel mai mare intreg mai mic decat x, se numeste functie parte intreaga.

Definitie: Functia f: R data de legea f(x)= x- unde reprezinta cel mai mare intreg mai mic decat x, se numeste functie parte fractionara.

Proprietati ale functiei parte intreaga:

1. ;

2. ;

9.4. Functia signum.

Definitie: Functia f:A descrisa de sgn x= se numeste functie signum (indicator de semn).

Proprietati: Functia signum este surjectiva dar neinjectiva, impara si sgn(x*y)=sgn(x)*sgn(y)

Politica de confidentialitate

.com	Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate. Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.

Proprietati ale functiilor elementare

Comentarii literare

Personaje din literatura

Tehnica si mecanica

Economie

Geografie